Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Треугольник вписанный в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать

САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математике

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Как найти периметр треугольника

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Определение

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b 2 + с 2 — 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.
Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c 2 — a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27935

Планиметрические задачи

Задача 1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функциив данной точке, если:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Решение. Уравнение касательной будем искать по формуле ; уравнение нормали — по формуле По условию, .

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Теперь находим уравнение нормали:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Ответ: уравнение касательной:; уравнение нормали:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Задача 2.Написать уравнения касательной и нормали в точке

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Подставим полученные решения в равенство

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Найдем производную функции, заданной параметрически .

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Подставляем все найденные значение в уравнение касательной:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Теперь находим уравнение нормали:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Ответ: уравнение касательной: уравнение нормали: .

Задача 3. Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Решение. Угол между кривыми находится по формуле

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Таким образом, кривые пересекаются в точках .

Далее найдем значения производных заданных функций в точках пересечения.

производный дифференцирование уравнение планиметрический

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Подставляем найденные значение в формулу нахождения угла:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Ответ: в точке угол равен 0 (т.е. касательные совпадают), в точке угол равен .

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Задача 4. Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей [7]?

Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Площадь такого прямоугольника составит:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Требуется найти максимум функции .

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Определим критические точки: .

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Так, — точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа — отрицательна.

Очевидно, что — точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.

Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Задача 5. Площадь прямоугольника составляет . Каковы должны быть его размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?[7]

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Пусть стороны прямоугольника равны . Тогда:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Периметр такого прямоугольника составит:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Требуется найти минимум данной функции. Найдём производную:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Найдем точки экстремума:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Очевидно, что , поэтому нас интересует точка .Слева от нее производная отрицательна, а справа — положительна.

Так, — точка минимума.

Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.

Задача 6. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей [2].

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (рис.4). Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма Площадь параллелограмма определяется формулой

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Выразим через и стороны треугольника . Из подобия треугольников и следует, что

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

В результате площадь записывается как функция:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Отсюда видно, что экстремум функциисуществует в следующей точке:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

где стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.

Ответ: площадь параллелограмма является наибольшей при условии

где стороны треугольника.

Задача 7.Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром [2].

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Пусть треугольник вписан в окружность данного радиуса ,

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

(независимая переменная) (рис.5). Выразим периметр треугольника как функцию . По теореме синусов:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

. Найдем, при каком значении функция принимает наибольшее значение на данном интервале

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

следовательно, точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ: среди всех равнобедренных треугольник, вписанных в данную окружность, с наибольшим периметром является равносторонний треугольник.

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Задача 8.Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом.

Периметр окна равен . Определить радиус полукруга , при котором площадь окна является наибольшей (рис.6) [2].

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна . Другую сторону обозначим через . Периметр всего окна выражается формулой

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Площадь окна составляет:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружностьНаибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Полученное выражение представляет собой функцию . Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Определяем стационарные точки:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Поскольку вторая производная отрицательна:

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

то найденная точка является точкой максимума, т.е. при этом значении площадь окна будет наибольшей.

Само максимальное значение площади составляет

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Наибольший периметр треугольника вписанного в окружность

Ответ: радиус полукруга , при котором площадь является наибольшей.

💡 Видео

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Решение задачи №1 из ЕГЭ математикаСкачать

Решение задачи №1 из ЕГЭ математика

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, еслиСкачать

№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если
Поделиться или сохранить к себе: