Общее определение расстояния между двумя произвольными фигурами выходит за рамки школьной программы, и мы его не приводим. Ряд частных случаев, когда расстояние между двумя фигурами можно ввести на базе школьного материала, перечислен в следующей таблице.
| Фигуры | Рисунок | Определение расстояния |
| Две точки |  | Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка AB. |
| Точка, лежащая на прямой |  | Расстояние равно 0. |
| Точка, не лежащая на прямой |  | Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. |
| Две параллельные прямые |  | Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую. |
| Две пересекающиеся прямые |  | Расстояние равно 0. |
| Две скрещивающиеся прямые |  | Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым. |
| Точка, лежащая на плоскости |  | Расстояние равно 0. |
| Точка, не лежащая на плоскости |  | Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. |
| Прямая, пересекающая плоскость |  | Расстояние равно 0. |
| Прямая, лежащая на плоскости |  | Расстояние равно 0. |
| Прямая, параллельная плоскости |  | Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость. |
| Две пересекающиеся плоскости |  | Расстояние равно 0. |
| Две параллельные плоскости |  | Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину). |
| Парабола y = a x 2 + b x + c , не пересекающая ось абсцисс, и ось абсцисс |  | Расстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс. Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс. |
| Окружность и не пересекающая ее прямая |  | Расстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности, а другой конец – на прямой. Если перпендикуляр OB , опущенный из центра O окружности на прямую, пересекает окружность в точке A, то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка AB. |
| Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другой |  | Расстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности , а другой конец – на другой окружности. Если линия центров O1O2 пересекает окружность с центром O1 в точке A1, а окружность с центром O2 – в точке A2, то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка A1A2. |
Гипербола  где k – любое, отличное от нуля, число, и ось абсцисс. |  | Расстояние между гиперболой и осью абсцисс считается равным 0, поскольку гипербола неограниченно приближается к оси абсцисс (длина отрезка, один из концов которого лежит на гиперболе, а другой конец – на оси абсцисс, может быть сколь угодно малой). |
| Две точки |
|
Определение расстояния:
Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка AB.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние равно 0.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину).
Определение расстояния:
Расстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс.
Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс.
Определение расстояния:
Расстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности , а другой конец – на прямой.
Если перпендикуляр OB , опущенный из центра O окружности на прямую, пересекает окружность в точке A , то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка AB.
Определение расстояния:
Расстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности, а другой конец – на другой окружности.
Если линия центров O1O2 пересекает окружность с центром O1 в точке A1, а окружность с центром O2 – в точке A2, то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка A1A2.
Видео:"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать
Всегда ли прямая линия — самое короткое расстояние между двумя точками?
Нет, прямая линия не всегда является самым коротким расстоянием между двумя точками. Наименьшее расстояние между двумя точками зависит от геометрии объекта/поверхности. Для плоских поверхностей линия действительно является кратчайшим расстоянием, но для сферических поверхностей, таких как Земля, расстояния по большому кругу на самом деле представляют собой самое короткое расстояние.
В раннем возрасте всех нас учили, что «линия — это наикратчайшее расстояние между двумя точками». Однако, что если бы кто-то сказал вам, что эта почтенная во времени поговорка не совсем верна.
Как оказалось, это утверждение лишь отчасти правдиво. Самое короткое расстояние между двумя точками на самом деле зависит от геометрии рассматриваемого объекта.
Если бы мы жили на плоской земле (чего у нас нет), то да, прямая линия была бы наименьшим расстоянием между точками A и B. Однако, Земля — это приблизительная сфера, а наименьшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы — это дуга, известная как «расстояние по большой окружности».
Видео:Расстояние между параболой и окружностьюСкачать
Большое расстояние круга
Большое расстояние круга не новая концепция; на самом деле, многие из вас уже видели это в действии.
Люди, которые путешествовали по воздуху или только проверяли маршруты полета, вероятно, заметили, что рейсы не следуют прямым путем, а вместо этого берут изогнутый маршрут к месту назначения. Изогнутые маршруты не используются для того, чтобы выкопать более глубокую яму в карманах пассажиров, а используются потому, что на самом деле они являются самым коротким расстоянием между любыми двумя заданными точками на нашей планете.
Эти изогнутые маршруты часто сбивают с толку, так как маршруты очерчены на плоской двухмерной карте, где прямая линия может показаться наименьшим расстоянием. Однако ни одна двумерная карта Земли не является точной.
Чтобы дать вам понять суть, наша любимая Земля является трехмерным пространством и лучше всего представлена с помощью модели глобуса. Однако, когда пытаешься сравнять сферу с прямоугольной формой, как это делают большинство карт, на первый план выходит вековая дилемма искажений. Большинство прямоугольных карт торгуют формами страны, размерами, промежуточными расстояниями и даже легитимной информацией для удобства понимания.
Представьте, что вы хотите улететь из кишащих крысами глубин Нью-Йорка в город любви, Париж. На глобусе кратчайшее расстояние между двумя городами было бы дугой примерно 3630 миль, но та же самая дуга, когда она проецируется на 2D-карту, превращается в прямую линию, измеряющую приблизительно 3750 миль.
Чтобы убедиться в этом самим, откройте Google Maps на соседней вкладке и найдите Нью-Йорк. Найдя его, щелкните правой кнопкой мыши на именном теге и выберите «измерить расстояние». Затем уменьшите масштаб или прокрутите немного вправо, чтобы найти Париж, и нажмите на него. Следующее расстояние будет представлять собой кривую, представляющую собой кратчайшее расстояние между двумя городами. Нажмите в любом месте на этой кривой, чтобы сделать ключевую фигуру, и перетащите её немного на юг, чтобы преобразовать кривую в прямую линию. Вы можете использовать несколько ключевых кадров, чтобы составить прямую линию между двумя точками. После этого сравните размеры кривой и прямой линии (и приготовьтесь к тому, что ваша реальность будет разрушена!).
Разница между двумя числами (3,750 – 3,630 = 120 миль) может показаться несущественной, но, учитывая тот факт, что Boeing 747 потребляет в среднем 5 галлонов топлива на милю полета, самолет потребует дополнительных (5 галлонов/км × 120 миль =) 600 галлонов (2250 литров), чтобы пройти дополнительное расстояние, что является большим делом и добавит к стоимости билетов на самолет.
Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать
Расстояние большого круга в математических терминах
Говоря чисто математическим языком, большой круг (также известный как геодезические сферы) — это любой круг, нарисованный на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, и таким образом делит сферу на две равные половины. Проще говоря, большой круг — это самый большой круг, который можно вырезать из сферы. Малый круг, с другой стороны, это когда центр круга и сферы не совпадают.
Представьте себе (или просто посмотрите на рисунок ниже), разрезая землю вдоль экватора или полюсов. Результирующие полушария в обоих случаях будут равны, и грани этих полушарий будут иметь тот же диаметр и центр, что и сама сфера (Земля).
Для любых двух не диаметральных точек (положений) на сфере (Земле) существует только один уникальный большой круг, тогда как для диаметральных точек на сфере можно нарисовать бесконечное число больших кругов. Эти точки делят окружность на две дуги; меньшая дуга представляет собой истинное кратчайшее расстояние между двумя точками и называется расстоянием большого круга.
На приведенном ниже изображении точки P и Q являются двумя не диаметральными точками, а дуга PQ представляет собой кратчайшее расстояние между ними (расстояние большого круга). Точки u и v, с другой стороны, известны как противоположные или диаметрально противоположные точки и разделяют большой круг на две идентичные дуги.
Вычисление расстояния большого круга между любыми двумя точками на поверхности сферы требует использования сферической тригонометрии, и хотя мы, возможно, не были знакомы с существованием больших расстояний круга еще в наши школьные годы, всеобщая ненависть к синусам и косинусам хорошо известна.
Здесь d-расстояние большого круга, r-радиус сферы (Земли) и термин cos -1 (cos σ 1 .cos σ 2 .cos (λ1 – λ2) + sin σ 1 .sin σ 2) — центральный угол, под которым расположены две точки с координатами σ 1, λ 1 и σ 2, λ 2 соответственно.
Как уже говорилось ранее, большие круги находят свое основное применение в дальних путешествиях, в частности в воздушной и морской навигации. Искривленный характер больших окружных расстояний, дополненный вращением нашей планеты, заставляет пилотов и моряков постоянно корректировать свой курс. Поэтому большое расстояние по окружности разбивается на «линии Румба», которые представляют собой постоянное направление.
Сказав все это, даже большие расстояния по кругу не представляют собой истинное кратчайшее расстояние между двумя заданными местоположениями. Расстояния большого круга рассчитываются исходя из предположения, что Земля является идеальной сферой, но планета представляет собой более плоскую сферу с различными значениями радиуса в направлении экватора и полюсов. Значения большого круга, таким образом, имеют допуск около ± 5%.
Тем не менее большие расстояния по окружности сыграли огромную роль в дальних поездках за последние несколько лет и будут продолжать делать это, экономя топливо авиакомпаний и экономя деньги путешественников!
Видео:Уравнение окружности (1)Скачать
Наименьшее расстояние между точкой и окружностью
Данный круг с данным радиусом имеет свой центр в определенной позиции в координатной плоскости. В координатной плоскости задается другая точка. Задача — найти кратчайшее расстояние между точкой и окружностью.
Примеры:
Подход :
который равен (др)
d = √ ((x2-x1) ^ 2 — (y2-y1) ^ 2)
Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода:
// C ++ программа для поиска
// Наименьшее расстояние
// между точкой и
// круг
#include
using namespace std;
// Функция для поиска кратчайшего расстояния
void dist( double x1, double y1, double x2, double y2, double r)
cout «The shortest distance «
«between a point and a circle is «
sqrt (( pow ((x2 — x1), 2))
double x1 = 4, y1 = 6,
x2 = 35, y2 = 42, r = 5;
dist(x1, y1, x2, y2, r);
// Java-программа для поиска
// Наименьшее расстояние
// между точкой и
// круг
// Функция для поиска кратчайшего расстояния
static void dist( double x1, double y1, double x2,
double y2, double r)
System.out.println( «The shortest distance «
+ «between a point and a circle is «
+ (Math.sqrt((Math.pow((x2 — x1), 2 ))
+ (Math.pow((y2 — y1), 2 )))
public static void main(String[] args)
double x1 = 4 , y1 = 6 ,
x2 = 35 , y2 = 42 , r = 5 ;
dist(x1, y1, x2, y2, r);
/ * Этот код предоставлен PrinciRaj1992 * /
# Python программа для поиска
# Наименьшее расстояние
# между точкой и
# круг
# Функция поиска кратчайшего расстояния
def dist(x1, y1, x2, y2, r):
print ( «The shortest distance between a point and a circle is «
,((((x2 — x1) * * 2 ) + ((y2 — y1) * * 2 )) * * ( 1 / 2 )) — r);
dist(x1, y1, x2, y2, r);
# Этот код предоставлен 29AjayKumar
// C # программа для поиска кратчайшего расстояния
// между точкой и окружностью
// Функция для поиска кратчайшего расстояния
static void dist( double x1, double y1, double x2,
double y2, double r)
Console.WriteLine( «The shortest distance «
+ «between a point and a circle is «
+ (Math.Sqrt((Math.Pow((x2 — x1), 2))
+ (Math.Pow((y2 — y1), 2)))
public static void Main(String[] args)
double x1 = 4, y1 = 6,
x2 = 35, y2 = 42, r = 5;
dist(x1, y1, x2, y2, r);
/ * Этот код предоставлен PrinciRaj1992 * /
// PHP программа для поиска
// Наименьшее расстояние
// между точкой и
// круг
// Функция для поиска кратчайшего расстояния
function dist( $x1 , $y1 , $x2 , $y2 , $r )
echo «The shortest distance between a point and a circle is «
💡 Видео
Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать
Окружность. 7 класс.Скачать
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать
Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать
Расстояние между центрами. Окружность. Математика 10-11 классы.Скачать
Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекцииСкачать
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Найти центр и радиус окружностиСкачать
Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограммеСкачать
Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать
Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математикаСкачать
начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать
Планиметрия 11 |mathus.ru| расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать
