С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
- 1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
- 2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
- 3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
- Все формулы для радиуса вписанной окружности
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
- Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус вписанной окружности в любой треугольник
- Радиус вписанной окружности в правильный треугольник
- Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
- Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
Пусть известна сторона a равностороннего треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности через основание a и боковую сторону b вычисляется из следующей формулы:
 | (1) |
Учитывая, что у равностороннего треугольника все стороны равны (( small a=b )), имеем:
| ( small r=frac cdot sqrt<frac> ) ( small =frac cdot sqrt<frac> ) ( small =frac<large 2 cdot sqrt> ) |
| ( small r=frac<large 2 cdot sqrt> ) | (2) |
или, умножив числитель и знаменатель на ( small sqrt ):
| ( small r=frac<large sqrt> cdot a ) | (3) |
Пример 1. Известна сторона a=17 равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (2) и (3). Подставим значения ( small a=17 ) в (3):
 |
Ответ: 
2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
Пусть известна высота h равностороннего треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Выведем формулу стороны равностороннего треугольника через высоту. Из Теоремы Пифагора имеем:
| ( small h^2+left( frac right) ^2=a^2.) |
| ( small h^2+ frac =a^2; ; ) ( small fraca^2 =h^2; ; ) ( small a^2=frac.) |
| ( small a= frac<large sqrt> .) | (4) |
Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности по основанию и высоте вычисляется из формулы
| ( small r= large frac<a+sqrt> ) | (5) |
Подставляя (4) в (5), получим:
| ( small r= large frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>+sqrt<frac+4h^2>> ) ( small = large frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>+sqrt<frac>> ) ( small = large frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>+frac<large sqrt>> ) ( small = large fracsmall =large frac small cdot h ) |
То есть, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности по высоте вычисляется из формулы:
| ( small r = large frac small cdot h ) | (6) |
Пример 2. Известна высота ( small h=39 ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значение ( small h=39 ) в (6):
 |
Ответ: 
3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
Пусть известна площадь S равностороннего треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется из следующей формулы:
| ( small S= 3cdot sqrtr^2.) |
| ( small r^2= large frac |
| ( small r= large frac <sqrt[4]> small cdot sqrt | (7) |
Пример 3. Известна площадь равностороннего треугольника: ( small S=42 . ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (7). Подставим значение ( small S=42 ) в (7):
 |
Ответ: 
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности
рассчитать и выразить через периметр, площадь,
высоту, основание, стороны, диаметр. Формулы
радиуса окружности вписанной в треугольник.
Центр вписанной в треугольник окружности — это одна
из замечательных точек треугольника, она расположена
в точке пересечения биссектрис треугольника, её
иногда называют инцентром.
Центр вписанной окружности правильного треугольника — это
точка, где пересекаются высоты, медианы и биссектрисы.
В любой треугольник можно вписать только одну
окружность, которая находится внутри треугольника.
Центр вписанной окружности равноудален от всех
сторон треугольника. Точка, где окружность пересекается
со стороной треугольника, называется точкой касания.
Все отрезки, которые проведены от точки касания к центру
вписанной окружности имеют одинаковую длину.
Чтобы найти радиус окружности вписанной в треугольник
надо площадь разделить на полупериметр.
Диаметр вписанной окружности в треугольник численно
равен двум радиусам вписанной окружности. Радиус
вписанной окружности можно найти по разным
формулам, все зависит от того, какой треугольник.
Всего различают четыре вида треугольников:
- Разносторонний / любой
- Правильный / равносторонний
- Равнобедренный / равнобочный
- Прямоугольный / прямой
Радиус вписанной окружности в любой треугольник
- Радиус вписанной окружности в любой треугольник через площадь и полупериметр
S — площадь; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через все стороны и полупериметр
a, b, c — стороны; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через основание, высоту и полупериметр
a — основание, сторона на которую падает высота; h — высота; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник
- Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через сторону
a — сторона;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через радиус описанной окружности
R — радиус описанной окружности;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
- Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через боковые стороны и основание
a — боковая сторона; b — основание;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через высоту и основание
b — основание; h — высота;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
- Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через два катета и гипотенузу
a, b — катеты; с — гипотенуза.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через гипотенузу и два катета
c — гипотенуза; a, b — катеты;
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Вписанная окружность в треугольник — это окружность,
которая вписана в треугольник и касается всех его сторон.
Радиус вписанной окружности в треугольник — это отрезок,
проведенный от центра вписанной окружности до любой стороны.
Длина радиуса вписанной окружности, диаметра
вписанной окружности а также других величин
измеряется в мм, см, м, км и так далее.
В любом треугольнике все радиусы и диаметры
равны, имеют одинаковую длину.