Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

a — сторона ромба

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Через диагонали и сторону

Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

  • d1 и d2 – диагонали ромба;
  • a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Через сторону и угол

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Через высоту

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

Видео:16 задание ОГЭ 2023 Окружность Квадрат#ShortsСкачать

16 задание  ОГЭ 2023 Окружность  Квадрат#Shorts

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / прямоугольник / диагонали / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / прямоугольник / диагонали / решу егэ

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге , где и — диагонали.

Получим: Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

Найдите радиус вписанной окружности ромба изображенного клетчатой бумаге

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

🎬 Видео

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Радиус вписанной в ромб окружности (6701)Скачать

Радиус вписанной в ромб окружности (6701)

15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать

15 задание треугольники огэ по математике / маттайм

Задание 10 ОГЭ вариант №85Скачать

Задание 10 ОГЭ вариант №85

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИ

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

2062 найдите радиус окружности вписанной в правильный треугольник высота которого 132Скачать

2062 найдите радиус окружности вписанной в правильный треугольник высота которого 132

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

Вариант 2 Задание 3 ЕГЭ 2016 Математика, И В Ященко 36 вариантов Решение ОтветСкачать

Вариант 2  Задание 3  ЕГЭ 2016 Математика, И В  Ященко  36 вариантов  Решение  Ответ

ЕГЭ профиль. Найти радиус описанной окружности. #shortsСкачать

ЕГЭ профиль. Найти радиус описанной окружности. #shorts

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: