Как быстро выучить окружность и круг

Как запомнить тригонометрический круг?

Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.

На нем есть (16) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи , можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).

Как быстро выучить окружность и круг Как быстро выучить окружность и круг

На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь ).

Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?

Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную — осью синусов, так как:

— косинус равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус равен ординате точки на числовой окружности.

Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).

Как быстро выучить окружность и круг

Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен (1), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.

Как быстро выучить окружность и круг

Как быстро выучить окружность и круг

Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.

Как быстро выучить окружность и круг

Шаг 4. Значение «(1)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, (-1) находятся на одном уровне с (-1) на оси синусов и косинусов.

Как быстро выучить окружность и круг

Шаг 5. Дальше стоит понять, что (±frac<sqrt>) находится ближе к (0), чем (±sqrt).

Как быстро выучить окружность и круг

Шаг 6. (±sqrt) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.

Как быстро выучить окружность и круг

Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (36sqrt, tg,frac sin⁡,frac).
Решение:

Видео:Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Как быстро выучить окружность и круг

Как быстро выучить окружность и круг

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Как быстро выучить окружность и круг

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Как быстро выучить окружность и круг

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Как быстро выучить окружность и круг

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Как быстро выучить окружность и круг

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Как быстро выучить окружность и круг

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Как быстро выучить окружность и круг

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Как быстро выучить окружность и круг

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Как быстро выучить окружность и круг

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

5 класс, 22 урок, Окружность и круг

Как запоминать формулы? Лайфхаки для ЕГЭ и ОГЭ

Что проще запомнить с первого раза и пересказать другу – сюжет интересного фильма или большую таблицу с формулами по геометрии?

Мы хорошо запоминаем сюжеты и истории. А однообразная и скучная информация быстро вылетает из головы.

Можно запоминать формулы «как буковки». Долго, трудно и напряженно. Результат – вы сами знаете, какой.

А можно придумать историю. Понять, почему формула именно такая. Как она получилась. На что она похожа.

Например, формулы для площадей геометрических фигур. Они есть в нашем ЕГЭ-Справочнике

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

Как быстро выучить окружность и круг

Чем больше стороны, тем больше площадь. Проверяйте, чтобы площадь была выражена в квадратных единицах.

Отрежем от нашего прямоугольника треугольник. И переставим этот треугольник, как на рисунке, получим параллелограмм.

Площадь параллелограмма:

Как быстро выучить окружность и круг

Поделим параллелограмм пополам. Получим два равных треугольника и формулу для площади треугольника:

Как быстро выучить окружность и круг

Теперь трапеция. Поделим ее на два треугольника с основаниями и .

Площадь трапеции

Как быстро выучить окружность и круг

Как быстро выучить окружность и круг

В формулы для длины окружности и площади круга входит число .

Длина окружности

Число – это отношение длины окружности к ее диаметру.

Число известно с глубокой древности. С давних времен – с доисторических – люди плели круглые корзины и лепили из глины круглые тарелки и миски. Во всяком случае, старались сделать их круглыми.

Нарисуйте древнего человека, который плетет корзинку. Он смотрит на небо и видит на нем круглое солнце. Он старается, чтобы его корзина получилась круглой, как солнце. Измерив диаметр своего изделия, наш первобытный труженик осознает, что диаметр укладывается на окружности корзины три раза, и еще немного остается! Причем это справедливо и для маленькой корзины, и для большой. Удивительное открытие!

Во сколько же раз длина окружности больше, чем ее диаметр? В раз.

Как быстро выучить окружность и круг

площадь выражается в квадратных единицах, значит, в формуле должен быть квадрат радиуса.

Площадь круга

Как быстро выучить окружность и круг

Формулу для площади сектора запомнить легко. Кусочки, на которые вы нарезаете круглую пиццу, – это секторы.

Как быстро выучить окружность и круг

Вспомним, что 1 градус – это часть полного круга. Тогда площадь сектора в 1 градус равна части полного круга. А площадь сектора в градусов равна части полного круга.

Как быстро выучить окружность и круг

Точно так же для длины дуги:

Как быстро выучить окружность и круг

Есть отличная «запоминалка», и ее все знают.

Биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Нарисуем угол, который крыса делит пополам, и эта крыса тащит за собой (на хвосте) круглый сыр. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Как быстро выучить окружность и круг

Прогоним крысу, оставим вписанную в угол окружность. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Как быстро выучить окружность и круг

А поскольку прямоугольные треугольники АОВ и СОВ на рисунке равны – значит, равны расстояния от точки до точек и . Биссектриса угла треугольника – это множество точек, равноудаленных от сторон угла.

Впишем в треугольник окружность. Окружность касается всех сторон треугольника – значит, ее центр одинаково удален от сторон АВ, ВС и АС. Центр окружности, вписанной в треугольник, – это точка пересечения его биссектрис.

Как быстро выучить окружность и круг

А где же находится центр окружности, описанной вокруг треугольника? Очевидно, что расстояние от этой точки до всех вершин треугольника одинаково и равно радиусу описанной окружности.

Где находятся точки, равноудаленные от концов отрезка, вы знаете. На серединном перпендикуляре к отрезку.

Как быстро выучить окружность и круг

Вот и нарисуем три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника. А в точке, где все они пересекаются, уселась киса, чтобы быть на одинаковом расстоянии от вершин треугольника. А что делает киса? – правильно, писает! Хочет до всех вершин треугольника достать. И получается окружность, описанная вокруг треугольника.

Как быстро выучить окружность и круг

Чтобы легко запоминать формулы, придумывайте истории. Глупые, смешные, даже неприличные. И картинки к ним рисуйте!

Теперь стереометрия. Будем искать логические связи. Ассоциации. Придумываеть себе «запоминалки».

С призмой и цилиндром все просто – их объем равен произведению площади основания на высоту.

Чем больше площадь основания, тем больше объем.

Чем больше высота, тем больше объем.

Объем призмы

Как быстро выучить окружность и круг

Как быстро выучить окружность и круг

Объем цилиндра

Как быстро выучить окружность и круг

Как быстро выучить окружность и круг

С объемами пирамиды и конуса тоже просто: умножаем на площадь основания и на высоту. Как вы думаете, почему у пирамиды и у конуса похожие формулы для объема?

Объем пирамиды

Как быстро выучить окружность и круг

Объем конуса

Как быстро выучить окружность и кругКак быстро выучить окружность и круг

Площадь боковой поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Сложные формулы здесь не нужны.

Теперь цилиндр. В его основаниях – два круга. Как запомнить, чему равна площадь поверхности цилиндра? Развернем боковую поверхность цилиндра и получим прямоугольник, одна сторона которого равна , а другая равна .

Как быстро выучить окружность и круг

Площадь боковой поверхности цилиндра

Как запомнить формулу для площади боковой поверхности конуса?*

Нарисуем ракушку в форме конуса. Вот у него какая красивая боковая поверхность.

Как быстро выучить окружность и круг

А в ракушке что бывает? – жемчужинка! По-английски жемчужина: pearl. Вот и запомним формулу для площади боковой поверхности конуса:

Как быстро выучить окружность и кругОстались объем шара и площадь поверхности сферы .

Что же, две формулы можно и просто выучить.

Хорошо, а как выучить формулы тригонометрии?

Есть отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!

И конечно, чем больше решаете задач, тем лучше запоминаются формулы.

*Лайфхак преподавателя ЕГЭ-Студии А.В. Фомичевой

🎬 Видео

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Окружность. Круг. 5 класс.

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #окружностьСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #окружность

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Тригонометрический круг вместо стопки формулСкачать

Тригонометрический круг вместо стопки формул

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Тригонометрический круг, его использование, поиск значений, запоминание.Скачать

Тригонометрический круг, его использование, поиск значений, запоминание.

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

МАТЕМАТИКА 5 класс: Окружность и кругСкачать

МАТЕМАТИКА 5 класс: Окружность и круг

Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать

Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений Должкевич

Как быстро выучить числовую окружность? (2019)Скачать

Как быстро выучить числовую окружность? (2019)
Поделиться или сохранить к себе: