1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
002.gif» />=<img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
002.gif» />(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны
<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
а координаты центра масс <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
009.gif» /> и <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
011.gif» /> — по формулам
<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
где l— масса дуги, т. е.
<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
◄ Имеем: <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем: <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
◄Вследствие симметрии <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
026.gif» />. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
028.gif» />, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
Отсюда <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
032.gif» />, т.е. центр масс C имеет координаты C<img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
036.gif» /> (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
038.gif» />(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать
Найти массу четверти окружности радиуса
1. Вычисление объема тела
Пусть функция f ( x ; y ) ≥ 0. Рассмотрим тело, ограниченное поверхностью z = f ( x ; y ), плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0 z , а направляющей служит граница области D . Как было показано выше, согласно формуле (6.3) объем данного тела равен
Пример 6.9. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом z = x 2 + y 2 + 1, плоскостью x + y –3=0 и координатными плоскостями.
Решение. Основанием тела служит треугольник ОАВ. Область D в данном случае определяется неравенствами:
2. Вычисление площади плоской фигуры
Если положить в формуле (6.18) f ( x , y )=1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой h = 1. Объем такого цилиндра,
как известно, численно равен площади S основания D . Получаем формулу для вычисления площади S области D :
или, в полярных координатах,
Пример 6.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y = 2 x + 1 и параболой y = x 2 + 1.
Решение. Решая совместно систему
Применяя формулу (6.19), будем иметь:
Решение. Переходим к полярной системе координат, полагая x = r cos φ и y = r sin φ ; тогда получаем
3. Вычисление массы плоской фигуры (пластины)
Масса плоской пластинки D с переменной плотностью γ =γ ( x , y ) находится по формуле
4. Определение статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей 0 x и 0 y могут быть вычислены по формулам
а координаты центра масс фигуры – по формулам
Статические моменты широко используются в сопротивлении материалов и других технических науках.
5. Определение моментов инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т.е. . Моменты инерции плоской фигуры относительно 0 x и 0 y могут быть вычислены по формулам:
Момент инерции фигуры относительно начала координат – по формуле
Пример 6.12 . Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
Решение. По формуле (6.21) находим массу пластины. По условию, γ =γ ( x , y )= k ∙ xy , где k – коэффициент пропорциональности.Тогда
Находим статические моменты пластинки по формулам (6.22):
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы (6.23):
6. Поверхностный интеграл I рода
Обобщением двойного интеграла является поверхностный интеграл. Пусть в трехмерном пространстве О xyz в точках некоторой поверхности площади S определена непрерывная функция u = f ( x ; y ; z ). Разобьем поверхность на конечное число n частей Si , площади которых равны ∆ Si , а диаметры – di , . Выберем в каждой части Si произвольную точку Mi ( xi ; yi ; zi ) и составим сумму произведений вида
Она называется интегральной суммой для функции f ( x ; y ; z ) по поверхности S . Если при интегральная сумма (6.26) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения поверхности S, ни от выбора точек Mi ( xi ; yi ; zi ), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f ( x ; y ; z ) по поверхности S и обозначается . Следовательно,
Теорема 6.3 (о существовании поверхностного интеграла). Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f ( x ; y ; z ) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует
Формула (6.28)
выражает интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость x 0 y . Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида y=y(x;z) или x=x(y;z), то аналогично получим:
где D 1 и D 2 – проекции поверхности S на координатные плоскости xО z и y О z соответственно.
Пример 6.13. Вычислить , где S – часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями z = 0 и z = 3.
Решение . Из уравнения заданной цилиндрической поверхности выразим и учтём, что при x = 0 в плоскости x О y : . Так как частные производные равны , то согласно формуле (6.30), имеем
6.1. Площадь поверхности
Если поверхность S задана уравнением z = f ( x ; y ), a ее проекция на плоскость x 0 y есть область D , в которой z = f ( x ; y ), zx ( x ; y ) и zy ( x ; y ) – непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле:
Пример 6.14. Вычислить площадь части плоскости x + y + z = 4, вырезаемой цилиндром x 2 + y 2 = 4 (рис. 6.10).
Чтобы вычислить этот интеграл, введём полярные координаты. Область D определяется: . Следовательно,
Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы γ =γ ( x ; y ; z ) . Все эти величины определяются одним и тем же способом:
– данную область разбивают на конечное число мелких частей;
– делают для каждой такой части предположения, упрощающие задачу;
– находят приближенное значение искомой величины;
– переходят к пределу при неограниченном измельчении разбиения области.
Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.
6.2. Масса поверхности
Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть γ =γ ( x ; y ; z ) . Для нахождения массы поверхности:
1. Разбиваем поверхность S на n частей Si , , площадь которых обозначим ∆ Si .
2. Выберем произвольную точку Mi ( xi ; yi ; zi ) в каждой области Si . Предполагаем, что в переделах области Si плотность постоянна и равна её
4. Суммируя mi по всей области, получаем: .
5. За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей Si , то есть
6.3. Моменты и центр тяжести поверхности. С татические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:
Пример 6.15. Вычислить координаты центра тяжести однородной поверхности параболоида z = x 2 + y 2 , ограниченной плоскостью z = 1.
Решение. Вершина заданного параболоида совпадает с началом координат. Так как поверхность однородная (постоянная плотность массы), то, основываясь на ее симметрии, можно сделать вывод, что центр тяжести расположен на оси 0 z . Тогда xc = 0, yc = 0 и по формуле (6.36) аппликата . Пересечем параболоид поверхностью z = 1, спроектируем линию пересечения на плоскость x 0 y – получим окружность x 2 + y 2 =1 в качестве области D . Вычислим элемент поверхности параболоида z = x 2 + y 2 по формуле (6.31), учитывая, что :
Аналогично, переходя к полярным координатам на плоскости x 0 y , получим:
Видео:Найдите массу дуги окружности ➜ Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги)Скачать
Приложения криволинейных интегралов.
1. Площадь области D, ограниченной замкнутым контуром L, находится по формуле:
|
где направление обхода контура L выбрано так, что область D остается все время слева от пути интегрирования.
2. Пусть L есть плоская кривая с линейной плотностью массы m(x, y),
тогда
а) масса m кривой L вычисляется по формуле
б) координаты центра тяжести кривой L вычисляются по формулам:
|
в) моменты инерции Ix, Iy и I0 соответственно относительно осей Ox, Oy и начала координат равны:
( 27)
3. Пусть = P(x, y, z) +Q(x, y, z) + R(x, y, z) есть переменная сила, совершающая работу W вдоль пути L, и функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны на кривой L.
|
Найти массу тонкого стержня, имеющего форму линии x 2 + y 2 = 1, y > 0, если его линейная плотность в точке M(x, y) равна m(x, y) = 1 + (1/2)y.
В данном случае линия L есть верхняя половина единичной окружности, которую легко задать параметрически: x = cost, y = sint, 0
Воспользовавшись известными параметрическими уравнениями прямой, запишем уравнения линии, по которой перемещается точка приложения силы:
Þx = 1 + t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t, 0 3 t,
y = asin 3 t, 0
🎦 Видео
Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
Криволинейный интеграл по длине дуги ➜ Криволинейный интеграл 1-го родаСкачать
10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать
КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать
Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать
Физика - движение по окружностиСкачать
Радиус описанной окружностиСкачать
Масса дугиСкачать
Масса через двойной интегралСкачать
Криволинейный интеграл первого родаСкачать
Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать
Двойной интеграл в полярных координатахСкачать
магнитный биллиардСкачать
Формула Стокса.ЦиркуляцияСкачать
Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать
Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать
Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривойСкачать