Найти о трем сторонам треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Содержание
  1. Решение треугольника по трем сторонам
  2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  3. Решение треугольника по стороне и любым двум углам
  4. Все формулы для треугольника
  5. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  6. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  7. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  8. 4. Найти длину высоты треугольника
  9. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  10. Типы треугольников
  11. По величине углов
  12. По числу равных сторон
  13. Вершины углы и стороны треугольника
  14. Свойства углов и сторон треугольника
  15. Теорема синусов
  16. Теорема косинусов
  17. Теорема о проекциях
  18. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  19. Медианы треугольника
  20. Свойства медиан треугольника:
  21. Формулы медиан треугольника
  22. Биссектрисы треугольника
  23. Свойства биссектрис треугольника:
  24. Формулы биссектрис треугольника
  25. Высоты треугольника
  26. Свойства высот треугольника
  27. Формулы высот треугольника
  28. Окружность вписанная в треугольник
  29. Свойства окружности вписанной в треугольник
  30. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  31. Окружность описанная вокруг треугольника
  32. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  33. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  34. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  35. Средняя линия треугольника
  36. Свойства средней линии треугольника
  37. Периметр треугольника
  38. Формулы площади треугольника
  39. Формула Герона
  40. Равенство треугольников
  41. Признаки равенства треугольников
  42. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  43. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  44. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  45. Подобие треугольников
  46. Признаки подобия треугольников
  47. Первый признак подобия треугольников
  48. Второй признак подобия треугольников
  49. Третий признак подобия треугольников

Видео:Строим треугольник по трем сторонам (Задача 5).Скачать

Строим треугольник по трем сторонам (Задача 5).

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Найти о трем сторонам треугольника.

Найти о трем сторонам треугольника
Найти о трем сторонам треугольника
Найти о трем сторонам треугольника
Найти о трем сторонам треугольника(1)
Найти о трем сторонам треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Найти о трем сторонам треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти о трем сторонам треугольникаНайти Найти о трем сторонам треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Найти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольника.
Найти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольника.
Найти о трем сторонам треугольника, Найти о трем сторонам треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Найти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольника

Видео:Построение треугольника по трем сторонам. 7 класс.Скачать

Построение треугольника по трем сторонам. 7 класс.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найти о трем сторонам треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Найти о трем сторонам треугольника.
Найти о трем сторонам треугольника.

Далее, из формулы

Найти о трем сторонам треугольника.
Найти о трем сторонам треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Найти о трем сторонам треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Найти о трем сторонам треугольникаи Найти о трем сторонам треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Найти о трем сторонам треугольника,
Найти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Найти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольника
Найти о трем сторонам треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Найти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольника.

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Найти о трем сторонам треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Найти о трем сторонам треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Найти о трем сторонам треугольника, Найти о трем сторонам треугольника.
Найти о трем сторонам треугольника, Найти о трем сторонам треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Найти о трем сторонам треугольникаи углы Найти о трем сторонам треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найти о трем сторонам треугольникаНайти о трем сторонам треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найти о трем сторонам треугольника
Найти о трем сторонам треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Все формулы для треугольника

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Найти о трем сторонам треугольника

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Найти о трем сторонам треугольника

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Найти о трем сторонам треугольника

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Найти о трем сторонам треугольника

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Найти о трем сторонам треугольника

Формулы для катета, ( b ):

Найти о трем сторонам треугольника

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Найти о трем сторонам треугольника

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Формулы длины равных сторон , (a):

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Найти о трем сторонам треугольника H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Найти о трем сторонам треугольника

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Найти о трем сторонам треугольника

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Найти о трем сторонам треугольника

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Что можно найти в треугольнике по трём сторонам?Скачать

Что можно найти в треугольнике по трём сторонам?

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Типы треугольников

По величине углов

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

По числу равных сторон

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Медианы треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Построение треугольника по трем сторонам. 7 класс . Геометрия.Скачать

Построение треугольника по трем сторонам. 7 класс . Геометрия.

Биссектрисы треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Высоты треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:найти площадь треугольника. Формула Герона. Известны 3 стороны.Скачать

найти площадь треугольника. Формула Герона. Известны 3 стороны.

Окружность вписанная в треугольник

Найти о трем сторонам треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Окружность описанная вокруг треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 7 класс. Геометрия.Скачать

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 7 класс. Геометрия.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Площадь треугольника по трем сторонамСкачать

Площадь треугольника по трем сторонам

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Геометрия Решите треугольник по трем сторонам 1) a = 5 см b = 6 см c = 8 см 2) a = 21 см b = 17 смСкачать

Геометрия Решите треугольник по трем сторонам 1) a = 5 см b = 6 см c = 8 см 2) a = 21 см b = 17 см

Периметр треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Формулы площади треугольника

Найти о трем сторонам треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Найти о трем сторонам треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: