Найдите диаметр окружности если ав 15 ас 25 (8 видео)

Найдите диаметр окружности если ав 15 ас 25

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите диаметр окружности, если A B = 4 , A C = 10 .

Содержание

На окружности радиуса 15 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р?
Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В?
На окружности радиуса 3 с центром в вершине равнобедренного треугольника АВС взята точка Р?
В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон треугольника АВ, ВС, АС в точках М , Т , Р соответственно?
В треугольнике АВС известны длины АВ = 36, АС = 48, точка О центр окружности описанной около треугольника АВС?
Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярна к плоскости треугольника?
В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 8, АС = 64, точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС?
В треугольнике АВС угол А = 60градусов?
Стороны АВ и ВС треугольника АВС соответственно равны 9 и 6?
В треугольнике АВС известны длины сторон АВ — 30, АС 100, точка О центр окружности , описанной около треугольника АВС ?
25 баллов геометрия?
Разбор геометрия ОГЭ 2 часть
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
📽️ Видео

Видео:Радиус и диаметрСкачать

На окружности радиуса 15 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р?

Геометрия | 10 — 11 классы

На окружности радиуса 15 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р.

Известно, что АВ = 25, АС = 15, ВС = 20, а треугольник АРС и треугольник ВРС равновелики.

Найдите расстояние от точки Р до прямой АВ, если оно меньше 20.

Треугольник АВС — прямоугольный , т.

К. АВ ^ 2 = AC ^ 2 + BC ^ 2 625 = 225 + 400 = &gt ; тр.

Прямоугольный вписан в окружность = &gt ; AB диаметр окружн.

И (. ) О — центр окр.

) С и О прямую до пересечения с окр.

В Р. строим треуг.

АРВ , он прямоуг.

АВ — диаметр треуг.

АСВ и АРВ равны по построению = &gt ; они и меют равные площади — равновелики S(APB) = 1 / 2 * AP * PB = 1 / 2 * 20 * 15 = 150 но S = 1 / 2 * AB * H = &gt ; 2S / AB = 300 / 25 = 12.

Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В?

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В.

Найдите диаметр окружности, если АВ = 9, АС = 12.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

На окружности радиуса 3 с центром в вершине равнобедренного треугольника АВС взята точка Р?

На окружности радиуса 3 с центром в вершине равнобедренного треугольника АВС взята точка Р.

Известно, что АВ = АС = 5, ВС = 6, а треугольники АРВ и АРС равновелики.

Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если известно что оно больше 6.

Видео:КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон треугольника АВ, ВС, АС в точках М , Т , Р соответственно?

В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон треугольника АВ, ВС, АС в точках М , Т , Р соответственно.

Расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника АВС до вершины С равно корню из 8 см.

Найдите радиус окружности, угол ТОР и угол ТМР.

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

В треугольнике АВС известны длины АВ = 36, АС = 48, точка О центр окружности описанной около треугольника АВС?

В треугольнике АВС известны длины АВ = 36, АС = 48, точка О центр окружности описанной около треугольника АВС.

Прямая ВД, перпендикулярна прямой АО, пересекает АС в точке Д.

Видео:№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.Скачать

Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярна к плоскости треугольника?

Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ = ВС = 10см, АС = 12см, ОК = 4см.

Видео:Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №15.Скачать

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 8, АС = 64, точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС?

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 8, АС = 64, точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС.

Прямая ВД, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке Д.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

В треугольнике АВС угол А = 60градусов?

В треугольнике АВС угол А = 60градусов.

Радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 1 см.

Найдите расстояние от точки касания окружности и прямой АС до вершины А.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Стороны АВ и ВС треугольника АВС соответственно равны 9 и 6?

Стороны АВ и ВС треугольника АВС соответственно равны 9 и 6.

Центр окружности ( точка О), проходящей через вершины А и С треугольника АВС, лежит на стороне АВ.

Точки D и F являются точками пересечения продолжения сторон АВ и ВС с окружностью.

Найдите радиус окружности , если ВD равен 3.

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ — 30, АС 100, точка О центр окружности , описанной около треугольника АВС ?

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ — 30, АС 100, точка О центр окружности , описанной около треугольника АВС .

Прямая ВД, перпендикулярная прямой АО , пересекает сторону АС в точке Д.

Видео:Задание 25 из реального ОГЭ по математике 2023 | УмскулСкачать

25 баллов геометрия?

25 баллов геометрия.

Точка D — середина основания АВ равнобедренного треугольника АВС .

Докожите что прямая АВ касается окружности с центром в точке С и радиусом CD.

Вы открыли страницу вопроса На окружности радиуса 15 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Ніяка — 5 букв, 6 звуків [н’ійака].

Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см, и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба? V = V1 + V2 + V3 = 3³ + 4³ + 5³ = 27 + 64 + 125 = 216 = a³ a = ∛216 = 6.

5. Ответ 9 см т. К. треугольник ABC = ACD по 2 сторонам и углу между ними. 6 Ответ Угол ABC = 132 т. К. проведем AC образовав равные треугольники(по 3 равны сторонам) и этого следует, углыABC и ADC = 132 т. К. лежат против равных сторон.

Сейчас нет времени дальше решать, но вот постаралась.

Это расстояние = 21 см.

А условие хоть какое. Есть много решений для такой задачи.

Точка H лежит между точками E и G.

S(б) = π(R + r)l = π(2, 6 + 1, 4)3 = 12π≈37, 68 (кв. Ед. ).

Решение дано на фото.

Ад = дс Угол Даб = углу дсб Угол адб = углу бдс Треугольники равны.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

Разбор геометрия ОГЭ 2 часть

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математикеСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задание 24. Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4.

Сделаем построение, проведен радиус BO, который будет перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи (см. рисунок).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого известны два катета: AB=4 и BO=d/2, где d=15 – диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора, длина отрезка AO равна

В результате получаем, что длина отрезка AC=AO+OC есть

Задание 25. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Запишем площадь треугольника ABO в виде:

где — площадь треугольника ABC; — площадь треугольника BOC. То есть площадь треугольника ABO можно представить как:

. (1)

Аналогично запишем площадь треугольника DCO, имеем:

Так как , то последнее выражение можно переписать в виде:

. (2)

Выражения (1) и (2) идентичны между собой и описывают площади треугольников ABO и DCO, то есть площади этих треугольников равны. Утверждение доказано.

Задание 26. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 6, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 6.

Так как ABCD параллелограмм, а AK и BK – биссектрисы углов A и B, то точка K равноудалена от сторон AB и BC (см. рисунок). По условию задачи точка K удалена от стороны AB на расстояние 6 единиц, следовательно, от стороны BC она также удалена на 6 единиц. Получаем, что высота параллелограмма (красная линия на рисунке) равна единиц. Тогда площадь параллелограмма можно найти как

Задание 24. Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 2, АС = 8.

Введем обозначение OB=OC=r – радиусы окружности. Тогда отрезок . Выразим квадрат радиуса BO=r из прямоугольного треугольника ABO по теореме Пифагора, получим следующее выражение:

Так как BO=r, получаем уравнение:

И диаметр окружности равен .

Задание 24. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и K соответственно. Найдите ВН, если РК = 11.

Для решения данной задачи нужно вспомнить, что в любой окружности хорды, проведенные от ее диаметра, всегда пересекаются под углом в 90 градусов. Следовательно, точки P и K находятся на разных концах диаметра окружности, и так как PK=11, то и диаметр окружности равен 11. В задаче сказано, что BH – это диаметр окружности, значит, BH=PK=11.

Задание 25. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1 Докажите, что углы BB1C1 и ВСC1 равны.

1. Из рисунка видно, что треугольники BOC1 и CB1O подобны по двум углам (углы , так как CC1 и BB1 – высоты, а углы как вертикальные углы). В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны, то есть можно написать соотношение

2. Треугольники C1OB1 и BOC подобны по двум пропорциональным сторонам и углам между ними (углы – вертикальные).

3. Из подобия треугольников следует равенство углов:

а, значит, равны и углы

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если ВС = 12.

