Из этого материала вы узнаете, как с помощью циркуля построить правильный треугольник. Напомним, что треугольник является правильным, если длина всех его сторон одинакова, а каждый из углов составляет 60°.
На листе бумаги отметьте произвольную точку. Установите в эту точку иглу циркуля и нарисуйте окружность.
Установите иглу циркуля в любую произвольную точку, лежащую на окружности, и нарисуйте вторую окружность с центром в этой точке.
При этом не меняйте раствор циркуля, то есть радиус первой окружности должен быть равен радиусу второй окружности.
Отметьте точки пересечения окружностей.
Соедините полученные точки линией. Полученный отрезок будет первой стороной треугольника.
Далее, через центры обеих окружностей нужно провести прямую линию.
Таким образом, у вас получилось три точки, которые будут тремя вершинами треугольника.
Соедините все три точки между собой.
Полученный треугольник имеет одинаковую длину сторон, а величина каждого его угла составляет 60°, а значит он правильный.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Начертите равносторонний треугольник mnk
Глава 2. Треугольники
Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, равны ли они? Какими особыми свойствами обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема? На эти и многие другие вопросы вы найдёте ответы в данной главе.
§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
Рассмотрим три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками AB , BC , CA . Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 108 зелёным цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками AB , BC и CA называют треугольником .
Точки A , B , C называют вершинами , а отрезки AB , BC , CA — сторонами треугольника.
Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображённый на рисунке 108, обозначают так: ∆ ABC , или ∆ BCA , или ∆ ACB (читают: «треугольник ABC », «треугольник BCA », «треугольник ACB ») и т. д.
Углы BAC , ABC , BCA (рис. 109) называют углами треугольника ABC .
В треугольнике ABC (рис. 109), например, угол B называют углом , противолежащим стороне AC , углы A и C — углами , прилежащими к стороне AC , сторону AC — сто роной, противолежащей углу B , стороны AB и AC — сторонами, прилежащими к углу A .
Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
Периметр обозначают буквой P . Например, для периметра треугольника MNK используют обозначение P MNK .
Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые ( рис. 110, а ).
Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой ( рис. 110, б ).
Треугольник называют тупоугольным, если один из его углов тупой ( рис. 110, в ).
Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.
На рисунке 111 изображены равные треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 . Записывают: ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 . Эти треугольники можно совместить так, что вершины A и A 1 , B и B 1 , C и C 1 совпадут. Тогда можно записать: ∠ A = ∠ A 1 , ∠ B = ∠ B 1 , ∠ C = ∠ C 1 , AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , CA = C 1 A 1 .
Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами . Так, например, на рисунке 111 стороны AC и A 1 C 1 , углы A и A 1 — соответственные.
Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством чёрточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг (рис. 111).
Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны , и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы .
Основное свойство равенства треугольников
Для данного треугольника ABC и луча A 1 M существует треугольник A 1 B 1 C 1 , равный треугольнику ABC , такой, что AB = A 1 B 1 , BС = B 1 C 1 , AC = A 1 C 1 и сторона A 1 B 1 принадлежит лучу A 1 M , а вершина C 1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой A 1 M ( рис. 112 ).
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
Рассмотрим прямую a и не принадлежащую ей точку O . Предположим, что через точку O проходят две прямые OA и OB , перпендикулярные прямой a (рис. 113).
В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник O 1 AB , равный треугольнику OAB (рис. 114). Тогда ∠ OAB = ∠ O 1 AB = 90°. Отсюда ∠ OAO 1 = 180°, а значит, точки O , A , O 1 лежат на одной прямой.
Аналогично доказывают, что точки O , B , O 1 также лежат на одной прямой. Но тогда прямые OA и OB имеют две точки пересечения: O и O 1 . А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно. Тогда через точку О проходит одна прямая, перпендикулярная прямой а . 
Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее определение равных фигур.
Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.
На рисунке 115 изображены равные фигуры Ф 1 и Ф 2 . Пишут: Ф 1 = Ф 2 .
Любые две прямые (два луча, две точки) равны.
Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
На рисунке 116 отрезки BB 1 и CC 1 — высоты треугольника ABC .
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
На рисунке 117 отрезок AM — медиана треугольника ABC .
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.
На рисунке 118 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC .
Каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.
Часто длины сторон треугольника, противолежащих углам A , B , C , обозначают соответственно a , b , c . Длины высот обозначают h a , h b , h c , медиан — m a , m b , m c , биссектрис — l a , l b , l c . Индекс показывает, к какой стороне проведён отрезок (рис. 119).
- Как называют и обозначают треугольник?
- Что называют периметром треугольника?
- Какие существуют виды треугольников в зависимости от вида их углов?
- Какой треугольник называют прямоугольным? Тупоугольным? Остроугольным?
- Какие два треугольника называют равными?
- Как называют пары сторон и пары углов равных треугольников, которые совмещаются при наложении?
- Какие две фигуры называют равными?
- Что называют высотой треугольника?
- Что называют медианой треугольника?
- Что называют биссектрисой треугольника?
- Сколько у каждого треугольника высот? Медиан? Биссектрис?
132. Начертите треугольник:
Проведите из каждой вершины треугольника высоту.
133. Перерисуйте в тетрадь рисунок 120, проведите высоту, общую для трёх изображённых треугольников. У какого из них эта высота расположена вне треугольника?
134. Перерисуйте в тетрадь треугольники, изображённые на рисунке 121, проведите в каждом из них три высоты.
135. Начертите произвольный треугольник и проведите все его медианы.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
🎥 Видео
Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать
№101. Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведитеСкачать
№87. Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М, N и Р. а) Назовите всеСкачать
Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Равносторонний треугольникСкачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ДАН РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ВЫСОТА / НАЙТИ МЕДИАНУСкачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
№104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:Скачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Равносторонний треугольник ✧ Свойства, формулы ✧ Запомнить за 1 мин! #геометрия #егэ #огэСкачать
Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
