Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.
На нем есть (16) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи , можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).
На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь ).
Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?
Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную — осью синусов, так как:
— косинус равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус равен ординате точки на числовой окружности.
Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).
Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен (1), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.
Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.
Шаг 4. Значение «(1)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, (-1) находятся на одном уровне с (-1) на оси синусов и косинусов.
Шаг 5. Дальше стоит понять, что (±frac<sqrt>) находится ближе к (0), чем (±sqrt).
Шаг 6. (±sqrt) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.
Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.
Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (36sqrt, tg,frac sin,frac).
Решение:
Всё про окружность и круг
Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2
Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.
Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.
Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.
Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора: P = s + 2R.
Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Как запоминать формулы? Лайфхаки для ЕГЭ и ОГЭ
Что проще запомнить с первого раза и пересказать другу – сюжет интересного фильма или большую таблицу с формулами по геометрии?
Мы хорошо запоминаем сюжеты и истории. А однообразная и скучная информация быстро вылетает из головы.
Можно запоминать формулы «как буковки». Долго, трудно и напряженно. Результат – вы сами знаете, какой.
А можно придумать историю. Понять, почему формула именно такая. Как она получилась. На что она похожа.
Например, формулы для площадей геометрических фигур. Они есть в нашем ЕГЭ-Справочнике
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
Чем больше стороны, тем больше площадь. Проверяйте, чтобы площадь была выражена в квадратных единицах.
Отрежем от нашего прямоугольника треугольник. И переставим этот треугольник, как на рисунке, получим параллелограмм.
Площадь параллелограмма:
Поделим параллелограмм пополам. Получим два равных треугольника и формулу для площади треугольника:
Теперь трапеция. Поделим ее на два треугольника с основаниями и .
Площадь трапеции
В формулы для длины окружности и площади круга входит число .
Длина окружности
Число – это отношение длины окружности к ее диаметру.
Число известно с глубокой древности. С давних времен – с доисторических – люди плели круглые корзины и лепили из глины круглые тарелки и миски. Во всяком случае, старались сделать их круглыми.
Нарисуйте древнего человека, который плетет корзинку. Он смотрит на небо и видит на нем круглое солнце. Он старается, чтобы его корзина получилась круглой, как солнце. Измерив диаметр своего изделия, наш первобытный труженик осознает, что диаметр укладывается на окружности корзины три раза, и еще немного остается! Причем это справедливо и для маленькой корзины, и для большой. Удивительное открытие!
Во сколько же раз длина окружности больше, чем ее диаметр? В раз.
площадь выражается в квадратных единицах, значит, в формуле должен быть квадрат радиуса.
Площадь круга
Формулу для площади сектора запомнить легко. Кусочки, на которые вы нарезаете круглую пиццу, – это секторы.
Вспомним, что 1 градус – это часть полного круга. Тогда площадь сектора в 1 градус равна части полного круга. А площадь сектора в градусов равна части полного круга.
Точно так же для длины дуги:
Есть отличная «запоминалка», и ее все знают.
Биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
Нарисуем угол, который крыса делит пополам, и эта крыса тащит за собой (на хвосте) круглый сыр. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.
Прогоним крысу, оставим вписанную в угол окружность. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
А поскольку прямоугольные треугольники АОВ и СОВ на рисунке равны – значит, равны расстояния от точки до точек и . Биссектриса угла треугольника – это множество точек, равноудаленных от сторон угла.
Впишем в треугольник окружность. Окружность касается всех сторон треугольника – значит, ее центр одинаково удален от сторон АВ, ВС и АС. Центр окружности, вписанной в треугольник, – это точка пересечения его биссектрис.
А где же находится центр окружности, описанной вокруг треугольника? Очевидно, что расстояние от этой точки до всех вершин треугольника одинаково и равно радиусу описанной окружности.
Где находятся точки, равноудаленные от концов отрезка, вы знаете. На серединном перпендикуляре к отрезку.
Вот и нарисуем три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника. А в точке, где все они пересекаются, уселась киса, чтобы быть на одинаковом расстоянии от вершин треугольника. А что делает киса? – правильно, писает! Хочет до всех вершин треугольника достать. И получается окружность, описанная вокруг треугольника.
Чтобы легко запоминать формулы, придумывайте истории. Глупые, смешные, даже неприличные. И картинки к ним рисуйте!
Теперь стереометрия. Будем искать логические связи. Ассоциации. Придумываеть себе «запоминалки».
С призмой и цилиндром все просто – их объем равен произведению площади основания на высоту.
Чем больше площадь основания, тем больше объем.
Чем больше высота, тем больше объем.
Объем призмы
Объем цилиндра
С объемами пирамиды и конуса тоже просто: умножаем на площадь основания и на высоту. Как вы думаете, почему у пирамиды и у конуса похожие формулы для объема?
Объем пирамиды
Объем конуса
Площадь боковой поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Сложные формулы здесь не нужны.
Теперь цилиндр. В его основаниях – два круга. Как запомнить, чему равна площадь поверхности цилиндра? Развернем боковую поверхность цилиндра и получим прямоугольник, одна сторона которого равна , а другая равна .
Площадь боковой поверхности цилиндра
Как запомнить формулу для площади боковой поверхности конуса?*
Нарисуем ракушку в форме конуса. Вот у него какая красивая боковая поверхность.
А в ракушке что бывает? – жемчужинка! По-английски жемчужина: pearl. Вот и запомним формулу для площади боковой поверхности конуса:
Остались объем шара и площадь поверхности сферы .
Что же, две формулы можно и просто выучить.
Хорошо, а как выучить формулы тригонометрии?
Есть отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!
И конечно, чем больше решаете задач, тем лучше запоминаются формулы.
*Лайфхак преподавателя ЕГЭ-Студии А.В. Фомичевой