Найти два базиса системы векторов

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов Av А2. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

Найти два базиса системы векторов

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

Найти два базиса системы векторов

  • 3) записать базис системы векторов Б = (АрА2, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
  • 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

Найти два базиса системы векторов

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Найти два базиса системы векторов

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г. Найти два базиса системы векторов

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

Найти два базиса системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A t ay + А2х2 + . + А„хп = 0, которая в координатной записи имеет вид

Найти два базиса системы векторов

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Найти два базиса системы векторов

Разрешенная система имеет вид

Найти два базиса системы векторов

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б: = (AVA2), которые соответствуют разрешенным неизвестным х1 и х2. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А3 являются координаты вектора А’3 = (3, -2), т.е. коэффициенты при х3 в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х3 А3 = ЗЛ1 — 2Аг Аналогично, коэффициентами разложения вектора А4 являются координаты вектора А’4 = (4, 1) А4 = 4Ау + 1 Ат

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я94 = 1.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Как найти базис данной системы векторов

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства Найти два базиса системы векторов: Найти два базиса системы векторов.

2. В системе векторов Найти два базиса системы векторов базисом являются векторы: Найти два базиса системы векторов, т.к. Найти два базиса системы векторовлинейно выражается через векторы Найти два базиса системы векторов.

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронеккера–Капелли дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности произвольной системы Найти два базиса системы векторовлинейных уравнений с Найти два базиса системы векторовнеизвестными

Найти два базиса системы векторов

Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических урав­нений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, Найти два базиса системы векторов.

Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны Найти два базиса системы векторов( Найти два базиса системы векторов), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны Найти два базиса системы векторов( Найти два базиса системы векторов, то система совместна.

2. Для совместной системы найдем какой-нибудь минор, порядок Найти два базиса системы векторовкоторого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из Найти два базиса системы векторовуравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные Найти два базиса системы векторовнеизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.

3. Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образомнаходим частные решения исходной системы уравнений.

Линейное программирование. Основные понятия

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующихсистему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называетсядопустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х1 , х2 , … хn ) и функция этих переменных f(x) = f (х1 , х2 , … хn ), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

Найти два базиса системы векторов

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х1 , х2 , … хn
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Базис векторов и линейные действия над векторами аналитическим путём (теория и решение задач)

Базис – это неопределённое количество векторов в векторном пространстве, и абсолютно любой из этих векторов может создавать линейную комбинацию.

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Базис векторов

Так, согласно доказательству (3), произвольные три некомпланарные векторы Найти два базиса системы векторов, Найти два базиса системы векторов, Найти два базиса системы векторов, образуют в трёхмерном пространстве базис, по которому, согласно формуле (2) можно единственным образом разложить произвольный вектор Найти два базиса системы векторовпространства. Векторы Найти два базиса системы векторов, Найти два базиса системы векторов, Найти два базиса системы векторов, которые образуют базис называются базисными.

Будем считать, что базисные векторы Найти два базиса системы векторов, Найти два базиса системы векторов, Найти два базиса системы векторовсведены к точке Найти два базиса системы векторов.

Числ Найти два базиса системы векторов, про которые упоминалось в разделах “линейно зависимая и линейно независимые системы векторов”, называют координатами вектора в заданном базисе, и пишут:

Найти два базиса системы векторов.

Аналогично, на плоскости базис образуют какие-то два неколлинеарные векторы, а любой некомпланарный с ними может быть разложен по этому базису.

Базисным вектором на прямой линии может быть любой ненулевой вектор.Согласно свойствам линейных операций над векторами, следует, что при сложении и вычитании векторов в данном базисе прибавляются и отнимаются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются не это число координаты вектора, то есть:

  1. Найти два базиса системы векторов.
  2. Найти два базиса системы векторов.
  3. Найти два базиса системы векторов.

Видео:Примеры Линейная зависимость векторов Базис и ранг системы векторовСкачать

Примеры  Линейная зависимость векторов  Базис и ранг системы векторов

Линейные действия над векторами аналитическим путём

Если раньше линейные действия над векторами осуществлялись графически, то теперь эти операции можно выполнять аналитически, не пользуясь рисунком. Давайте вспомним и сформулируем линейные действия:

Чтобы прибавлять (отнимать) два вектора, необходимо прибавить (отнять) их соответствующие координаты, то есть: Найти два базиса системы векторов

Найти сумму векторов Найти два базиса системы векторови Найти два базиса системы векторов, заданных на плоскости Найти два базиса системы векторов.

Решение:

Согласно правилу 1 у нас получается:

Найти два базиса системы векторов= (6, 3).

Построим эти векторы: Найти два базиса системы векторов.

Найти два базиса системы векторов

Мы видим, что четырёхугольник OABC – параллелограмм. Координаты вектора Найти два базиса системы векторовмы сначала получили путём вычислений (аналитически), без помощи рисунка. Рисунок только подтверждает правило параллелограмма при прибавлении векторов, поэтому дальше рисунками будем пользоваться для наглядности.

Чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую из его координат умножить на это число:

Найти два базиса системы векторов

Дан вектор Найти два базиса системы векторовНайти Найти два базиса системы векторов

Решение:

Согласна правилу 2 у нас получается:

Найти два базиса системы векторов

Геометрическое изображение смотрите на рис. 4.

Найти два базиса системы векторов

Два вектора равны, если у них равны соответствующие координаты:

Найти два базиса системы векторов.

Теперь вы понимаете, как получить координаты вектора не только графическим путём, но и аналитическим. В дальнейшем у вас не возникнет сложностей по этому поводу.

Видео:Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Как найти базис вектора, пример

В некотором базисе заданы своими координатами векторы Найти два базиса системы векторови Найти два базиса системы векторовРазложить вектор Найти два базиса системы векторовпо базису, который образовался из векторов Найти два базиса системы векторови Найти два базиса системы векторов

Решение:

Разложение вектора Найти два базиса системы векторовпо базису Найти два базиса системы векторови Найти два базиса системы векторовимеет такой вид:

Найти два базиса системы векторов

где числа Найти два базиса системы векторови Найти два базиса системы векторов– неизвестные. Чтобы их найти, подставим в последнее равенство координаты векторов Найти два базиса системы векторови Найти два базиса системы векторов, а тогда воспользуемся свойствами 1 и 2:

Найти два базиса системы векторов

Согласно свойству 3 про равенство векторов, получим систему уравнений:

Найти два базиса системы векторов

Первое равенство умножаем на 1, а второе на (- 2) и в итоге у на получается:

Найти два базиса системы векторов.

Значит, ответ у нас выходит: Найти два базиса системы векторов

🎬 Видео

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Решение "базисной системы векторов" (2)

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейная оболочка. Базис и размерность

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

2 42 Ортогональность векторовСкачать

2 42 Ортогональность векторов

Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Матрица переходаСкачать

Матрица перехода

Базис линейного пространства (02)Скачать

Базис линейного пространства (02)

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2

Базис векторов и разложение вектора по базису как найти, примерСкачать

Базис векторов и разложение вектора по базису   как найти, пример

Замена базиса. ТемаСкачать

Замена базиса. Тема
Поделиться или сохранить к себе: