Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Как найти нормаль к плоскости по 3 точкам?

Простой 1 комментарий

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

В вашем случае, если у вас есть 3 точки, принадлежащие плоскости

ну а дальше просто подставляете эти значения в формулу выше)))

ЗЫ: остается лишь определится с направлением нормали, которое зависит от соглашения по выбору и предоставлению точек A,B,C, которое к слову вы тут не озвучили.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее O x y z . В ней лежат три точки M с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A ( x — x 1 ) + B ( y — y 1 ) + C ( z — z 1 ) = 0 . С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) . У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A , B , C .

Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n → .

Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n → будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Тогда мы можем обозначить n → как векторное произведение вида M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Поскольку M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) а M 1 M 3 → = x 3 — x 1 , y 3 — y 1 , z 3 — z 1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1

Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n → . Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , основан на таком понятии, как компланарность векторов.

Если у нас есть множество точек M ( x , y , z ) , то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) только в том случае, когда векторы M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 , z — z 1 ) , M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и M 1 M 3 → = ( x 3 — x 1 , y 3 — y 1 , z 3 — z 1 ) будут компланарными.

На схеме это будет выглядеть так:

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Это будет означать, что смешанное произведение векторов M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → будет равно нулю: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , поскольку это является основным условием компланарности: M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 , z — z 1 ) , M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и M 1 M 3 → = ( x 3 — x 1 , y 3 — y 1 , z 3 — z 1 ) .

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) .

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Видео:Метод координат Урок №2 2 Нахождение уравнения плоскости по трем точкамСкачать

Метод координат  Урок №2 2  Нахождение уравнения плоскости по трем точкам

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

Есть три точки, не лежащие на одной прямой, с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 1 ) , M 2 ( — 1 , 2 , 4 ) , M 3 ( 3 , 3 , — 1 ) . Составьте уравнение плоскости, проходящей через них.

Решение

Используем поочередно оба способа.

1. Найдем координаты двух нужных нам векторов M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = — 1 — — 3 , 2 — 2 , 4 — — 1 ⇔ M 1 M 2 → = ( 2 , 0 , 5 ) M 1 M 3 → = 3 — — 3 , 3 — 2 , — 1 — — 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = — 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →

У нас получился нормальный вектор плоскости, которая проходит через три искомые точки: n → = ( — 5 , 30 , 2 ) . Далее нам нужно взять одну из точек, например, M 1 ( — 3 , 2 , — 1 ) , и записать уравнение для плоскости с вектором n → = ( — 5 , 30 , 2 ) . Мы получим, что: — 5 · ( x — ( — 3 ) ) + 30 · ( y — 2 ) + 2 · ( z — ( — 1 ) ) = 0 ⇔ — 5 x + 30 y + 2 z — 73 = 0

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.

2. Используем другой подход. Запишем уравнение для плоскости с тремя точками M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) в следующем виде:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

Сюда можно подставить данные из условия задачи. Поскольку x 1 = — 3 , y 1 = 2 , z 1 = — 1 , x 2 = — 1 , y 2 = 2 , z 2 = 4 , x 3 = 3 , y 3 = 3 , z 3 = — 1 , в итоге мы получим:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = x — ( — 3 ) y — 2 z — ( — 1 ) — 1 — ( — 3 ) 2 — 2 4 — ( — 1 ) 3 — ( — 3 ) 3 — 2 — 1 — ( — 1 ) = = x + 3 y — 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = — 5 x + 30 y + 2 z — 73

Мы получили нужное нам уравнение.

Ответ: — 5 x + 30 y + 2 z — 73 .

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой размещены три точки с координатами M 1 ( 5 , — 8 , — 2 ) , M 2 ( 1 , — 2 , 0 ) , M 3 ( — 1 , 1 , 1 ) . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через нее.

Решение

Используем первый способ и начнем с вычисления координат двух векторов M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Подсчитаем их координаты: M 1 M 2 → = ( — 4 , 6 , 2 ) , M 1 M 3 → = — 6 , 9 , 3 .

Векторное произведение будет равно:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → — 4 6 2 — 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →

Поскольку M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , то наши векторы будут коллинеарными (перечитайте статью о них, если забыли определение этого понятия). Таким образом, исходные точки M 1 ( 5 , — 8 , — 2 ) , M 2 ( 1 , — 2 , 0 ) , M 3 ( — 1 , 1 , 1 ) находятся на одной прямой, и наша задача имеет бесконечно много вариантов ответа.

Если мы используем второй способ, у нас получится:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 5 y — ( — 8 ) z — ( — 2 ) 1 — 5 — 2 — ( — 8 ) 0 — ( — 2 ) — 1 — 5 1 — ( — 8 ) 1 — ( — 2 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 5 y + 8 z + 2 — 4 6 2 — 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Из получившегося равенства также следует, что заданные точки M 1 ( 5 , — 8 , — 2 ) , M 2 ( 1 , — 2 , 0 ) , M 3 ( — 1 , 1 , 1 ) находятся на одной прямой.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение прямой М 1 М 2 , М 1 М 3 или М 2 М 3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

2. Взять точку M 4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) , которая не лежит на прямой М 1 М 2 .

3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М 1 , М 2 и M 4 , не лежащих на одной прямой.

Видео:Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"

Уравнение плоскости по трем точкам

Содержание:

Вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначать его будем буквой Нахождение вектора нормали по 3 точкама буквами А, В, С будем обозначать координаты этого вектора (рис. 17). Составим уравнение плоскости, проходящей через известную точку Нахождение вектора нормали по 3 точкамс заданным нормальным вектором Нахождение вектора нормали по 3 точкамПусть Нахождение вектора нормали по 3 точкам— текущая точка плоскости.

Нахождение вектора нормали по 3 точкамТ. к. вектор Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Это уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

Если в (2.9) менять параметры А, В, С, т. е. менять координаты вектора нормали плоскости, то каждый раз будем получать уравнение другой плоскости, содержащей точку Нахождение вектора нормали по 3 точкамМножество всех таких плоскостей называется связкой плоскостей, проходящих через точку Нахождение вектора нормали по 3 точкам

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 1:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Нахождение вектора нормали по 3 точкамперпендикулярно к прямой Нахождение вектора нормали по 3 точкам Решение:

Т. к. плоскость должна быть перпендикулярна заданной прямой, то в качестве вектора нормали плоскости можно взять направляющий вектор прямой Нахождение вектора нормали по 3 точками тогда уравнение плоскости будет таким: Нахождение вектора нормали по 3 точкамили Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Общее уравнение плоскости и его исследование

Рассмотрим уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

и преобразуем его, собрав в одно слагаемое все постоянные

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

и, обозначив выражение в скобках одной буквой D, получим:

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Это общее уравнение плоскости.

Равенство нулю отдельных коэффициентов этого уравнения вносит особенности в расположение плоскости.

1. D = 0. Уравнение принимает вид:

Нахождение вектора нормали по 3 точкамоткуда ясно, что точка Нахождение вектора нормали по 3 точкамлежит на плоскости. Другими словами, плоскость проходит через начало координат.

2. А = 0. В таком случае Нахождение вектора нормали по 3 точкам Нахождение вектора нормали по 3 точкамПолучилось, что направляющий вектор оси Нахождение вектора нормали по 3 точкам(вектор Нахождение вектора нормали по 3 точкам) ортогонален векторуНахождение вектора нормали по 3 точкам, т. е. плоскость параллельна оси Ох (рис. 18).

Нахождение вектора нормали по 3 точкамплоскость параллельна оси Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Нахождение вектора нормали по 3 точкамплоскость парал- х лельна оси Нахождение вектора нормали по 3 точкам.

3. Нахождение вектора нормали по 3 точкамПлоскость параллельна и оси Нахождение вектора нормали по 3 точкам, и оси Нахождение вектора нормали по 3 точкамзначит, она параллельна плоскости Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Нахождение вектора нормали по 3 точкам— плоскость параллельна плоскости Нахождение вектора нормали по 3 точкам;

Нахождение вектора нормали по 3 точкам— плоскость параллельна плоскости Нахождение вектора нормали по 3 точкам.

4. Нахождение вектора нормали по 3 точкамПервое условие означает, что плоскость параллельна оси Нахождение вектора нормали по 3 точкам, второе — что она проходит через начало координат. Значит, плоскость проходит через ось Нахождение вектора нормали по 3 точкам. Нахождение вектора нормали по 3 точкам— плоскость проходит через ось Нахождение вектора нормали по 3 точкам;

Нахождение вектора нормали по 3 точкам— плоскость проходит через ось Нахождение вектора нормали по 3 точкам.

5. Нахождение вектора нормали по 3 точкам— координатные плоскости.

Пример 2:

Нахождение вектора нормали по 3 точкам Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Решение:

Т. к. в уравнении отсутствует перемещенная Нахождение вектора нормали по 3 точкамто плоскость параллельна оси Нахождение вектора нормали по 3 точкам.

Для построения этой плоскости сначала изобразим ее

«след» на плоскости Нахождение вектора нормали по 3 точкамЭто — прямая, проходящая через две точки (5; 0; 0) и (0; 3; 0). Затем через полученную прямую проведем плоскость, параллельную оси Нахождение вектора нормали по 3 точкам(рис. 19).

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Нахождение вектора нормали по 3 точкам

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Нахождение вектора нормали по 3 точкамНахождение вектора нормали по 3 точкам

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🔥 Видео

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/

Вектор нормали к поверхности поля в точкеСкачать

Вектор нормали к поверхности поля в точке

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. 11 класс.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1
Поделиться или сохранить к себе: