Видео:Геометрическое определение вероятности. 9 класс.Скачать
Какова вероятность того, что треугольник ABC остроугольный?
Сообщения: 1 🔎
# 15 Авг 2016 13:12:45 Evgeniy
На окружности случайным образом выбрано три точки . Какова вероятность того, что треугольник остроугольный?
Считаем, что выбор точек определяется соответствующим углом и распределение равномерное.
Пусть выбрана первая точка . Не важно, где она выбрана, т.к. окружность инвариантна относительно поворотов. Без ограничения общности можно считать, что точка соответствует углу . Пусть далее выбрана точка и ей соответствует угол . Углы будем измерять от до . Для того, чтобы треугольник получился отсроугольным, нужно, чтобы точка попала в сектор, образованный диаметрами, проведенными через точки и , лежащий напротив точек и . Если обозначить соответствующий точке угол через , то геометрически картинка будет выглядеть так:
Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать
Геометрическая вероятность
Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания
2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации
текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.
1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки
внутри фигуры на плоскости и прямой;
2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,
зная площади фигур или умея их вычислять.
I.Выбор точки из фигуры на плоскости.
Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?
В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.
Рассмотрим более общие условия опыта.
Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.
Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».
Обычно это выражение трактуют так:
1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.
2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.
Подведем итог: пусть и — площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна
.
Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому
Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.
Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .
Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна
Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.
Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,
Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:
Вывод.Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.
Задача.Нетерпеливые дуэлянты.
Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?
Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.
Дуэлянты встречаются, если , т. е. x —
Видео:На отрезке [‐7;18] числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Найти вероятность того,что..Скачать
Задача уровня «nightmare»: 4 случайные точки на сфере
Мне очень понравился разбор задачи от 3Blue1Brown, выкладываю конспект для тех, кто любит изящные решения математических задач в читабельном виде.
Математическая олимпиада им. Уильяма Лоуэлла Патнема (William Lowell Putnam Mathematical Competition) — математическая олимпиада для студентов бакалавриата, обучающихся в университетах (колледжах) США и Канады. Вдохновителем олимпиады был Уильям Лоуэлл Патнем, американский юрист и банкир. Проводится Математической ассоциацией Америки ежегодно с 1938 года. Денежными призами награждаются пять лучших университетских команд (приз $25 000 за первое место) и двадцать пять студентов, лучших в личном зачете (приз $1000 за первое место). — Википедия
Длится олимпиада два раза по 3 часа, всего 12 задач по 10 баллов за каждую. Средний балл, который набирают студенты — 1 или 2. Рассмотрим одну из самых сложных задач из этой олимпиады.
Выберем 4 случайные точки на сфере. Какова вероятность что центр сферы будет внутри тетраэдра, образованного этими точками?
Рассмотрим двумерный вариант этой задачи.
Рассмотрим 3 случайные точки на окружности. Какова вероятность, что центр окружности будет внутри треугольника?
Можно закрепить две точки и поиграться с третьей. Легко заметить, что есть определенная зона, проекции закрепленных точек относительно центра, внутрь которой должна попасть третья точка, чтобы выполнилось условие. Окружность тем самым разделяется на 4 части. Вероятность попадания третей точки в дугу, равна отношению длины дуги к длине окружности. Какова длина дуги?
Вероятность колеблется от 0 до 0,5 в зависимости от расположения первых двух точек.
Какова средняя вероятность?
Зафиксируем первую точку и поиграемся со второй. Вероятность будет меняться от 0 до 0,5, то есть средняя вероятность будет 0,25.
Решение задачи для окружности и трёх точек — 25%.
Можно ли перенести такой подход на сферу и 4 точки?
Фиксируем три точки и играем с четвертой. Нарисуем проекции фиксированных точек относительно центра и плоскостями разделим сферу на 8 частей.
Центр сферы будет находиться внутри тетраэдра, если четвертая точка попадает на зеленый сферический треугольник, который находится «напротив» зафиксированных точек относительно центра. Каков средний размер зеленой секции?
//Дальше не придумали, импровизируй.
Можно вернуться к двумерному случаю и подумать откуда взялась 1/4. Откуда 4?
Можно перейти от 3 случайных точек на окружности к другой задаче. Выберем два случайных диаметра. Потом для каждого диаметра бросим монетку, выбирая тем самым, где будет точка Pi, с какого конца диаметра. Потом случайно выберем третью точку на окружности.
А потом еще хитрый ход.
Давайте сначала выберем случайным образом третью точку, а потом случайно выберем два диаметра. У нас будет 4 варианта размещения точек P2 P1:
Но только один из этих 4 вариантов содержит решение, когда центр окружности внутри треугольника:
Какую бы мы ни выбирали рандомную начальную позицию третей точки и двух диаметров, только один из вариантов содержит центр окружности внутри треугольника:
То как мы переформулировали задачу:
Со сферой получается 8 вариантов выбора точек, после того, как зафиксирована первая точка и выбраны три диаметра:
Только 1 из 8 удовлетворяет условию, что центр сферы внутри тетраэдра:
💥 Видео
4 С какой вероятностью центр окружности лежит внутри случайного вписанного треугольника?Скачать
Геометрическая вероятность. Видеоурок по алгебре 11 классСкачать
Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать
✓ Новая задача на вероятность в ЕГЭ | Задание 4. ЕГЭ-2022. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
?
В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.
и 
— площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна
.
Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому 
.
Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит, 
Дуэлянты встречаются, если 
, т. е. x — 
![На отрезке [‐7;18] числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Найти вероятность того,что..](https://i.ytimg.com/vi/7DDd-0aNjIU/0.jpg)
