Найти сторону остроугольного треугольника

Все формулы для треугольника
Содержание
  1. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  2. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  3. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  4. 4. Найти длину высоты треугольника
  5. Треугольник
  6. Типы треугольников
  7. По величине углов
  8. Остроугольный треугольник
  9. Тупоугольный треугольник
  10. Прямоугольный треугольник
  11. По числу равных сторон
  12. Разносторонний треугольник
  13. Равнобедренный треугольник
  14. Равносторонний (правильный) треугольник
  15. Вершины, углы и стороны треугольника
  16. Свойства углов и сторон треугольника
  17. Сумма углов треугольника равна 180°
  18. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы
  19. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны
  20. Теорема синусов
  21. Теорема косинусов
  22. Теорема о проекциях
  23. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  24. Формулы сторон через медианы
  25. Медианы треугольника
  26. Свойства медиан треугольника
  27. Формулы медиан треугольника
  28. Формулы медиан треугольника через стороны
  29. Биссектрисы треугольника
  30. Свойства биссектрис треугольника
  31. Формулы биссектрис треугольника
  32. Формулы биссектрис треугольника через стороны
  33. Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол
  34. Высоты треугольника
  35. Свойства высот треугольника
  36. Формулы высот треугольника
  37. Формулы высот треугольника через сторону и угол
  38. Формулы высот треугольника через сторону и площадь
  39. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  40. Окружность вписанная в треугольник
  41. Свойства окружности вписанной в треугольник
  42. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  43. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
  44. Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны
  45. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  46. Окружность описанная вокруг треугольника
  47. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  48. Свойства углов
  49. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  50. Радиус описанной окружности через три стороны и площадь
  51. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  52. Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)
  53. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  54. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  55. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  56. Средняя линия треугольника
  57. Свойства средней линии треугольника
  58. Признаки
  59. Периметр треугольника
  60. Формулы площади треугольника
  61. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  62. Формула площади треугольника по трем сторонам
  63. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  64. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  65. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  66. Равенство треугольников
  67. Определение
  68. Свойства
  69. Признаки равенства треугольников
  70. По двум сторонам и углу между ними
  71. По стороне и двум прилежащим углам
  72. По трем сторонам
  73. Подобие треугольников
  74. Определение
  75. Признаки подобия треугольников
  76. Свойства
  77. Прямоугольные треугольники
  78. Свойства прямоугольного треугольника
  79. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  80. Свойства
  81. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  82. Типы треугольников
  83. По величине углов
  84. По числу равных сторон
  85. Вершины углы и стороны треугольника
  86. Свойства углов и сторон треугольника
  87. Теорема синусов
  88. Теорема косинусов
  89. Теорема о проекциях
  90. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  91. Медианы треугольника
  92. Свойства медиан треугольника:
  93. Формулы медиан треугольника
  94. Биссектрисы треугольника
  95. Свойства биссектрис треугольника:
  96. Формулы биссектрис треугольника
  97. Высоты треугольника
  98. Свойства высот треугольника
  99. Формулы высот треугольника
  100. Окружность вписанная в треугольник
  101. Свойства окружности вписанной в треугольник
  102. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  103. Окружность описанная вокруг треугольника
  104. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  105. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  106. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  107. Средняя линия треугольника
  108. Свойства средней линии треугольника
  109. Периметр треугольника
  110. Формулы площади треугольника
  111. Формула Герона
  112. Равенство треугольников
  113. Признаки равенства треугольников
  114. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  115. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  116. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  117. Подобие треугольников
  118. Признаки подобия треугольников
  119. Первый признак подобия треугольников
  120. Второй признак подобия треугольников
  121. Третий признак подобия треугольников

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Найти сторону остроугольного треугольника

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Найти сторону остроугольного треугольника

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Найти сторону остроугольного треугольника

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Найти сторону остроугольного треугольника

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Формулы для катета, ( b ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Найти сторону остроугольного треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Найти сторону остроугольного треугольника

Найти сторону остроугольного треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Найти сторону остроугольного треугольника

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Найти сторону остроугольного треугольника

Формулы длины равных сторон , (a):

Найти сторону остроугольного треугольника

Найти сторону остроугольного треугольника

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Найти сторону остроугольного треугольника H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Найти сторону остроугольного треугольника

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрииСкачать

Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрии

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Типы треугольников

Найти сторону остроугольного треугольника

По величине углов

Остроугольный треугольник

Найти сторону остроугольного треугольника

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

Найти сторону остроугольного треугольника

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

Найти сторону остроугольного треугольника

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

Найти сторону остроугольного треугольника

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Найти сторону остроугольного треугольника

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

Найти сторону остроугольного треугольника

— все три стороны равны.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Вершины, углы и стороны треугольника

Найти сторону остроугольного треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

  • если α > β , тогда a > b
  • если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 2 3 2 m b 2 + m c 2 — m a 2

b = 2 3 2 m a 2 + m c 2 — m b 2

c = 2 3 2 m a 2 + m b 2 — m c 2

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Найти сторону остроугольного треугольника

Свойства медиан треугольника

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO OD = BO OE = CO OF = 2 1

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник
  • Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 — a 2

    m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 — b 2

    m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 — c 2

    Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

    Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

    Биссектрисы треугольника

    Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства биссектрис треугольника

    1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
    AE AB = EC BC

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

    Угол между l c и l c ‘ = 90°

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
  • Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны

    l a = 2 b c p p — a b + c

    l b = 2 a c p p — b a + c

    l c = 2 a b p p — c a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

    l a = 2 b c cos α 2 b + c

    l b = 2 a c cos β 2 a + c

    l c = 2 a b cos γ 2 a + b

    Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

    Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

    Высоты треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

    В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

    • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
    • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
    • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

    Свойства высот треугольника

    1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
  • h a : h b : h c = 1 a : 1 b : 1 c = BC : AC : AB

    1 h a : 1 h b : 1 h c = 1 r

    Формулы высот треугольника

    Формулы высот треугольника через сторону и угол

    h a = b sin γ = c sin β

    h b = c sin α = a sin γ

    h c = a sin β = b sin α

    Формулы высот треугольника через сторону и площадь

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

    7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

    Окружность вписанная в треугольник

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

    Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18Скачать

    Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    • Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
    • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

    Свойства углов

    Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

    Видео:Решение прямоугольных треугольниковСкачать

    Решение прямоугольных треугольников

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

    d 2 = R 2 — 2 R r

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Видео:№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

    №254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

    Средняя линия треугольника

    Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства средней линии треугольника

    • Любой треугольник имеет три средних линии.
    • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
      MN = 1 2 AC ; KN = 1 2 AB ; KM = 1 2 BC

    MN || AC ; KN || AB ; KM || BC

  • Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
    S ∆MBN = 1 4 S ∆ABC ; S ∆MAK = 1 4 S ∆ABC ; S ∆NCK = 1 4 S ∆ABC
  • При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    ∆MBN

    Признаки

    Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

    Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

    Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

    Периметр треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

    Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

    Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

    Формулы площади треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Формула площади треугольника по стороне и высоте

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

    S = 1 2 a · h a ,
    S = 1 2 b · h b ,
    S = 1 2 c · h c ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

    Формула площади треугольника по трем сторонам

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

    S = p p — a p — b p — c ,

    где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
    a, b, c — стороны треугольника.

    Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 1 2 a · b · sin γ ,
    S = 1 2 b · c · sin α ,
    S = 1 2 a · c · sin β ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b ,
    α — угол между сторонами b и c ,
    β — угол между сторонами a и c .

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

    a, b, c — стороны треугольника,
    R — радиус описанной окружности.

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    r — радиус вписанной окружности,
    p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

    Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

    Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

    Равенство треугольников

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Определение

    Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

    Свойства

    У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

    Признаки равенства треугольников

    По двум сторонам и углу между ними

    Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По стороне и двум прилежащим углам

    Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По трем сторонам

    Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

    Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.

    Подобие треугольников

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Определение

    Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

    ∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

    где k — коэффициент подобия.

    Признаки подобия треугольников

    1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
    2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
    3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    S ∆АВС S ∆MNK = k 2

    Видео:Определение длины гипотенузыСкачать

    Определение длины гипотенузы

    Прямоугольные треугольники

    Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

    Свойства прямоугольного треугольника

    • Найти сторону остроугольного треугольника Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
      Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ 1 + ∠ 2 = 90° .
    • Найти сторону остроугольного треугольника

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

    Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

    Докажем, что BC=2AC.
    Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
    Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

    Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников

    Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

    1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
    2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
    3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
    4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

    Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

    Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

    Типы треугольников

    По величине углов

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    По числу равных сторон

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Вершины углы и стороны треугольника

    Свойства углов и сторон треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Сумма углов треугольника равна 180°:

    В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

    если α > β , тогда a > b

    если α = β , тогда a = b

    Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

    a + b > c
    b + c > a
    c + a > b

    Теорема синусов

    Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a=b=c= 2R
    sin αsin βsin γ

    Теорема косинусов

    Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

    b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

    c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

    Теорема о проекциях

    Для остроугольного треугольника:

    a = b cos γ + c cos β

    b = a cos γ + c cos α

    c = a cos β + b cos α

    Формулы для вычисления длин сторон треугольника

    Медианы треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства медиан треугольника:

    В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

    mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

    mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

    Биссектрисы треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства биссектрис треугольника:

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны:

    la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

    lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

    lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

    la = 2 bc cos α 2 b + c

    lb = 2 ac cos β 2 a + c

    lc = 2 ab cos γ 2 a + b

    Высоты треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства высот треугольника

    Формулы высот треугольника

    ha = b sin γ = c sin β

    hb = c sin α = a sin γ

    hc = a sin β = b sin α

    Окружность вписанная в треугольник

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    R = S 2 sin α sin β sin γ

    R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Средняя линия треугольника

    Свойства средней линии треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

    MN || AC KN || AB KM || BC

    Периметр треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

    Формулы площади треугольника

    Найти сторону остроугольного треугольника

    Формула Герона

    S =a · b · с
    4R

    Равенство треугольников

    Признаки равенства треугольников

    Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

    Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

    Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

    Подобие треугольников

    Найти сторону остроугольного треугольника

    ∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

    где k — коэффициент подобия

    Признаки подобия треугольников

    Первый признак подобия треугольников

    Второй признак подобия треугольников

    Третий признак подобия треугольников

    Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

    Добро пожаловать на OnlineMSchool.
    Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

  • Поделиться или сохранить к себе: