Найдите количество точек в которых касательная к графику функции параллельна прямой 2х 5

Видео:Задача 7 ЕГЭ по математике #5Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на промежутке [–5; 6]. Найдите количество точек графика f(x), в каждой из которых касательная, проведённая к графику функции, совпадает или параллельна оси абсцисс

Геометрический смысл производной в точке:
k(касательной)=f`(x _o )

По условию касательная, проведённая к графику функции, совпадает или параллельна оси абсцисс
Значит k=0
f`(x _o )=0
Таких точек четыре ( см. рис.)
О т в е т. четыре

2. На рисунке изображен график производной функции y=f'(x), определенной на интервале (–3;9). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки

Если производная положительна на (a;b), то функция возрастает
Производная, график которой изображен на рисунке, положительна на интервалах, обозначенных на оси Ох синим цветом.
Целых точек, входящих в эти промежутки 6=2+4
Они отмечены на рисунке красным цветом

3. На рисунке изображён график производной дифференцируемой функции y = f(х).

Найдите количество точек графика функции, принадлежащих отрезку [–7; 7], в которых касательная к графику функции параллельна прямой, заданной уравнением у = –3х.
:

Геометрический смысл производной в точке
f`(x _o )=k(касательной)

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты k.

Прямая у=–3х имеет угловой коэффициент k=–3

Значит k(касательной) =–3

Проводим прямую через у=–3 параллельно оси Ох.
Эта прямая пересекается с графиком производной в двух точках
х=4 и х=6
О т в е т. две точки

4. На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на промежутке [–5; 6]. Используя график производной, укажите сумму длин промежутков возрастания функции f(x).

Там где производная положительна функция возрастает, значит это промежутки [–5;0] и [2;6].
Длина первого равна 5, второго 4
Сумма длин 5+4=9

5. Прямая y=–4x–11 является касательной к графику функции y=x 3 +7x 2 +7x–6. Найдите абсциссу точки касания.
Геометрический смысл производной в точке:
f`(x _o )=k ( касательной)

У прямой у=–4х – 11
k=–4

значит k ( касательной)=–4

Находим
f`(x)=3x 2 +14x+7

D=14 2 –4·3·11=196–132=64=8 2

О т в е т. –11/3; –1

6. На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

На отрезке от –7 до –3 график функции (не производной, а самой функции f(x)) монотонно возрастает, а значит свое наименьшее значение функция примет в точке –7

7. На рисунке изображён график функции у = f (х). Функция F(x) = –x 3 –21x 2 –144x–11/4 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=f(x), f(x) ≥0 ; снизу отрезком [a;b] оси ох; прямыми х=а и х=b вычисляют по формуле:

S(криволинейной трапеции)=∫ b _a
По формуле Ньютона–Лейбница
∫ b _a =F(b)–F(a)

Значит,
S( криволинейной трапеции)=F(b)–F(a)=

В данной задаче криволинейная трапеция вырождается в криволинейный треугольник.

S=F(–6)–F(–8)=–(–6) 3 –21·(–6) 2 –144·(–6)–(11/4)–(–(–8) 3 –21·(–8) 2 –144·(–8)–(11/4))=
=216–756+864–512+1344–1152=4

8. На рисунке изображен график y=f'(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [–5; 4].

Экстремум достигается в точке, в которой производная меняет знак (с + на – или наоборот). На данном интервале такая точка одна: –2.
Ответ: –2

8. Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

В момент времени, когда точка меняет направление движения, ее мгновенная скорость равна нулю. Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике

0. Найдите тангенс угла наклона касательной проведенной к графику функции y=2x–x в его точке с абсциссой x ₀ =–2.
→ вопрос из задания №9736

О т в е т. tg α =–9

На рисунке изображены участки графика функции y=f(х) и касательной к нему в точке с абсциссой х = 0. Известно, что данная касательная параллельна прямой, проходящей через точки графика с абсциссами х = –2 и х = 3. Используя это, найдите значение производной f'(о).

Напишем уравнение прямой проходящей через две точки (–2;1) и (3;2).
Уравнение прямой запишем в виде
у=kx+b
Подставим координаты точек в уравнение:
1=k·(–2)+b
2=k·2+b

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными:
<1=k·(–2)+b
<2=k·3+b
Вычитаем из первого уравнения второе:
1–2=–2k–3k
–1=–5k
k=1/5
Геометрический смысл производной в точке:
f`(x _o )=k ( касательной)
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
k(касательной)= 1/5

О т в е т. f`(x _o )=1/5

В точке A графика функции y=x 3 +4x+1 проведена касательная к нему, параллельная прямой y=4x+3. Найдите сумму координат точки A.

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
Угловой коэффициент k прямой у=4х+3 равен 4.
k=4.
Геометрический смыл производной в точке:
f`(x <sub>o</sub> )=k
f`(x)=3x 2 +4
Приравниваем к найденному значению k=4.

А(0;1)
сумма координат точки А
0+1=1
О т в е т. 1

14. Прямая у=12x–6 параллельна прямой l, которая является касательной к графику функции у=x 4 –20x+10. Найдите абсциссу точки касания прямой l и данного графика.

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x <sub>o</sub> )=k (касательной).
По условию касательная и прямая у=12x–6 параллельны, значит их угловые коэффициенты равны.
k (касательной)=k (прямой)=12
f`(x)=4x 3 –20
f`(x _o )=4x 3 _o –20
4x 3 _o –20=12
4x 3 _o =32
x 3 _o =8
x _o =2
О т в е т. 2

15. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x) = –(1/10)x 3 +(9/4)x 2 –(81/5)x–5/2 — одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

16. Прямая y=8x–9 является касательной к графику функции y=x 3 +x 2 +8x–9. Найдите абсциссу точки касания.

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x _o )=k(касательной)

k(касательной) у=8х–9 равен 8

18. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на отрезке (−11; 2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

14. Найти количество значений x , при которых тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x 4 /4–4x 3 /3+2x 2 +3x равен 3

15. Прямая y=8x+3 является касательной к графику функции 15x 2 +bx+18. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

21. Вычислить интеграл в пределах от 0 до 100π √(1–cos2x)/2 dx

(1–cos2x)/2=sin 2 x
√(1–cos2x)/2=√sin 2 x=|sinx|

22. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображены график функции у=f'(x) и семь точек на оси абсцисс:х1,х2,х3,х4,х5,х6,х7. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает.

Достаточное условие монотонности функции на интервале:
Если f'(x) > 0 для любого x ∈ (a;b), то функция возрастает на (a;b).

21. На графике изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (–10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=–20.

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
Прямая у=–20 параллельна оси Ох.
Проводим касательные, параллельные оси Ох.
Точек, в которых можно провести такие касательные к графику данной функции – семь.

34. На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (–5;9). Найдите количество точек, в которых f`(x)=0

Касательная к графику у =f(x), в точках, в которых f`(x)=0, параллельна оси ох.
Таких точек на графике 6.
См. рисунок

45. Материальная точка движется вдоль прямой от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат – расстояние от начального положения точки(в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

расстояние равно 10, поэтому 10:10=1
Автор сообщения: u516516699

Чтобы найти среднюю скорость движения точки, нужно пройденное расстояние разделить на время: 18:10=1,8(м/с)

33. Прямая у=–5х–6 параллельна касательной к графику функции у=x 2 +8x–7. Найдите абсциссу точки касания.

Так как прямая у=–5х–6 (к=–5) параллельна касательной, то угловой коэффициент касательной так же равен –5
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, значит
y'(x ₀ )=k=–5
у=x 2 +8x–7
y’=2x+8
2x+8=–5
2x=–13
x=–6,5

34. К графику функции у = f(x) в точке В( ‐ 3; 3) ее графика проведена касательная. Определите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох, если известно, что f ( ‐ 3) = – 1,25.

k(кас.)=f`(x ₀ )
k=–1,25
y=–1,25x+b– уравнение касательной.
Чтобы найти b подставим координаты точки B.
3=–1,25·(–3)+b
b=–0,75
Уравнение касательной имеет вид у=–1,25х–0,75
0=–1,25х–0,75
1,25х=–0,75
х=–0,6

Прямая у=–1,25х–0,75 пересекает ось Ох в точке
(–0,6;0)

44. Вычислите интеграл в пределах от 1 до 4 f(x)dx, где f(x)=2x–4

88. Функция f (x) определена при всех действительных x. На рисунке изображен график f'(х) её производной. Найдите значение выражения f(3) — f(1).

Составим уравнение производной как прямой, проходящей через точки (1;1) и (3;5)
f`(x)=kx+b

f`(x)=2x–1
f(x)=x 2 –x+C
f(3)–f(1)=3 2 –3+C–(1 2 –1+C)=6
О т в е т. 6

44. Функция у = f (x) определена на промежутке [–4; 4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек графика функции у = f (x), касательная в которых образует с положительным направлением оси Ох угол 45°.

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x ₀ )=k( касательной)=tg α

Если касательная образует с положительным направлением оси Ох угол 45°, tg45° =1 ⇒ k=1

Найдем сколько точек на графике производной имеют ординату равную 1. Проводим прямую у=1.
Она пересекает график производной в трех точках.
О т в е т. три точки

12. Прямая у=2x+1 является касательной к графику функции у=x 2 –2x–c. Найдите с.

Геометрический смысл производной:
f`(x <sub>0</sub> )=k(касательной)
По условию k=2.
Найдем точку х <sub>0</sub> .
f`(x)=2x–2
f`(x ₀ )=2x ₀ –2
2x ₀ –2=2
x ₀ =2
Ордината точки касания на касательной y(2)=2•2+1=5
равна ординате точки касания на графике
f(2)=2 2 –2•2–c=–с
–с=5
c=–5
О т в е т. с=–5

ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ

Функция у = f(x) определена на отрезке [–4; 3]. На рисунке изображен график производной функции у = f'(x). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

Если производная меньше нуля, то функция убывает. Так как производная отрицательна везде, то функция убывающая и наименьшее значение достигается в точке 3.

11. На рисунке изображен график производной функции у = f(x), определенной на промежутке (–4; 5). Найдите количество точек экстремума функции у = f(x).

Точки, в которых производная обращается в 0, являются точками возможного экстремума.
Это две точки.
Если при переходе через эти точки производная меняет знак, а это так:
при переходе через первую точку с – на +
при переходе через вторую точку с + на –
О т в е т. Две точки экстремума на (–4;5)

12. На рисунке изображён график функции у=f(x), определённой на интервале (–6;6). Найдите количество решений уравнения f'(x)=0 на отрезке [–5,5;4].

Производная f'(x) функции у=f(x) принимает значения равные нулю в точках максимума и минимума функции. Таких точек на заданном отрезке 6.

12. На рисунке изображен график функции у = f(x) и отменены точки –3, —1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x ₀ )=k(касательной)=tgα.
Проведем касательные к кривой в данных точках.

В точке х=–1 касательная параллельна оси Ох.
k(касательной)=0 tgα=0 α=0.

В точке х=2 касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ох. k > 0
Значит значение производной положительно.

В точках х=–3 и х=3 касательные образуют тупой угол с положительным направлением оси Ох.
Их угловые коэффициенты отрицательны.
Функция у=tgt на (π/2; π) возрастает. большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Угол в точке х=3 больше, его тангенс больше, значит и производная в точке больше.
Наименьшее значение производной в точке х=–3

13. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (–10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=–20.

Прямая y=–20 параллельная оси Ох, угловой коэффициент равен нулю. Касательные параллельные оси Ох проходят через точки минимума или максимума функции. Точек экстремума на данном графике 7.

17. Найдите тангенс угла, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная, проведенная к графику функции f(x)=(x+5)/(x–2), в точке x ₀ =7 этого графика.

13. На рисунке изображён график функции y=f(x) и десять точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, . х10. В скольких из этих точек производная f'(x) функции f(x) положительна?

Производная f'(x) функции f(x) положительна на промежутках возрастания функции f(x).
Точек, расположенных на промежутках возрастания функции 6: х1, х3, х4, х6, х9, х10.

14. На рисунке изображён график производной y=f'(x) функции f(x), определённой на интервале (–4;8). В какой точке отрезка [–3; 1] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Значение производной на отрезке [–3; 1] отрицательно, значит, на этом отрезке график функции монотонно убывает. Поэтому функция принимает наименьшее значение в точке х=1.

15. На рисунке изображён график функции у = f(x). Прямая, проходящая через точку (–1; 1), касается этого графика в точке с абсциссой 3. Найдите f'(3).

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x ₀ )=k(касательной)
Касательная к кривой проходит через точку с абсциссой х ₀
Напишем уравнение касательной в виде
у=kx+b.
Чтобы найти k подставим координаты точек (–1;1) и (3;–1)
1=k•(–1)+b
–1=k•3+b
Получаем систему двух уравнений
<1=k•(–1)+b;
<–1=k•3+b
Вычитаем из первого уравнения второе
1–(–1)=–k–3k;
2=–4k;
k=–1/2
k(касательной)=–1/2.

Можно написать уравнение касательной как уравнение прямой, проходящей через две точки (–1;1) и (3;–1).
Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х ₁ ;у ₁ ) и (х ₂ ;у ₂ ) имеет вид
(x–x ₁ )/(x ₂ –x ₁ )=(y–y ₁ )/(y ₂ –y ₁ ).
(х–(–1))/(3–(–1))=(у–1)/(–1–1)
(х+1)/4=(у–1)/(–2)
Пропорция, умножаем крайние и средние члены пропорции:
–2(х+1)=4(y–1)
4y+2x–2=0
y=(–1/2)x+(1/2)
k(касательной)=–1/2

17. Известно, что f (x) – нечётная периодическая функция с наименьшим положительным периодом, равным 8. На рисунке изображен ее график на отрезке [–4; 0].

Найдите значение выражения 5f(6)–6f(–5).

f(6)=4;
f(–5)=–3.
5f(6)–6f(–5)=5•4–6•(–3)=20+18=38

19. Функция у = f (x) определена на отрезке [–2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой она принимает наименьшее значение на отрезке [–2; –0,001].

На данном интервале производная отрицательна, значит, функция убывает и наименьшее значение f(x) принимает в точке –0,001 т.к она является крайней правой границей промежутка убывания

20. Известно, что h(x) – чётная периодическая функция с наименьшим положительным периодом, равным 4. На рисунке изображен ее график на отрезке [0; 2]. Вычислите 2h(3)+3h(–2).

21. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x ₀ . Касательная задана уравнением y = –2x + 15. Найдите значение производной функции у = –(1/4)f(x) + 5 в точке x ₀ .

23. Прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика графика функции f(x) = –2x 2 +6x–7. Найдите ординату точки касания.

Геометрический смсыл производной в точке. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой в данной точке.
Прямая, параллельная оси ох, имеет угловой коэффициент k=0.
Находим производную данной функции.
f`(x)=–4x+6;
f`(x ₀ )=–4x ₀ +6;
f`(x ₀ )=k;
–4x ₀ +6=0;
x ₀ =1,5.
y ₀ =–2(1,5) 2 +6·1,5–7=–2,5
О т в е т. Ордината точки касания (–2,5).

34. На графике дифференцируемой функции у = f (x) отмечены семь точек: х1. х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f (x) больше нуля. В ответе укажите количество этих точек.

Производная функции больше нуля в тех точках, в которых функция возрастает. Тогда таких точек на графике 2 штуки.

56. На рисунке изображён график y = f'(х) производной функции f(х), определенной на интервале (–10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = –2x–11 или совпадает с ней.

Уравнение прямой умеет вид y=kx+m где k–угловой коэффициент. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в эту точку. Так как касательная параллельна прямой y = –2x–11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. На графике находим y=–2 и смотрим сколько раз эта прямая пересекает график производной.На данном интервале таких точек 5

45. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображён график y=f'(x)— производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆ , x ₆ , x ₇ , x ₈ , x ₉ .
Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x) ?

Функция у=f(x) убывает на промежутках, где значение функции y=f'(x) отрицательно, то есть где график функции y=f'(x) расположен ниже оси Ох.
Значит, точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x) 3 (х5, х6, х9)

67. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x ₀ . Найдите значение производной функции f(x) в точке x ₀ .

Значением производной в какой–либо точке называют тангенс угла наклона касательной или ее угловой коэффициент. Т.к. касательная возрастает, значит ее угловой коэффициент положительный, значит и тангенс положительный.
Чтобы найти тангенс угла, нужно достроить его до прямоугольного треугольника.
Тангенсом называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
tga=(10–4)/|–4–(–1)|=6/3=2
УСЛОВИЕ:

На рисунке изображён график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке х0. Касательная задана уравнением у = 1,5x + 3,5. Найдите значение производной функции у = 2f(x) – 1 в точке x ₀ .

у′ = (2f(x)–1)′ = 2f′(х) – 0 = 2f′(x) в точке Х ₀ .
Вспомним, что f′(х0) равно коэффициенту при х в уравнении касательной у = 1,5х + 3,5 к графику функции f(x) в точке х0.
k=1,5. Подставим это значение в у′:
у′ = 2f′(x ₀ ) = 2 · 1,5 = 3 – значение производной функции y= 2f(x)–1 в точке Х ₀

09. УСЛОВИЕ:

Производная функции f(x) отрицательна на промежутке [–5; 4]. В какой точке этого промежутка функция f(x) принимает наибольшее значение?

В точках –5 и 4 производная функции меняет знак с + на – и с – на +. В точке –5 будет наибольшее значение, а в точке 4 наименьшее

43. УСЛОВИЕ:

На рисунке приведен график y=F(x) одной из первообразных функции f (x). На графике отмечены шесть точек с абсциссами x ₁ , x ₂ , . x ₆ . В скольких из этих точек функция y=f(x) принимает отрицательные значения?

54. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображён график y = f'(х) производной функции f(х) и шесть точек на оси абсцисс: х1, х2. х6. В скольких из этих точек функция f (х) возрастает?

Если производная функции положительная (выше 0 по оси Y), значит функция возрастает.

Да данном графике такие точки x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆

Прямая y=kx–6 является касательной к гиперболе f(x)=1/x. Найдите угловой коэффициент k этой прямой.

Допустим x ₀ – точка касания. Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f'(x ₀ ) = k, (1/x ₀ )’ = k. Также известно, что в точке x ₀ общая для обоих функции, из чего следует kx ₀ –6=1/x ₀ . Можно составить систему из двух уравнение.

67. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x)=3x 2 , g(x)=3√x

34. УСЛОВИЕ:

На рисунке 20 изображён график функции у = f(х), определённой на интервале (–8; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

36. УСЛОВИЕ:

Функция y=f(x) определена на промежутке [ ‐ 4; 5]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек экстремума функции f(x).

Таких точек 4 штуки – производная меняет свой знак при переходе через точку экстремума и равна нулю в точке экстремума.

98. На рисунке изображен график функции у = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенные интеграл от 1 до 5 f(x)dx

Как известно интеграл это площадь под графиком. Зная это, задача превращается в элементарную геометрическую. Лично мне бросается в глаза две фигуры трапеция с основаниями 1 и 3, высотой 1 и прямоугольник 3 на 3.

S = (1+3)·1/2 + 3·3 = 2 + 9 = 11

00. УСЛОВИЕ:

Прямая y=–3x–6 параллельна касательной к графику функции y=x 2 +5x–4. Найдите абсциссу точки касания.

Чтобы решать такие задачи надо знать.

1) Прямая y=k1x+b1 параллельна прямой y=k2x+b2, если k1=k2. k1 и k2 – коэффициенты наклона прямых.

2) Геометрический смысл производной: значение производной функции у=f(x) в точке x ₀ равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции у=f(x) в точке x ₀ , то есть tg(a)=k=f'(x ₀ ), где k — угловой коэффициент касательной.

График в данном случае строить НЕ НУЖНО. Я это сделал чтобы наглядно проиллюстрировать что происходит.

87. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график первообразной у = F(x) некоторой функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество нулей функции f(x) на данном интервале.

Чтобы найти нашу функцию f(x) = F'(x) = 0, возьмем производную от первообразной. Производная этой функции F′(x) равна нулю в точках экстремумов (локальных максимумов и минимумов), а их у нас 4.

55. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график некоторой функции у = f(х). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл.

Так как искомый определенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной функцией y= f(x), осью Ох и прямыми х = –7 и х = –1, то найдем эту площадь.

Нужная фигура – это трапеция с основаниями, равными 5–1 = 4 (сторона а) и 7–1 = 6 (сторона b) и высотой h = 2.

По формуле поиска площади трапеции S = (1/2)·(а+b)·h найдем искомую площадь.

S = (1/2)·(4+6)·2 = 10 – это и есть искомый интеграл.

77. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображён график функции у = f(x). Найдите наи меньшее значение функции f(x) на отрезке [1; 9].

по рисунку определяем, что наименьшее значение функции y = f(x) на отрезке [1; 9] будет в точке x = 9 и оно равно –4.

66. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через точку (–6;–1), касается этого графика в точке с абсциссой 6. Найдите f'(6)

Проведём прямую, проходящую через точку A с координатами (–6; –1) и через точку касания B с координатами (6; 2).
Тогда, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.
Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A, B, C. Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC: f'(6)=tg(BAC)=BC/AC=3/12=0,25

99. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (–3:8). Найдите точку минимума функции f(х).

Производная меняет знак с – на + в точке 4

00. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображён график функции у = f(x) и отмечены точки –5, –3, 3, 7. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

В чем заключается геометрический смысл производной? А в том, что это значения тангенса угла касательной к графику в данной точке. Возможно сложное определение. но мысленно проведите к графику во всех точках касательные, больше всего угол наклона будет в точке 3 – значит это и есть наибольшее значение производной.

p.s. в точке –3 или к примеру 7 тангенс угла наклона касательной тоже очень большой, но так как касательная стремится вниз, то значение тангенса ее угла с осью Оy отрицательное и по этому – это сразу не подходит

88. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображён график y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (–7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [– 5; 2].

Нам нужно определить сколько имеется точек на данном графике, в которых F′(x) = 0. Мы знаем, что производная равна нулю в тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси ох, таких точек на данном интервал [–5;2] 3, это –4, –1, 1

55. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображён график производной у = f'(х) функции f(х), определённой на интервале (–2; 9). В какой точке отрезка [3; 8] функция f(x) принимает наименьшее значение?

На заданном отрезке производная функции положительна. Поэтому наименьшее значение достигается на левой границе отрезка, то есть в точке 3

44. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−6; 7].

Так как перед нами график производной функции, мы ищем те точки, в которых функция пересекается с осью Ox. И таких точек тут 3

55. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x ₀ . Уравнение касательной показано на рисунке. найдите значение производной функции y=4·f(x)–3 в точке x ₀ .

Нужно найти производную функции y= 4f(x)–3 в точке Х ₀ .

То есть у′ = (4f(x)–3)′ = 4f′(х) – 0 = 4f′(x) в точке Х ₀ .

Вспомним, что f′(х0) равно коэффициенту при х в уравнении касательной у = (–3/4)х + 6,5 к графику функции f(x) в точке х0.

Значит f(x ₀ ) = –3/4. Подставим это значение в у′:

у′ = 4f′(x ₀ ) = 4 · (–3/4) = –3 – это и есть искомое значение производной функции y= 4f(x)–3 в точке Х ₀ .

00. УСЛОВИЕ:

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции y = ax 2 + 2x + 3. Найдите a.

88. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график у = f'(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у =–2х–11 или совпадает с ней.

из уравнения y=–2x–11 видим, что k=–2. Значит ищем все точки, которые лежат на прямой y=–2, а таких точек 5

33. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график у = f'(х) — производной функции f(х). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у = f(х) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Ищем точку в которой угловой коэффициент касательной равен 0 а значит и значение производной. Эта точка –3

99. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график у = f'(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Наибольший из них промежуток (–7;–1) и его длина составляет 6

11. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график у = f'(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

промежутки возрастания – это те промежутки в которых производная положительная.
–6+(–2)+(–1)+0+1+2+3=–3

33. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график у = f'(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [–13;1].

Точки минимума соответствуют точкам, в которых производная меняет знак с минуса на плюс

ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?

Показать имеющиеся вопросы (1)

34. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график у = f'(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f(х), принадлежащих отрезку [–6;9].

Количество точек максимума соответствует точкам в которой производная функции меняет знак с положительного на отрициательный

66. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график у = f'(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f(х) принимает наименьшее значение.

88. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции равна F(x)=(1/3)·x 3 –x 2 +2x–5. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решаем по формуле Ньютона–Лейбница.

88. УСЛОВИЕ:

Функция y=f(x) определена на промежутке (–2;5). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции y=f(x) на этом промежутке.

Функция меняет свой знак с минуса на плюс в точке абсциссой 0. Следовательно 0 – минимум функции

11. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x ₀ =1. Найдите значение производной функции в этой точке.

Значение производной – это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке. Касательная проходит через точки (0;4) и (2;0) следовательно угловой коэффициент k=(0–4)/(2–0)=–2

33 УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x ₀ =1. Найдите значение производной функции в этой точке.

Значение производной – это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке. Касательная проходит через точки (0;4) и (2;0) следовательно угловой коэффициент k=(0–4)/(2–0)=–2

22 УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x ₀ =1. Найдите значение производной функции в этой точке.

Значение производной – это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке. Касательная проходит через точки (0;4) и (2;0) следовательно угловой коэффициент k=(0–4)/(2–0)=–2

33. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = –2x–11 или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. По–скольку касательная параллельна прямой y = –2x–11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x ₀ ) = –2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = –2. На данном интервале таких точек 5.

77. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (–2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

88. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображены графики прямой и производной функции У =f(х). Найдите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна этой прямой.

В решение небольшая опечатка, смотрите ниже

99. УСЛОВИЕ:

На рисунке изображен график производной функцииy y=f(x). Найдите наименьшее возможное значение тангенса угла наклона касательной к графику этой функции.

Главным является знание геометрического смысла производной. Обратите внимание, что на рисунке представлен график производной функции. Мы видим, что наименьшим значением производной является число –3. Это же число и будет наименьшим значением тангенса угла наклона касательной к графику этой функции.

ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?

Показать имеющиеся вопросы (1)

88. УСЛОВИЕ:

Прямая y = 7–9x параллельна касательной к графику функции y= x 3 +4x 2 –5х–11. Найдите целочисленную абсциссу точки касания.

Если касательная задана в виде у=kх+b, то ее угловой коэффициент равен k. При параллельном переносе угловой коэффициент прямой не меняется. По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент данной касательной равен значению производной заданной функции y = х 3 + 4х 2 – 5х – 11, т.е. для определения искомой абсциссы справедливо уравнение 3х 2 + 8x – 5 = –9. Корни уравнения 3x 2 + 8x + 4 = 0 равны –2/3 и –2. Целочисленное значение –2 запишем в ответе.

Видео:На рисунке график функции y=f(x) Найдите количество точек в которых касательная параллельна прямойСкачать

Задание №6. Производная. Поведение функции. Первообразная — профильный ЕГЭ по Математике

Необходимая теория:

Задание 6 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

💡 Видео

Задание 7 ЕГЭ по математикеСкачать

Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать

Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x^2+6x-8 Найдите абсциссу точки касания.Скачать

№ 40130 РешуЕгэ найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямойСкачать

ЕГЭ 2017 Профильный №7 найти точки, в которых касательная параллельна прямой #7Скачать

Касательная параллельна прямой 7 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

ЕГЭ Математика профиль Задание 7 #510938Скачать

ЕГЭ производная |На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале...Скачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Производная функции. КасательнаяСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

ЕГЭ 2017 Профильный №7 касательная к графику параллельна прямой #7Скачать

Все Задания 8 ЕГЭ 2024 ПРОФИЛЬ из Банка ФИПИ (Математика Школа Пифагора)Скачать

ЕГЭ математика 7 (производная)#5🔴Скачать

Дан график производной Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции парал-на оси ХСкачать

ЕГЭ математика ПРОИЗВОДНАЯ 7#430 🔴Скачать

ЕГЭ Математика профиль Задание 7 #510918Скачать

Задача 7 ЕГЭ по математике #2Скачать

Прямая y=6х-5 касательная к графику функции y=3х^2+bх+7 Найдите b ( абсцисса точки касания больше 0)Скачать