Найдите вектор а параллельного переноса если прямая
Обновлено
Поделиться
Найдите вектор параллельного переноса, если прямая, задаваемая уравнением у = Зх — 2, переходит в прямую у = 3х + 4, а прямая Зх + 2у = 2 переходит в прямую 6х + 4y = 3.
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:№278. Прямая AB параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADCСкачать
Найдите вектор а параллельного переноса если прямая
Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона треугольника переходит в другую его сторону?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Сколько пар векторов, полученных параллельных переносом, изображено на рисунке?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Докажите, что площади четырёхугольников ABCD и равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В результате параллельного переноса точка A переходит в точку точка B — в точку Найдите координаты точки если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите вектор параллельного переноса, если прямая, заданная уравнением переходит в прямую а прямая переходит в прямую
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите сумму величин углов MAN, MBN, MCN, MDN и MEN.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать
Планиметрия. Страница 7
Главная
Репетиторы
Учебные материалы
Контакты
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 7
Пусть на плоскости задана геометрическая фигура. Если каждую точку данной фигуры переместить на некоторое расстояние, так чтобы расстояние между точками сохранилось, то мы получим новую фигуру, преобразованную из данной. (Рис.1) Таким образом, преобразование одной фигуры в другую так, что расстояние между точками остается неизменным, называется движением.
Например, при перемещении фигуры М на некоторое расстояние получим фигуру М1. Все точки фигуры М передут в точки фигуры М1. Расстояние между точками сохранится АВ = А1В1
При движение все точки, лежащие на прямой, перейдут в точки также лежащие на прямой. Порядок их взаимного расположения останется неизменным. Т.е. Прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и т.д. При движении градусная мера угла между двумя полупрямыми останется неизменной.
Рис.1 Движение и его свойства.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
2.Симметрия относительно точки
Пусть на плоскости задана точка О. (Рис.2) Возьмем произвольную точку А. Если через точки О и А провести прямую и отложить от точки О отрезок ОА’, равный отрезку АО, то точка О будет называться точкой симметрии. А точка А’ — точкой симметричной точке А относительно точки О.
При преобразовании фигур каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно точки симметрии О. Такое преобразование называется преобразованием симметрии, а фигуры называются симметричными относительно точки О.
Если при преобразовании фигура переходит в саму себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется точкой симметрии. Например, параллелограмм, окружность, эллипс, ромб, квадрат.
Преобразование фигур относительно точки симметрии является движением.
Рис.2 Симметрия относительно точки.
Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
3.Симметрия относительно прямой
Пусть дана прямая а. (Рис.3). Если взять произвольную точку, например точку Е, провести перпендикуляр к прямой а и на продолжении этого перпендикуляра отложить отрезок ВE’, равный отрезку ЕВ, то точка Е’ будет симметрична относительно прямой а. Если точка лежит на прямой а, то она симметрична сама себе.
При преобразовании фигуры в фигуру каждая точка переходит в точку С’, симметричную относительно прямой а. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.
Преобразование симметрии относительно прямой также является движением, т.к. согласно определению движения расстояние между точками фигуры при смещении относительно прямой не изменяется.
Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задана фигура S. Каждая точка фигуры параллельным переносом переходит в точку А’ на одно и тоже расстояние. Тогда можно дать следующее определение: преобразование фигуры S в фигуру S’, в котором каждая точка фигуры с координатами x и y смещается в точку с координатами x+a и y+b, где a и b постоянные числа, называется параллельным переносом.
Параллельный перенос есть движение, т.к. все точки смещаются на одно и тоже расстояние.
Таким образом, для получения координат новой фигуры, параллельный перенос задается следующими формулами:
При параллельном переносе все точки какой-либо фигуры смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние. Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые, параллельные прямые — в параллельные. Расстояния между точками какой-либо фигуры при перемещении, так же как и углы между прямыми, сохраняются.
Рис.4 Параллельный перенос и его свойства.
5.Пример 1
Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Доказательство:
Пусть дан параллелограмм АВA’В’ (Рис.5). По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, треугольники АОB’ и ВОА’ равны по двум сторонам и углу между ними. АО = ОА’, ВО = ОB’, углы при вершине О равны как вертикальные. А отсюда следует, что точки A’ и B’ симметричны точкам А и В относительно точки О. Т.е. получается, что вершины параллелограмма центрально симметричны относительно точки О.
Теперь на стороне АВ’ возьмем произвольную точку Е и проведем через нее прямую, проходящую через точку О. Треугольники ЕОВ’ и BOE’ равны по второму признаку равенства треугольников: по стороне и прилегающим к ней углам. BO = OB’ и углы при вершинах О и В,B’ равны (при вершине О как вертикальные, при вершинах B,B’ как внутренние накрест лежащие). Следовательно, отрезки ЕО и ОE’ равны, т.е. ЕО = ОE’.
Рис.5 Задача. Докажите, что у параллелограмма.
Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка Х параллелограмма переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О. Т.е. преобразование симметрии относительно точки О переводит параллелограмм в сам себя, поэтому он называется центрально-симметричной фигурой, а точка О является его центром симметрии.
Пример 2
Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, которая проведена к основанию, является его осью симметрии.
Доказательство:
Пусть АВА’ данный равнобедренный треугольник с основанием АА’, АВ = ВA’ (Рис.6). Медиана ОВ лежит на прямой а. Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то треугольники АВО и A’BO равны по трем сторонам (АВ = ВA’, АО = ОA’, сторона ОВ у них общая). Следовательно, углы при вершине О равны 90°, как равные смежные углы. А углы при вершине В равны, так как треугольники равны. Следовательно, вершина треугольника А симметрична вершине A’ относительно прямой а, так как основание АA’ перпендикулярно прямой а. Так же как и для любой точки, принадлежащей отрезку АО, найдется симметричная ей точка на отрезке ОА’ относительно прямой а.
Точка В лежит на прямой а, поэтому она симметрична сама себе относительно прямой а.
Теперь проведем произвольную прямую b, параллельную основанию АА’. Она пересечет боковые стороны треугольника в точках ЕЕ’. Рассмотрим треугольники ЕВО’ и BO’E’. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам: сторона BO’ у них общая, углы при вершинах В и О’ равны). Следовательно, ЕО’ = O’E’.
Рис.6 Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану.
Отсюда следует, что любая точка Х’ треугольника ВОА’ симметрична точке Х треугольника АВО относительно прямой а, что является преобразованием симметрии относительно прямой. А если преобразование симметрии относительно прямой а переводит треугольник АВА’ сам в себя, то прямая а является его осью симметрии.
Пример 3
Параллельный перенос задается формулами x’ = x + 2, y’ = y — 3. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки А (1;1), В (2;2), С (-2;0).
Решение:
По условию задачи параллельный перенос задается формулами:
x’ = x + 2, y’ = y — 3
Следовательно, точка А переходит в точку А’ с координатами:
Докажите, что если у двух ромбов равны диагонали, то они равны.
Доказательство:
Пусть даны два ромба: ABCD и A»B»С»D». AC = A»C», BD = B»D». Углы между диагоналями равны 90°. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину A», вершина В — в B», вершина С — в С», вершина D — в D».
Подвергнем ромб ABCD преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку СС’ и проходящей через его середину (Рис.8). Если два ромба не располагаются друг под другом, то нужного расположения можно добиться при помощи параллельного переноса. (Напомним, что параллельный перенос также является движением со всеми вытекающими из этого свойствами.) В результате получим ромб A’B’C’D’. Если точки А и А’ различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, перпндикулярной отрезку A’A» и проходящей через его середину и точку С’. Таким образом, отрезок A’C’ перейдет в отрезок A»C». И в результате получим ромб A»B»’C»D»’.
Преобразование симметрии относительно прямой является движением. А при движении точки переходят в точки, прямые — в прямые, углы между прямыми, так же как и расстояния между точками, сохраняются.
Рис.8 Задача. Докажите, что если у двух ромбов.
Отсюда следует, что отрезок B»’D»’ перпендикулярен отрезку А»C» и проходит через его середину, а точки B»’ и D»’ совпадают с точками B» и D», так как по условию задачи диагонали двух ромбов равны. Таким образом, получается, что диагонали ромба АС и BD полностью совпадут с диагоналями A»C» и B»D». А из этого следует, что и вершины ромба ABCD полностью совпадут с вершинами ромба A»B»C»D», так как они находятся на концах диагоналей. Следовательно, ромб ABCD полностью перейдет в ромб A»B»C»D».
Пример 5
Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2;2) переходит в точку A'(3;-2), а точка В (-2;1) переходит в точку В'(-2;-3).
Решение:
Параллельный перенос задается формулами:
x’ = x + a, y’ = y + b
где а и b одни и те же числа. Отсюда следует, что
a = x’ — x, b = y’ — y. Подставим координаты точки А и A’:
a = 3 — 2, b = -2 — 2; т.е. a = 1, b = -4
Следовательно, параллельный перенос по точке А задается формулами: x’ = x + 1, y’ = y — 4
Отсюда, координаты точки В» будут:
x» = -2 + 1 = -1, y» = 1 — 4 = -3
т.е. B»(-1;-3), а точка B’ имеет координаты (-2;-3).
Следовательно, такого параллельного переноса не существует. (Рис.9)
Рис.9 Задача. Существует ли параллельный перенос.
📸 Видео
Урок 8. Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.Скачать
равны.
точка B — в точку 
Найдите координаты точки 
если 
переходит в прямую 
а прямая 
переходит в прямую
