Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).
Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника 
, где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: 
. Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /7x – 4 /7 (здесь a = 5 /7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .
Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.
Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
и
то для того, чтобы
прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
b_2″ />
перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
Но это все можно, я думаю, посчитать в уме.
Зато если прямые заданы общими уравнениями
и
то для того, чтобы
прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
frac» />
перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
Посчитать в уме тоже можно, конечно. Но можно и сделать калькулятор — вводим коэффициенты, получаем результат!
Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2, которые не параллельны:
 . | (1) |
 . | (2) |
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2(Рис.1).
 |
Прамая L1 должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M1 должна нежать на плоскости α.
Уравнение плоскости можно записать формулой
| Ax+By+Cz+D=0. | (3) |
и поскольку M1(x1, y1, z1) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:
| Ax1+By1+Cz1+D=0. | (4) |
Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L1, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am1+Bp1+Cl1=0 | (5) |
Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L2, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q2 прямой L2, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am2+Bp2+Cl2=0 | (6) |
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
 | (7) |
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2.
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
 | (8) |
паралленьно другой прямой L2 :
 | (9) |
 |
 |
Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
 | (10) |
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:
 | (11) |
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
 | (12) |
 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
 | (16) |
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
 | (17) |
Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:
| Ax+By+Cz+D=0 | (18) |
Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:
 | (18) |
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:
| 13x−4y+3z−24=0 | (19) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
 | (20) |
| q1=<m1, p1, l1>= |
| q2=<m2, p2, l2>= |
Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
| Ax1+By1+Cz1+D=0 | (22) |
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:
| (23) |
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
| (24) |
| A(−2)+B·0+C·1+D=0, | (25) |
| A·5+B(−8)+C·3=0, | (26) |
| A·1+B·1+C·1=0, | (27) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
 | (28) |
Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:
 | (29) |
Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:
| Ax+By+Cz+D=0 | (30) |
Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:
 | (31) |
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:
| 11x+2y−13z+35=0 | (32) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).
📸 Видео
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Математика это не ИсламСкачать
Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать
Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Параллельные прямые циркулемСкачать
Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Построение прямой, параллельной даннойСкачать
Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать
10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать
Параллельность прямых. 10 класс.Скачать
Обратная тригонометрическая функция и калькуляторСкачать
Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать
Уравнение касательной, параллельной заданной прямой.Скачать
