Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Ось тангенсов и котангенсов на окружностиПочему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что Ось тангенсов и котангенсов на окружностии Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Находим на круге Ось тангенсов и котангенсов на окружности. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ответ: Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Пример 2.

Вычислить Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Находим на круге Ось тангенсов и котангенсов на окружности. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

Ось тангенсов и котангенсов на окружностине существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Находим на круге точку Ось тангенсов и котангенсов на окружности(это та же точка, что и Ось тангенсов и котангенсов на окружности) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем Ось тангенсов и котангенсов на окружности(Ось тангенсов и котангенсов на окружности). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как Ось тангенсов и котангенсов на окружности. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение Ось тангенсов и котангенсов на окружности.

Так значит, Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ответ: Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Пример 4.

Вычислить Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Поэтому от точки Ось тангенсов и котангенсов на окружности(именно там будет Ось тангенсов и котангенсов на окружности) откладываем против часовой стрелки Ось тангенсов и котангенсов на окружности.

Выходим на ось котангенсов, получаем, что Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ответ: Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Пример 5.

Вычислить Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Находим на круге Ось тангенсов и котангенсов на окружности. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ответ: Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Ось тангенсов и котангенсов на окружностиТеперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Ось тангенсов и котангенсов на окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

    Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

    Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

    Ось тангенсов и котангенсов на окружности

    Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

    Содержание страницы:

    Видео:Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности. Формулы приведения.Скачать

    Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности. Формулы приведения.

    Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

    Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

    Ось тангенсов и котангенсов на окружности

    Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    sin α = Противолежащий катет гипотенуза

    Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    cos α = Прилежащий катет гипотенуза

    Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

    tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

    Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

    ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

    sin ∠ A = C B A B

    cos ∠ A = A C A B

    tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

    ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

    sin ∠ B = A C A B

    cos ∠ B = B C A B

    tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

    ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Тригонометрия: Тригонометрический круг

    Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

    Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

    Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

    На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

    Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

    Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

    Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

    cos α = O B O A = O B 1 = O B

    sin α = A B O A = A B 1 = A B

    Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

    Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

    Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

    Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

    Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

    Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

    Ещё одно замечание.

    Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

    Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

    Видео:Тригонометрическая окружность tg x и ctg xСкачать

    Тригонометрическая окружность tg x и ctg x

    Основное тригонометрическое тождество

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

    A B 2 + O B 2 = O A 2

    sin 2 α + cos 2 α = R 2

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Видео:6 Линия тангенсов и линия котангенсовСкачать

    6 Линия тангенсов и линия котангенсов

    Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

    0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Тригонометрия: градусы и радианы

    Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

    Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

    ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ

    Тригонометрия: Формулы приведения

    Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

    можно заметить, что:

    sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

    sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

    sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

    sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

    cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

    cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

    cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

    cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

    Рассмотрим тупой угол β :

    Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

    sin ( 180 ° − α ) = sin α

    cos ( 180 ° − α ) = − cos α

    tg ( 180 ° − α ) = − tg α

    ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

    Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

    Тригонометрия: Теорема синусов

    В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

    Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Тригонометрия: Теорема косинусов

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

    b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

    c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

    Видео:Тангенс и котангенс произвольного угла. 9 класс.Скачать

    Тангенс и котангенс произвольного угла. 9 класс.

    Примеры решений заданий из ОГЭ

    Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

    Видео:8 Ось тангенсов и котангенсовСкачать

    8 Ось тангенсов и котангенсов

    Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

    Это тема 10-11 классов.

    Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

    🌟 Видео

    Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

    Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

    07. Тригонометрия на ЕГЭ по математике. Ось тангенсов и котангенсовСкачать

    07. Тригонометрия на ЕГЭ по математике. Ось тангенсов и котангенсов

    Занятие 5. Тангенс и котангенс. Основы тригонометрииСкачать

    Занятие 5. Тангенс и котангенс. Основы тригонометрии

    10 класс, 13 урок, Синус и косинус Тангенс и котангенсСкачать

    10 класс, 13 урок, Синус и косинус  Тангенс и котангенс

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)
    Поделиться или сохранить к себе: