Конспект сумма углов треугольников (7 видео)

Конспект сумма углов треугольников

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же — 180°. «Как же это доказать? — подумал Паскаль. — Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников — их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.

Содержание

Сумма углов треугольника
Подробные доказательства теорем
Конспект урока. Сумма углов треугольника.
ЛАБОРАТОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Геометрия. 7 класс
📹 Видео

Сумма углов треугольника

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой. Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми. ТЕОРЕМА. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем

Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Конспект урока. Сумма углов треугольника.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

УРОК ПО ТЕМЕ: «СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА»

Образовательные: доказать теорему о сумме углов треугольника и учится применять её для решения задач;

Развивающие: развивать логическое мышление и навыки исследовательской работы;

Воспитательные: воспитывать сотрудничество, культуру умственного труда, интерес к изучению математики, расширение кругозора.

Универсальные учебные действия:

планирование и организация учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса

уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.

организация своей учебной деятельности

оценивание собственной деятельности на уроке

умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы

планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.

формирование готовности к самообразованию

формирование позитивной самооценки

структурирование собственных знаний по теме «Параллельность прямых»

формирование интереса к данной теме

умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме.

Тип учебного занятия: урок освоение нового материала.

Формы работы на уроке: практическая групповая работа, фронтальный опрос, научный эксперимент.

Методы: словесные, практические и проблемно-поисковые.

Педагогическая технология: проблемно-диалогическое обучение.

Оборудование: компьютер , мультимедийный проектор, презентация, модели треугольников, карточки.

Данный урок является первым в главе «Соотношения между сторонами и углами треугольника», опирается на знание учащимися признаков и свойств параллельных прямых, аксиомы параллельности. Урок готовит базу для решения задач, доказательства теорем о соотношении сторон и углов треугольника.

Постановка проблемы, определение путей ее решения.

Решение заданий на закрепление изученной теоремы.

Подведение итогов урока (рефлексия), задание на дом.

1. Организационный момент.

Сегодня наш класс превратится в научно-исследовательский институт, а вы станете его сотрудниками. И мы не только познакомимся с работой научно-исследовательского института, но и сами будем делать открытия!

Научно-исследовательский институт имеет подразделения:

1. Лаборатория экспериментов.

2. Лаборатория научных доказательств.

3. Лаборатория испытаний.

2. Актуализация знаний учащихся. Повторение изученного материала.

«Знание только тогда знание, когда оно приобретено

усилиями своей мысли, а не памятью». Л. Н Толстой.

Это эпиграф нашего урока.

-Ребята, как вы понимаете эту мысль?

— Как вы думаете, почему именно эти слова я подобрала к нашему уроку?

-Ребята, а на что мы должны опираться при получении новых знаний?

-Так что нам нужно сейчас сделать, чтобы подготовиться к изучению нового?

Постараемся усилиями своей мысли приобрести новые знания на уроке.

На предыдущих уроках мы с вами изучали признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых. И сегодня на уроке, полученные по этой теме знания, помогут сделать открытие.

— Дайте определение параллельных прямых.

(Две прямые на плоскости называется параллельными, если они не пересекаются)

— Назовите по рис. пары углов , которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей.

— Сформулируйте признаки параллельности прямых.

( Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны; Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны )

— Сформулируйте свойства углов при параллельных прямых.

( Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны; Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны; Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 )

ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ТРЕУГОЛЬНИК»

Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?

Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания. Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения. Проводится обсуждение результатов:

1) Сформулируйте определение треугольника.

( ТРЕУГОЛЬНИК – это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки )

2) Назовите элементы треугольника. (Вершины, стороны, углы)

3) Какие треугольники различают? (По сторонам: разносторонние, равносторонние, равнобедренные; карточки – треугольники)

4) Треугольники различают и по углам. Давайте с вами составим рассказ по теме: “УГОЛ”. Для этого используем план:

1. Угол – это фигура , … ( Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а точку – вершиной )

2. Если …, то угол называют … ( Если величина угла 90 0 , то угол называют прямым. Если – 180 0 , то угол называют развернутым. Если больше 0 0 , но меньше 90 0 , то называют острым. Если больше 90 0 , но меньше 180 0 , то угол называют тупым )

3. Внутренний угол треугольника – это ….

( Внутренний угол треугольника – угол, образованный его сторонами, вершина треугольника является вершиной его угла )

5) Внешний угол треугольника – это … ( Внешним углом треугольника называется угол смежный с каким-нибудь углом этого треугольника )

6) Дайте определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.

Значит, в треугольнике углы могут быть различными: тупыми, острыми и прямыми.

Устные задачи на готовых чертежах

3. Изучение нового материала .

Учитель. Наш урок хочется продолжить словами великого русского поэта А.С. Пушкин «Вдохновение нужно в геометрии, как в поэзии»
( Учитель держит в руках треугольник )

И сегодня мы с вами поговорим о треугольнике, который вдохновлял многих ученых на новые открытия и исследования Треугольник в геометрии играет особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся или почти вся геометрия строится на треугольнике. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о геометрии треугольника как о самостоятельном разделе геометрии.

Создание проблемной ситуации:

— Посмотрите на треугольник (рис. 1). Чему равенВ? (постановка проблемы)

( Не выполняя измерений, назовите величину неизвестного угла .)

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

ЛАБОРАТОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

— Начертите угол: (3 ученика работают у доски, остальные — на месте)

1 – ряд – тупой; 2 – ряд – прямой; 3 – ряд острый.

— Дополните рисунок до треугольника. Что для этого нужно сделать?

( Взять по точке на сторонах угла и соединить их отрезками )

— Полученные треугольники можно назвать: тупоугольными, прямоугольными и остроугольными. ( Карточки – треугольники )

Обратите внимание, что у остроугольного треугольника все углы острые.

— Бывают ли треугольники с прямым и тупым углом?

— С двумя тупыми углами?

— С двумя прямыми углами?

— Как это обосновать? Сделать рисунок. К доске выходит ученик и выполняет следующие рисунки:

Далее идет коллективное обсуждение:

— Лучи ВА и СД, КТ и ОН, КЕ и PL не пересекаются, значит, треугольник не получится.

— Сумма односторонних углов в I случае больше, чем 180 0 , во II случае также больше, чем 180 0 , а в III случае — равна 180°.

— В III случае прямые параллельны, а в первых двух случаях прямые расходятся.

Вывод: что треугольник не может иметь два тупых или два прямых угла. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы.

— Мы выполнили некоторую практическую работу, сделали обоснование того факта, что треугольник не всегда существует. Его существование зависит от величин углов. Как можно узнать, чему равна сумма углов треугольника?

Практически — измерение, теоретически — рассуждением.

1. Голова неподвижна. Движутся только глаза. В вытянутой руке карандаш. Движение карандаша: влево- вправо- вверх-вниз (3раза)

2.Круговые движения глазами в одном, а затем в другом направлении (6 — 7 раза)

3.Нарисуйте глазами треугольники: маленький, средний, большой

Практическая работа № 1.

На доске и листиках размещены треугольники, которые предложены ребятам для работы.

Практическая работа № 2.

Все ребята на местах измеряют произвольный треугольник и с помощью транспортира измеряют углы треугольников, записывают свои измерения и находят сумму углов треугольника.

Этапы практической работы

Результаты практической работы

Постройте произвольный треугольник.

Измерьте все углы данного треугольника.

Вычислите сумму углов построенного треугольника.

Подумайте, зависит ли сумма углов треугольника от его вида?

Выскажите гипотезу о том, чему равна сумма углов треугольника.

— Что заметили?
— Величина градусной меры суммы углов треугольников близка к 180 градусам.

Выдвигаем гипотезу «Сумма углов треугольника равна 180 градусам»

— Итак, ребята, у вас появилась гипотеза, сумма углов треугольника равна180°. Однако, у многих из вас получились результаты, близкие к 180°, но не 180°. Почему?

Измеряя, мы получаем приближенные значения.

Определение цели урока и построение плана действий

Так вот сегодня на уроке мы попробуем с вами сформулировать и доказать замечательное свойство треугольника «Сумма углов треугольника равна 180°», которое нам поможет ответить на вопрос, поставленный вначале урока. Чему равенВ?

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА: (СООБЩЕНИЕ УЧЕНИКА)

Сумма углов треугольника была практическим путем установлена, еще в Древнем Египте. Теорема о сумме углов треугольника – одна из важнейших теорем в геометрии. Её доказательство приписывают древнегреческому математику Пифагору, который жил в V веке до нашей эры.

Однако у нас с вами есть гипотеза: сумма углов треугольника равна 180° , которую можно проверить еще одной практической работой: где еще сегодня называли это число? Величина развернутого угла.

Практическая работа № 3.

У вас на столах лежат треугольники из бумаги (остроугольные, тупоугольные, прямоугольные).

I вариант. На столах лежат треугольники. Путем перегибания соберем углы треугольника в одну точку.

Что у нас получилось? Что сумма углов треугольника равна 180 0 .

II вариант. Используя модели треугольников, определить, какой угол получится, если его составить из углов треугольника. Чему равна его градусная мера? (Углы треугольников можно отрывать.)

Далее ученики говорят результаты своего эксперимента, результаты появляются на слайдах.

Вывод: Проверяя результаты измерений углов треугольников различного вида, практическая работа показала, что сумма углов любого треугольника равна 180°.

Практическая работа № 4.

(работа с моделями на партах и на доске).

— Давайте посмотрим, как еще можно увидеть, что сумма углов треугольника рана.

( На каждой парте лежат по 3 равных треугольника ).

— Перед вами на столе три равных треугольника. Как можно в этом убедиться? Наложите один треугольник на другой, и вы проверите это.

Положите цветной треугольник на стол, а два других треугольника положите рядом с первым таким образом, чтобы у одной вершины оказалось три разных угла, а стороны их совпадали.

Учитель помогает учащимся, а затем выполняет указанные действия на доске (треугольники крепятся при помощи магнитов).

Посмотрите внимательно, что у вас получилось?

Как называется угол, который составляют вместе 1, 2 и 3?

Какова градусная мера этого угла?

Значит, чему равна сумма углов 1, 2 и 3?

Чему равна сумма равных им углов цветного треугольника?

Какой теперь мы можем сделать вывод о сумме углов треугольника?

Итак, мы выяснили практическим путем, что сумма углов треугольника равна 180 0 .

ЛАБОРАТОРИЯ НАУЧНЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ.

Теперь мы попытаемся доказать это утверждение.

Теорема о сумме углов треугольника — это одна из самых важных теорем геометрии.

Для этого перейдем в лабораторию доказательств и здесь мы с вами докажем научно, что это действительно так!

РАБОТА НАД СТРУКТУРОЙ ТЕОРЕМЫ.

Чтобы сформулировать теорему, ответьте на следующие вопросы:

Какие треугольники использовались в процессе проведения измерений?

Что входит в условие теоремы (что дано)?

Что мы обнаружили при измерении?

В чем состоит заключение теоремы (что надо доказать)?

Попробуйте сформулировать теорему о сумме углов треугольника.

Записываем формулировку нашего открытия – теорему.

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180 0 .

Построение чертежа и краткая запись теоремы

1, 2, 3 – внутренние

Доказать: 1+ 2+ 3=180 0

Доказательство: Попробуем доказать теорему, “собрав” все углы треугольника в одну вершину (на доске выполняется чертеж). “Собрать углы” — значит, “взять углы”, равные данным.

Когда 4= 1 ( 5= 3)? (При параллельности прямой а и стороны АС)

5 +2 + 4 = 180°. (развернутый угол)

— провести прямую через одну из вершин параллельно противолежащей стороне;

— составить пары равных накрест лежащих углов;

— представить развернутый угол в виде суммы углов;

— заменить слагаемые равными им углами треугольника.

ПОВТОРИТЬ ТЕОРЕМУ, ДЕЛАЯ КРАТНУЮ ЗАПИСЬ:

ДАНО: АВС, 1, 2, 3 — внутренние.

ДОКАЗАТЬ: 1 + 2 + 3 = 180°.

1) Проведем через т. В прямую а || АС . (аксиома параллельных прямых)

При вершине В получились 3 угла, которые в сумме составляют развернутый угол,

2) 5 = 3 (внутренние накрест лежащие при а АС и секущей ВС )

4 =1 (внутренние накрест лежащие при а АС и секущей АВ)

3) 5 + 2 + 4 = 180°. (развернутый угол)

4) Заменим в равенстве (3) 5 на 3 , 4 на 1 и получим 1 + 2 +3 = 180°.

Или А+В+С= 180 0 . Что и требовалось доказать.

В любом треугольнике все углы острые; либо два угла острых, а третий тупой или прямой.

Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Сумма углов треугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

Формулирование и доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
Следствия теоремы о сумме углов треугольника.
Классификация треугольников по видам углов.
Формулирование и доказательство теоремы о свойствах прямоугольного треугольника.
Решение задач с применением пройденного материала;
Угловой отражатель.

Внешний угол треугольника– это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.

Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.

Сформулируем эту теорему.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Проведем через вершину В прямую а ║АС.

∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Что и требовалось доказать.

Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).

∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.

Что и требовалось доказать.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.

По углам треугольник может быть:

‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);

‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);

‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).

В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.

Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°

∠А + ∠С = 180 – 90° = 90°

Что и требовалось доказать.

Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.

Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.

Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.

∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.

Что и требовалось доказать.

Материал для углублённого изучения темы.

Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.

Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.

Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.