По условию задачи BO:OH=5:4, следовательно, OH:BO=4:5. По свойству биссектрисы AH:AB=HO:BO=4:5, но AH:AB – это косинус угла A, то есть . Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, в котором условно катет AH=4, а гипотенуза AB=5. По теореме Пифагора находим

Тогда синус угла A равен . По следствию теоремы синусов имеем:

где R – радиус описанной окружности. Следовательно,

Задание 24. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 12.

Для решения данной задачи нужно вспомнить, что в любой окружности хорды, проведенные от ее диаметра, всегда пересекаются под углом в 90 градусов. Следовательно, точки P и K находятся на разных концах диаметра окружности, и так как PK=12, то и диаметр окружности равен 12. В задаче сказано, что BH – это диаметр окружности, значит, BH=PK=12.

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, a CD = 25.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH, в котором угол . Так как косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то можно записать, что

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, в котором AM=CH. Известно, что синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть, имеем:

Подставляя вместо AM найденное ранее числовое значение, получаем:

Задание 25. Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Из рисунка видно, что площадь треугольника ECD можно выразить как

Площадь трапеции можно вычислить как произведение средней линии трапеции на высоту HH1, то есть

Площади треугольников BCE и AED равны

Тогда, площадь треугольника ECD равна

Учитывая, что , получаем:

То есть площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD.

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

1. По условию задачи биссектриса BE и медиана AD пересекаются под прямым углом. Следовательно, в треугольнике ABD BO – медиана, и треугольник ABD равнобедренный с основанием AD. Тогда AO=OD=4.

Если медиана с биссектрисой пересекаются под 90 градусов, то в точке пересечения биссектриса делится в отношении 3:1, считая от вершины, следовательно, .

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором известны два катета AO и BO. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

Так как BD=AB, а BC=2BD=2AB, то

3. Вычислим длину отрезка AE из прямоугольного треугольника AOE по теореме Пифагора:

По свойству биссектрисы треугольника можно записать, что

и сторона AC равна

Ответ: .

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, a CD = 26.

Подставляя вместо AM найденное ранее числовое значение, получаем:

Задание 24. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Высоту CH можно найти из формулы площади треугольника как

, (1)

где AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, равная (по теореме Пифагора)

Площадь прямоугольного треугольника ABC также равна половине произведения его катетов:

Подставим все известные величины в формулу (1) и найдем высоту CH, получим:

Ответ: .

Задание 25. Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что .

Так как точки C и D лежат как на малой, так и на большой окружностях, то CE=ED – радиусы малой окружности, а CF=FD – радиусы большой окружности. Следовательно, треугольники CDE и CDF – равнобедренные с основанием CD. Отсюда следует, что треугольники CEF=DEF по трем сторонам. Так как в равных треугольниках углы также равны, то получаем, что , а значит, FE – биссектриса равнобедренного треугольника CFD. Но биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является высотой, следовательно .

Задание 24. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Высоту CH прямоугольного треугольника ABC можно найти из формулы площади треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как произведения его катетов, деленное пополам:

где катет CB вычисляется по теореме Пифагора как

Таким образом, площадь треугольника равна

Ответ: .

Задание 25. Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что MN перпендикулярна ST.

Так как точки S и T лежат как на малой, так и на большой окружностях, то SM=TM – радиусы малой окружности, а SN=TN – радиусы большой окружности. Следовательно, треугольники STM и STN – равнобедренные с основанием ST. Отсюда следует, что треугольники TMN=SMN по трем сторонам. Так как в равных треугольниках углы также равны, то получаем, что , а значит, MN – биссектриса равнобедренного треугольника SNT. Но биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является высотой, следовательно .

Задание 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 14 , а сторона АС в 2 раза больше стороны ВС.

Пусть сторона , тогда , так как она в 2 раза больше стороны BC по условию задачи. Теперь рассмотрим четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть и . Предположим, что угол , тогда угол , теперь, учитывая, что углы и смежные, то угол

то есть он равен углу . Аналогично и для угла . Из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники ACB и APK подобны друг другу по двум углам.

Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

и подставляя числовые значения, имеем:

Задание 25. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

По условию задачи точка F лежит на отрезке MN – средней линии трапеции. Проведем через эту точку высоту HL трапеции. Тогда по определению средней линии, отрезки FH=FL=1/2HL. Используя данные обозначения, выразим площади треугольников BFC и AFD следующим образом:

Соответственно, сумма этих площадей составит величину, равную

но так как — это площадь всей трапеции, то получаем, что

Задание 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 18, а сторона АС в 1,2 раза больше стороны ВС.

Пусть сторона , тогда , так как она в 1,2 раза больше стороны BC по условию задачи. Теперь рассмотрим четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть и . Предположим, что угол , тогда угол , теперь, учитывая, что углы и смежные, то угол

Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

и подставляя числовые значения, имеем:

Задание 24. Углы В и С треугольника АБС равны соответственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

Сначала вычислим третий угол A, учитывая, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, имеем:

В соответствии с теоремой синусов, можно записать

где — радиус описанной вокруг треугольника окружности. Из последнего выражения имеем:

Задание 24. Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и СН = 5. Найдите высоту ромба.

Длина стороны DC ромба ABCD, равна

Так как у ромба все стороны равны, то AD=DC=25. В результате, имеем прямоугольный треугольник, ADH, в котором известна гипотенуза AD и катет DH. Тогда второй катет AH (высота ромба) можно найти по теореме Пифагора:

Задание 25. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Так как ABCD трапеция, то ее основания , следовательно, равны и углы как накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей BD. Рассмотрим треугольники CBD и BDA, у которых имеем следующие пропорции:

и .

Следовательно, треугольники CBD и BDA подобны друг другу по двум пропорциональным сторонам и равным углам, заключенными между этими сторонами.

Задание 24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, АС = 65, NC = 28.

Сначала докажем, что треугольники BMN и ABC подобные. Так как , то равны и углы и . Следовательно, треугольники BMN и BAC подобны по двум углам. Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение длин их сторон:

Пусть сторона , тогда сторона (по условию задачи), и отношение сторон можно записать как

То есть длина стороны BN=7.

Задание 25. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М стороны AD. Докажите, что М — середина AD.

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны и . Из этого положения следует равенство углов и . Так как BM – биссектриса, то равны и углы . Из равенства двух углов при основании BM следует, что треугольник ABM – равнобедренный, с равными сторонами AB=AM. Аналогично для треугольника CMD, у которого углы при основании MC равны, следовательно, он равнобедренный и CD=MD. Учитывая, что ABCD – параллелограмм, у которого стороны AB=CD, то автоматически следует, что и AM=MD, то есть точка M – середина отрезка AD. Положение доказано.

Задание 24. Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника ABC к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 10, АС = 40.

В соответствии со свойством о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. То есть в данном случае можно записать:

и, подставляя числовые значения, имеем:

Задание 25. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Р и Т соответственно. Докажите, что BP = DT.

У параллелограмма диагонали BD и AC делятся в точке пересечения O пополам, то есть BO=OD. Кроме того, в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть и, следовательно, — как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей BD. Углы — как вертикальные углы. В результате имеем, что треугольники BOP и DOT равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а, следовательно, равны и стороны BP=DT.

Задание 24. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 12, DC = 48, АС = 35.

Так как , то углы как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB, DC и секущей AC. Углы как вертикальные углы. Следовательно, треугольники AMB и CMD подобны по двум углам. Для подобных треугольников можно записать следующее отношение:

Пусть AM=x, тогда MC=AC-AM=35-x, и отношение примет вид:

Задание 25. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади параллелограмма.

Проведем в параллелограмме ABCD высоту MN, равную h, и проходящую через точку E. Пусть расстояние ME=x, тогда NE=h-x. Площадь параллелограмма можно вычислить как

а площади треугольников как

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то BC=AD и сумма площадей треугольников равна

что в точности равно половине площади параллелограмма ABCD. Утверждение доказано.

Задание 24. Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.

Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов, то угол А равен

Найдем длину BC из теоремы синусов как

где — радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC. Отсюда получаем:

Задание 25. В треугольнике ABC с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники A1CB1 и АСВ подобны.

Рассмотрим сначала два прямоугольных треугольника AA1C и BB1C, которые подобны по двум углам (один угол у них прямой, а углы как вертикальные). У подобных треугольников AA1C и BB1C сторона A1C пропорциональна стороне B1C, а сторона AC пропорциональна стороне BC.

Рассмотрим теперь треугольники A1CB1 и ACB, у которых пропорциональны стороны AC, CB и A1C, B1C и равны углы между этими сторонами как вертикальные. По второму признаку подобия два треугольника подобны, если стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. То есть треугольники A1CB1 и ACB подобны друг другу. Утверждение доказано.

Задание 24. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Высоту BH можно найти из формулы площади прямоугольного треугольника , где AC – гипотенуза прямоугольного треугольника, равная (в соответствии с теоремой Пифагора) . Также площадь прямоугольного треугольника равна . Приравнивая эти площади, получаем:

Задание 25. Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка Е — середина стороны ВС. Докажите, что АЕ — биссектриса угла BAD.

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны , следовательно, углы как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей AE. По условию задачи BC больше AB в 2 раза, и, учитывая, что E – это середина BC, то AB=BE. Таким образом, треугольник ABE – равнобедренный, с равными углами при основании AE. Но углы , следовательно, , и это означает, что AE — биссектриса угла BAD. Утверждение доказано.

Задание 24. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 3, CK = 19.

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны , следовательно, углы как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей AK. По условию задачи AK – биссектриса угла A, значит, углы и отсюда получаем, что . Таким образом, треугольник ABK равнобедренный со сторонами AB=BK=3 и основанием AK. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны равны, и BC=3+19=22, то периметр равен

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Проведем в четырехугольнике диагонали AC и BD и отметим точку E на их пересечении. Рассмотрим треугольники ABE и DEC, у которых равны углы по условию задачи, а также равны углы как вертикальные. Таким образом, треугольники ABE и DEC подобные по двум углам с пропорциональными сторонами BE и CE, а также AE и DE. Рассмотрим теперь треугольники AED и BEC, у которых сторона AE пропорциональна стороне DE, а сторона BE пропорциональна стороне CE, кроме того, равны углы как вертикальные. Отсюда следует, что треугольники AED и BEC подобны по двум соответствующим пропорциональным сторонам и углу между ними. Так как у подобных треугольников соответствующие углы равны, то угол . Утверждение доказано.

Задание 24. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 8, BF = 15.

Фигура ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, то есть , и, следовательно, . По условию задачи AF и BF – биссектрисы, значит, . Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то из треугольника ABF получаем угол

То есть треугольник ABF прямоугольный с гипотенузой AB. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:

Задание 25. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180 градусов, то есть . Если положить угол , тогда угол , и, учитывая, что углы и смежные, то угол

то есть он равен углу . Таким образом, треугольники KAB и KDC подобны по двум углам (угол K – общий). Утверждение доказано.

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, a CD = 36.

Проведем в трапеции две высоты и DH (см. рисунок). Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD с углом . Следовательно, треугольник CHD также равнобедренный со сторонами CH=HD и основанием CD. Пусть сторона DH=x, соответственно, CH=x. Тогда по теореме Пифагора можно записать, что

То есть . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором известен один катет и угол . Так как синус угла B – это отношение противолежащего катета на гипотенузу AB, то можно записать

Задание 24. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34 соответственно. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, в котором известна гипотенуза AC и катет AH, следовательно, высоту CH можно найти по теореме Пифагора:

Ответ: .

Задание 25. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD.

По условию задачи ABCD – трапеция с основаниями BC и AD и биссектрисами BO и CO, то есть углы и . Из точки O проведем три перпендикуляра (по сути они будут являться расстояниями от точки O до прямых AB, BC и CD).

Теперь заметим, что треугольники BMO=BNO равны как прямоугольные по гипотенузе и острому углу: BO – общая гипотенуза; , так как BO – биссектриса. Из равенства треугольников следует, что OM=ON.

Аналогично для треугольников CNO=CKO, которые равны как прямоугольные по гипотенузе и острому углу: CO – общая гипотенуза; , так как CO – биссектриса. Следовательно, ON=OK.

Таким образом, имеем, что MO=NO=KO, а значит, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD. Положение доказано.

Задание 24. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Диагонали ромба являются биссектрисами его соответствующих углов, а точка пересечения O делит диагонали ромба пополам. Отсюда следует, что угол . Рассмотрим прямоугольный треугольник AON (прямоугольный, так как расстояние от точки O до AD – это перпендикуляр, опущенный из точки O). В этом треугольнике известен катет ON=14 и гипотенуза AO=AC:2=56:2=28. Тогда синус угла будет равен отношению противолежащего катета ON на гипотенузу AO:

Так как противоположные углы в ромбе равны, то . Сумма односторонних углов в ромбе равна 180 градусов, то есть и

Ответ: 60, 60, 120, 120.

Запишем площадь треугольника ABO в виде:

. (1)

Аналогично запишем площадь треугольника DCO, имеем:

Так как , то последнее выражение можно переписать в виде:

. (2)

Задание 24. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, ВС = 16, CF:DF = 5:3.

Так как ABCD трапеция, то ее основания . По условию задачи прямая и . Дополним построение, продолжим стороны AB и CD так, чтобы они пересекались в точке P (см. рисунок). При этом треугольник PBC будет подобен треугольнику PAD по двум углам: — общий, а углы как соответственные при параллельных прямых BC, AD и секущей AP. Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

Пусть PC=y, а коэффициент пропорциональности отрезков CF и DF равен x. Тогда CF=5x, DF=3x, CD=8x и соотношение сторон принимает вид:

Теперь рассмотрим подобные треугольники PBC и PEF (также подобны по двум углам), из которых следует соотношение:

и после подстановки известных выражений, имеем:

Задание 25. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

По условию задачи прямые IP:JP=m:n, а MN – касательная к окружностям в точках M и N, следовательно, и . Рассмотрим два прямоугольных треугольника IPM и JPN, которые подобны по двум углам: один угол у них прямой, а два других как вертикальные углы. Для подобных треугольников можно записать соотношение:

но по условию , следовательно,

или, что эквивалентно, в виде

где — диаметры соответствующих окружностей. Утверждение доказано.

Задание 24. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 18.

У трапеции ABCD основания , следовательно, углы как внутренние односторонние при параллельных прямых. По условию задачи AF и BF – биссектрисы соответствующих углов, тогда сумма углов

и, следовательно, угол (так как сумма углов в треугольнике ABF равна 180 градусов). Таким образом, имеем прямоугольный треугольник AFB с гипотенузой AB, которую вычислим по теореме Пифагора:

Задание 25. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что BK = DM.

Точка пересечения O диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD делит эти диагонали пополам, то есть BO=OD. Кроме того, углы как вертикальные, а углы как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей BD. Таким образом, треугольники BOK и DOM равны по стороне и двум с прилежащим к ней углам. Следовательно, и соответствующие стороны эти треугольников равны, то есть BK=DM. Утверждение доказано.

Задание 24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 15, АС = 25, NC = 22.

По условию задачи в треугольнике ABC прямая , следовательно, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол — общий, а углы как соответственные при параллельных прямых MN, AC и секущей AB. Из подобия треугольников следует:

Из рисунка видно, что , подставляем числовые значения в отношение, имеем:

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Треугольники AOB и DOC подобны по двум углам: по условию задачи, а углы — как вертикальные. Из подобия треугольников можно записать следующее отношение:

Теперь рассмотрим треугольники BOC и AOD, которые также подобны по двум пропорциональным сторонам (полученное ранее отношение сторон) и углам (равны как вертикальные углы), заключенным между этими сторонами. Как известно, в подобных треугольниках соответствующие углы равны, то есть , а значит и . Утверждение доказано.