Высота треугольника теоремы евклидовой геометрии

Теорема Евклида демонстрирует свойства прямоугольного треугольника, рисуя линию, которая делит его на два новых прямоугольных треугольника, которые похожи друг на друга и, в свою очередь, похожи на исходный треугольник; то есть отношение пропорциональности.

Евклид был одним из величайших математиков и геометров древнего века, который сделал несколько демонстраций важных теорем. Одним из основных является тот, который носит его имя, который получил широкое применение.

Это было так, потому что, по этой теореме говорит просто существующие геометрические отношения в треугольнике, где ноги этого связаны с их проекциями на гипотенузе.

• 1 Формулы и демонстрация
  • 1.1 Теорема о высоте
  • 1.2 Теорема о ножках
• 2 Связь между теоремами Евклида
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Пример 1
  • 3.2 Пример 2
• 4 Ссылки

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Формулы и демонстрация

Теорема Евклида предполагает, что в каждом прямом треугольнике, когда рисуется линия, которая представляет высоту, соответствующую вершине прямого угла относительно гипотенузы, два прямоугольных треугольника образуются из оригинала..

Эти треугольники подобны друг другу, а также быть похож на оригинальный треугольник, а это значит, что их собратья стороны пропорциональны друг другу:

Углы трех треугольников совпадают; то есть, когда его вершина поворачивается на 180 градусов, угол совпадает с другой. Это подразумевает, что все будут равны.

Таким образом, вы также можете проверить сходство, которое существует между тремя треугольниками, по равенству их углов. Исходя из сходства треугольников, Евклид устанавливает их пропорции из двух теорем:

— Теорема о высоте.

— Теорема о ногах.

Эта теорема имеет широкое применение. В древности он использовался для расчета высоты или расстояния, что представляет собой большой прогресс для тригонометрии.

В настоящее время он применяется в нескольких областях, основанных на математике, таких как инженерия, физика, химия и астрономия, а также во многих других областях..

Теорема о высоте

Эта теорема утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике высота, оттянутая под прямым углом относительно гипотенузы, является геометрическим пропорциональным средним (квадрат высоты) между проекциями ног, которые определяют гипотенузу..

То есть квадрат высоты будет равен умножению спроецированных ног, образующих гипотенузу:

шоу

Так, это прямоугольник в вершине C, чтобы составить треугольник АВС два подобных треугольника, генерируются АЦП и BCD; Поэтому, их соответствующие стороны пропорциональны:

Таким образом, что высота h_с который соответствует сегменту CD, соответствует гипотенузе AB = c, поэтому необходимо:

В свою очередь это соответствует:

Очистка гипотенузы (ч_с), чтобы умножить два члена равенства, вы должны:

Таким образом, значение гипотенузы определяется как:

Теорема о ногах

Эта теорема утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике мера каждой ноги будет средним геометрическим пропорциональным (квадрат каждой ноги) между измерением гипотенузы (завершено) и проекцией каждого на нее:

шоу

Для данного треугольника ABC, который является прямоугольником в вершине C, так что его гипотенуза равна c, при построении высоты (h) определяются проекции ножек a и b, которые являются отрезками m и n соответственно. гипотенуза.

Таким образом, высота должна быть обращена на треугольнике АВС генерирует два одинаковых прямоугольников, треугольники ADC и BCD, так что соответствующие стороны пропорциональны, а также:

DB = n, который является проекцией ноги CB на гипотенузу.

AD = m, которая является проекцией катетера AC на гипотенузу.

Тогда гипотенуза c определяется по сумме ножек ее проекций:

Из-за сходства треугольников ADC и BCD нам необходимо:

Вышеуказанное совпадает с:

Очистив ногу «а», чтобы умножить два члена равенства, нужно:

Таким образом, значение ноги «а» определяется как:

Аналогично, по сходству треугольников ACB и ADC мы должны:

Очистив ногу «b», чтобы умножить два члена равенства, нужно:

Таким образом, значение ноги «b» определяется как:

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Связь между теоремами Евклида

Теоремы со ссылкой на высоту и ноги взаимосвязаны, потому что измерение выполняются как для гипотенузы треугольника.

С помощью соотношения теорем Евклида значение высоты также может быть найдено; это возможно путем очистки значений m и n из теоремы о ножке, и они заменяются в теореме о высоте. Таким образом, высота равна умножению ног, разделенному на гипотенузу:

В теореме о высоте m и n заменены:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Решенные упражнения

Пример 1

Учитывая треугольник ABC, прямоугольник в A, определите меру AC и AD, если AB = 30 см и BD = 18 см.

решение

В этом случае у нас есть измерения одной из спроектированных ног (BD) и одной из ног исходного треугольника (AB). Таким образом, вы можете применить теорему ноги, чтобы найти значение ноги BC.

AB 2 = BD _* до нашей эры

(30) 2 = 18 _* до нашей эры

900 = 18 _* до нашей эры

Значение CD катетуса может быть найдено, зная, что BC = 50:

CD = 50 — 18 = 32 см

Теперь можно определить значение AC катета, снова применив теорему о ноге:

переменный ток 2 = CD _* BD

переменный ток 2 = 32 _* 50

переменный ток 2 = 160

AC = √1600 = 40 см

Для определения значения высоты (AD) применяется теорема о высоте, поскольку известны значения спроецированных ножек CD и BD:

нашей эры 2 = 32 _* 18

нашей эры 2 = 576

Пример 2

Определите значение высоты (h) треугольника MNL, прямоугольника в N, зная размеры сегментов:

решение

У вас есть измерение одной из ног, спроецированных на гипотенузу (PM), а также измерения ног исходного треугольника. Таким образом, теорема ноги может быть применена, чтобы найти значение другой спроектированной ноги (LN):

NL 2 = Вечера _* LM

По мере того как значение ног и гипотенузы, как известно, через соотношение высоты теоремы и ноги можно определить значение высоты:

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

Теорема Евклида: доказательство, применение и упражнения

Теорема Евклида: доказательство, применение и упражнения — Наука

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Содержание:

В Теорема евклида демонстрирует свойства прямоугольного треугольника, рисуя линию, разделяющую его на два новых прямоугольных треугольника, которые похожи друг на друга и, в свою очередь, похожи на исходный треугольник; тогда возникает соотношение пропорциональности.

Евклид был одним из величайших математиков и геометров древности, выполнившим несколько доказательств важных теорем. Один из основных — тот, который носит его имя, получивший широкое распространение.

Это произошло потому, что с помощью этой теоремы она просто объясняет геометрические отношения, существующие в прямоугольном треугольнике, где его катеты связаны со своими проекциями в гипотенузу.

Видео:№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

Формулы и демонстрация

Теорема Евклида предполагает, что в каждом прямоугольном треугольнике, когда рисуется линия — которая представляет высоту, которая соответствует вершине прямого угла относительно гипотенузы — два прямоугольных треугольника формируются из оригинала.

Эти треугольники будут похожи друг на друга, а также будут похожи на исходный треугольник, что означает, что их одинаковые стороны пропорциональны друг другу:

Углы трех треугольников равны; другими словами, когда они поворачиваются на 180 градусов вокруг своей вершины, один угол совпадает с другим. Это означает, что все они будут одинаковыми.

Таким образом, сходство, которое существует между тремя треугольниками, также может быть проверено благодаря равенству их углов. Из подобия треугольников Евклид устанавливает их пропорции с помощью двух теорем:

— Теорема о высоте.

— Теорема о ногах.

Эта теорема имеет широкое применение. В древние времена его использовали для вычисления высот или расстояний, что было большим достижением тригонометрии.

В настоящее время он применяется в различных областях, основанных на математике, таких как инженерия, физика, химия и астрономия, а также во многих других областях.

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

Теорема о высоте

В этой теореме установлено, что в любом прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла относительно гипотенузы, является геометрическим пропорциональным средним (квадрат высоты) между проекциями катетов, которые он определяет на гипотенузу.

То есть квадрат высоты будет равен произведению спроецированных катетов, образующих гипотенузу:

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Демонстрация

Для треугольника ABC, который находится прямо в вершине C, при построении высоты образуются два похожих прямоугольных треугольника: ADC и BCD; следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны:

Таким образом, чтобы высота h_c что соответствует отрезку CD, соответствует гипотенузе AB = c, поэтому имеем:

В свою очередь, это соответствует:

Решение гипотенузы (h_c), чтобы умножить два члена равенства, мы должны:

Таким образом, значение гипотенузы определяется как:

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Теорема о ногах

В этой теореме установлено, что в каждом прямоугольном треугольнике мерой каждого катета будет среднее геометрическое пропорциональное (квадрат каждого катета) между мерой гипотенузы (полной) и проекцией каждого катета на нее:

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Демонстрация

Дан треугольник ABC, который находится прямо в вершине C таким образом, что его гипотенуза равна c, при построении высоты (h) определяются проекции катетов a и b, которые являются отрезками m и n соответственно и лежат на гипотенуза.

Таким образом, высота, нарисованная на прямоугольном треугольнике ABC, образует два похожих прямоугольных треугольника, ADC и BCD, так что соответствующие стороны пропорциональны, например:

DB = n — проекция катета CB на гипотенузу.

AD = m, которая представляет собой проекцию катета AC на гипотенузу.

Тогда гипотенуза c определяется суммой катетов ее проекций:

Благодаря схожести треугольников ADC и BCD имеем:

Вышеупомянутое такое же, как:

Решая для ноги «а» умножить два члена равенства, мы имеем:

Таким образом, значение отрезка «а» определяется по формуле:

Таким же образом, благодаря схожести треугольников ACB и ADC, мы имеем:

Решив для ноги «b» умножить два члена равенства, мы имеем:

Таким образом, значение отрезка «b» определяется по формуле:

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать

Связь между теоремами Евклида

Теоремы, касающиеся высоты и катетов, связаны друг с другом, потому что оба измеряются относительно гипотенузы прямоугольного треугольника.

Через соотношение теорем Евклида можно также найти значение высоты; это возможно, решив значения m и n из теоремы о ногах, и они заменены в теореме о высоте. Таким образом проверяется, что высота равна произведению катетов, разделенных на гипотенузу:

В теореме о высоте заменим m и n:

час_c 2 = (b 2 ÷ c) _* (чтобы 2 ÷ c)

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Решенные упражнения

Видео:17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Пример 1

Дан треугольник ABC, прямо в точке A, определите размер AC и AD, если AB = 30 см и BD = 18 см.

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Решение

В этом случае у нас есть измерения одной из спроецированных сторон (BD) и одной из сторон исходного треугольника (AB). Таким образом, можно применить теорему о ноге, чтобы найти значение ноги BC.

AB 2 = BD _* до н.э

Значение отрезка CD можно найти, зная, что BC = 50:

CD = 50 — 18 = 32 см

Теперь можно определить значение отрезка AC, снова применив теорему о ноге:

AC = √1600 = 40 см

Для определения значения высоты (AD) применяется теорема о высоте, поскольку значения проецируемых опор CD и BD известны:

ОБЪЯВЛЕНИЕ 2 = 32 _* 18

ОБЪЯВЛЕНИЕ 2 = 576

Видео:№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать

Пример 2

Определите значение высоты (h) треугольника MNL прямо в N, зная размеры отрезков:

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение

У нас есть размер одного из катетов, спроецированных на гипотенузу (PM), а также меры катетов исходного треугольника. Таким образом, мы можем применить теорему о ногах, чтобы найти значение другой спроецированной ноги (LN):

Поскольку значение катетов и гипотенузы уже известно, через взаимосвязь теорем о высоте и катетах можно определить значение высоты:

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Расположение высот у треугольников различных типов

Ортоцентр треугольника

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентрический треугольник

Задача Фаньяно

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Расположение высот у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Остроугольный треугольник		Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник		Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Остроугольный треугольник
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A₁ , B₁ и C₁ , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C₁A₁ .

Следовательно, точка A является серединой стороны C₁B₁ .

Следовательно, точка C является серединой стороны B₁A₁ .

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Тогда справедливы равенства

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

что и требовалось доказать.

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D₁ точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D₂ точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D₁D₂ . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D₁D₂ с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D₁D₂ (рис.9).

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Отсюда вытекает, что длина отрезка D₁D₂ будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

В этом случае отрезок D₁D₂ проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD₂ , а также в силу равенства треугольников DEL и LED₁ выполняются равенства:

откуда вытекает, что углы AEF и D₁EL , а также AFE и D₂FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D₁ , F, E , D₂ лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Фигура	Рисунок	Описание
Остроугольный треугольник
Прямоугольный треугольник