Найти плошадь треугольника c

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Найти плошадь треугольника c

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Содержание
  1. Если треугольник прямоугольный
  2. Если он равнобедренный
  3. Если он равносторонний
  4. Если известна сторона и высота
  5. Если известны две стороны и градус угла между ними
  6. Если известны длины трех сторон
  7. Если известны три стороны и радиус описанной окружности
  8. Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
  9. Как найти площадь треугольника
  10. По формуле Герона
  11. Через основание и высоту
  12. Через две стороны и угол
  13. Через сторону и два прилежащих угла
  14. Площадь прямоугольного треугольника
  15. Площадь равнобедренного треугольника через стороны
  16. Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
  17. Площадь равностороннего треугольника через стороны
  18. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  19. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  20. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  21. Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
  22. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
  23. Площадь треугольника онлайн
  24. Площадь треугольника по основанию и высоте
  25. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
  26. Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам
  27. Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона
  28. Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности
  29. 📹 Видео

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Найти плошадь треугольника c

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Найти плошадь треугольника c

Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Найти плошадь треугольника c

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Найти плошадь треугольника c

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Найти плошадь треугольника c

Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадь

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Найти плошадь треугольника c

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Найти плошадь треугольника c

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Найти плошадь треугольника c

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Найти плошадь треугольника c

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Найти плошадь треугольника c

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Найти плошадь треугольника c

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Найти плошадь треугольника c

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Найти плошадь треугольника c

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Площадь треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь треугольника. Для нахождения площади треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Видео:Как найти площадь этого треугольника, не зная формулы?Скачать

Как найти площадь этого треугольника, не зная формулы?

Площадь треугольника по основанию и высоте

Любой из сторон треугольника можно называть основанием треугольника. Если основание выбрана, то под словом «высота» понимают высоту треугольника, проведенную к основанию (Рис.1):

Найти плошадь треугольника c

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Пусть AC основание треугольника ABC (Рис.2).

Найти плошадь треугольника c

Проведем высоту BH. Обозначим через S площадь треугольника. Докажем, что

( small S= frac cdot AC cdot BH. )

Из вершины B проведем прямую, параллельную стороне AC, а из C − прямую, параллельную стороне AB. Поскольку ( small AC || BD ) и ( small AB || CD ), то ABDC является параллелограммой и, следовательно, ( small AC = BD ), ( small AB = CD . ) Тогда треугольники ABC и BCD равны по трем сторонам (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Так как площадь параллелограмма ABDC равна ( small S_=AC cdot BH, ) то площадь треугольника ABCBCD)равна половине площади параллелограмма:

Найти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника c

Следствие 1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Найти плошадь треугольника c,
Найти плошадь треугольника c,

Обозначим через k отношение

( small k= frac . )
Найти плошадь треугольника c.

То есть отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.Найти плошадь треугольника c

Следствие 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Действительно. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, то один из них можно определить как основание, а другой − как высоту. Тогда по теореме 1, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.Найти плошадь треугольника c

Видео:Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.Скачать

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BC, b=AC (Рис.3). Докажем, что

Найти плошадь треугольника c.
Найти плошадь треугольника c

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):

Найти плошадь треугольника c,(1)

где h − высота треугольника.

Найти плошадь треугольника c,
Найти плошадь треугольника c(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

Найти плошадь треугольника c
Найти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника c(3)

Видео:Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теорема

Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам

Пусть известна сторона треугольника и две прилежащие углы (Рис.4).

Найти плошадь треугольника c

Найдем формулу площади этого треугольника. Обозначим через S площадь треугольника. Если у треугольника известны два угла, то можно найти и третий угол:

Найти плошадь треугольника c(4)

Найдем сторону b используя теорему синусов:

Найти плошадь треугольника c,
Найти плошадь треугольника c.(5)

В предыдующем параграфе мы вывели площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Подставляя (4) и (5) в (3), получим:

Найти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника c.
Найти плошадь треугольника c.(6)

Видео:Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:

Найти плошадь треугольника c,(7)

где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:

Найти плошадь треугольника c.
Найти плошадь треугольника c

Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BC, b=AC, c=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB:

Найти плошадь треугольника c(8)
Найти плошадь треугольника c(9)

Из (8) и (9) следует:

Найти плошадь треугольника c

Откуда находим x:

Найти плошадь треугольника c,
Найти плошадь треугольника c(10)

Подставляя (10) в (8) найдем h:

Найти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника c(11)

Тогда площадь треугольника равна:

Найти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника c(12)

Преобразовав (12) получим формулу (7):

Найти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника cНайти плошадь треугольника c.Найти плошадь треугольника c

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности

Пусть известны все три стороны треугольника и радиус описанной окружности (Рис.6). Докажем, что площадь треугольника равна: ( small S=frac. )

📹 Видео

Как найти площадь фигуры#математика #площадьфигуры #геометрия #формулапика #репетиторСкачать

Как найти площадь фигуры#математика #площадьфигуры #геометрия #формулапика #репетитор

Как найти площадь фигуры?Скачать

Как найти площадь фигуры?

Самый простой способ найти площадь треугольника | СВ #shorts #shortsvideoСкачать

Самый простой способ найти площадь треугольника  | СВ #shorts #shortsvideo

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА НА ЕГЭ? #shorts #егэ #огэ #профильныйегэ #треугольник #площадьСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА НА ЕГЭ? #shorts #егэ #огэ #профильныйегэ #треугольник #площадь

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника
Поделиться или сохранить к себе: