На окружности случайно выбирается n точек найдите вероятность того

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I. Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?

В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Рассмотрим более общие условия опыта.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

Подведем итог: пусть и — площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна

.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому

Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Дуэлянты встречаются, если , т. е. x —

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

На окружности случайно выбирается n точек найдите вероятность того

Ященко 36 вариантов (Национальное образование, drive.google.com/file/d/1hPI-uuC-xJpeZh2Jeq6Liv. )
Вариант 36, задание 10

В викторине участвуют 15 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых 8 играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет девятый раунд?

Два способа решения (2:14:20 и 2:27:34)

Видео:На отрезке [‐7;18] числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Найти вероятность того,что..Скачать

Невероятность

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число N. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Ответы из сборника 50 вариантов:
N Вероятность
4 0,5
5 0,56
6 0,58
7 0,42
8 0,28
9 0,42

Видео:Геометрическая вероятностьСкачать

Мат ожидание бросков мячика в воду

Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Расскажите школьникам о коктейлях

попалось на глаза.

Видео:Задача о встречеСкачать

Продолжение

29 апреля девятиклассники матвертикали имели возможность еще раз написать контрольную по твисту.

Формулировку девятой задачи поменяли и теперь она выглядит так:

Перед скачками обязательно проводится взвешивание жокеев. В заезде участвуют четыре жокея – Андрей, Борис, Владимир и Григорий. При взвешивании выяснилось, что вес у всех разный и что Андрей легче Владимира, а Владимир легче Григория. Какова вероятность того, что Борис окажется тяжелее Григория?

Выберите ответ. При желании напишите, как вы его получили.

Вопрос: Ответ

Видео:2017 на окружности по разные стороны от диаметра AB взяты Точки M и NСкачать

Секта

Недавно состоялся семинар, на котором руководители ресурсных центров матвертикали рассказывали учителям, как нужно объяснять недорослям решения проводившейся в девятых классах в начале месяца контрольной работы по теории вероятностей.

читать дальше

0:00​ Вступление
1:00​ Задача №1
3:50​ Задача №2
7:20​ Задача №3
8:27​ Задача №4
11:25​ Задача №5
13:00​ Задача №6
14:58​ Задача №7
19:10​ Задача №8
23:52​ Задача №9
42:02​ Задача №10
53:30​ Ответы на вопросы
vertical.sch-int.ru/https-vertical-sch-int-ru-s.

P.S. При обсуждении девятой задачи полезно предложить школьникам исследовать зависимость вероятности n+1-ой победы от количества оставшихся в строю неудачников, поговорить о парадоксах и странностях окружающего их мира.
P.P.S. Математика — це москальська лженаука!

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Фифти-фифти

В летнем лагере проводится турнир по настольному теннису по круговой системе, то есть
каждый участник играет по одному разу со всеми другими. В каждой встрече побеждает тот, кто
играет лучше, при этом нет двух участников, играющих одинаково хорошо. Очерёдность игровых
пар определяется жребием. Известно, что Пётр выиграл в первых пяти своих встречах. Какова веро-
ятность того, что он выиграет и в следующей встрече тоже?

Авторское решение
Шестой соперник выиграет у Петра, только если он играет лучше, чем Пётр и пять его
предыдущих соперников. То есть он должен оказаться самым лучшим игроком среди
семи. В силу случайности порядка встреч вероятность этого равна 1/7. Следовательно, ве-
роятность выигрыша Петра равна 6/7.

Архив контрольных. 9 класс. Статистика. vertical.sch-int.ru/

Задача для самостоятельного решения
В летнем лагере проводится турнир по настольному теннису по круговой системе, то есть
каждый участник играет по одному разу со всеми другими. В каждой встрече побеждает тот, кто
играет лучше, при этом нет двух участников, играющих одинаково хорошо. Очерёдность игровых
пар определяется жребием. Известно, что Пётр принимает участие в турнире. Какова веро-
ятность того, что он выиграет в первой встрече?

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

План-конспект урока по математике. Тема: «Геометрическая вероятность»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

«Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики в основной школе» (36 часов) вариативный модуль.

Итоговая работа выполнена Ковалевой Галиной Александровной , учителем математики МОУ «СОШ №14 с УИОП», г. Сергиев Посад, гр. 199

Тема урока: «Геометрическая вероятность»

Цель урока: ввести определение геометрической вероятности

Задачи: рассмотреть определение геометрической вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости, при выборе точки из отрезка, из дуги окружности, при выборе точки из числового отрезка; добиться качественного понимания этого определения; научиться применять его при решении задач.

Тип урока: лекционно-семинарский

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная

Организационный момент формулирование темы урока

Учитель просит учеников дать классическое определение вероятности и предлагает задачу.

Задача о монете.

На тетрадный лист в линейку наудачу бросается рублевая монета. Расстояние между линейками равно 8 мм, диаметр монеты 20 мм. Какова вероятность того, что монета пересечет

а) две линии б) три линии?

Ученики должны рассмотреть все возможные элементарные события в этом опыте и убедиться, что монета пересекает 2 или 3 линии. Важно подвести учеников к мысли, что исходы опыта можно связать с расстоянием от центра монеты до ближайшей линейки.

Результатом работы с этой моделью должно быть, что количество возможных исходов (элементарных событий) в этом опыте бесконечно много! Это числа из отрезка [0; 4]. Благоприятствующих элементарных событий, соответствующих а) и б) тоже бесконечно много…

КАК ПОСЧИТАТЬ ВЕРОЯТНОСТЬ?

Геометрическое определение вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости

Ученикам предлагается рассмотреть следующую задачу (фронтальная работа с обсуждением, причем учителю следует вводить определение после попыток учеников самостоятельно ответить на вопрос задачи).

Точку наудачу бросают в область F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадет в некоторую область G , которая содержится в фигуре F ?

Если предположить, что попадание в любую точку области F равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в область G будет равна отношению площадей области G и области F , то есть

, где

Такое определение вероятности называется геометрическим.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F , поэтому P ( A )≤1.

Имеет смысл после введения определения поработать над качественным пониманием его, предложив следующий пример:

Выберем на географической карте мира случайную точку (зажмурили глаза и показали указкой).

— Какова вероятность что эта точка окажется в России? (Для ответа на вопрос нужно знать какую часть всей карты занимает Россия)

— Какова вероятность попасть в Гринвичский меридиан (Как ни странно, придется положить ее равной 0, так как площадь меридиана равна 0 – попасть указкой точно в меридиан невозможно)

4 . Решение задач

Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем

Решение этой задачи провести при фронтальном обсуждении его. У доски может работать ученик или учитель (зависит от подготовленности аудитории)

S _F =1 (площадь исходного квадрата)

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G .

S _G = S _F – S _ABCD = 1 — =

Если A = <расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем >, то

P ( A ) = : 1 =

Ответ:

Ученикам предлагается самостоятельно по вариантам решить следующие задачи:

В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

После решения эти задачи необходимо проверить и обсудить решения (слайд презентации, или подготовленная запись решения на откидной доске)

Пусть сторона квадрата равна a , тогда r = a

S _кр = π r 2 = π a 2

S _A – площадь заштрихованной области квадрата

S _A = S _кв — S _кр = a 2 — π a 2 = a 2

P (A) = = Ответ :

Пусть радиус круга равен a .

Тогда S _кр = π a 2

AB = a

P (A) = =

Ответ :

Если темп урока позволяет, имеет смысл задать дополнительные вопросы по этим задачам (вероятности попадания в другие, указанные учителем, области)

Геометрическое определение вероятности при выборе точки из отрезка, дуги окружности; при выборе точки из числового отрезка

5.1 Случайный выбор точки X из отрезка MN можно понимать так, будто точку X случайным образом «бросают» на отрезок MN . Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка. Рассмотрим пример:

Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN . Нас интересует событие A , состоящее в том, что выбранная точка X принадлежит отрезку CD .

Аналогично определению геометрической вероятности данному выше имеем

P ( A ) =

Учителю стоит обратить внимание учеников на аналогию рассматриваемого примера с приведенным выше. Отличие состоит только в мерности объектов. И опять следует подчеркнуть, что P ( A ) – число неотрицательное и не превосходящее 1, как и полагается для вероятности случайного события. Далее предлагается пример для фронтальной работы с ним. Пример предлагается ученикам как задача. Цель работы с ним – качественное понимание данного определения. Не стоит давать рисунок вместе с текстом, так как в нем содержится подсказка.

Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка X . Найдите вероятность того, что точка X ближе к N чем к M .

Решение

Пусть O – середина отрезка MN . Обозначим указанное событие через A . Это событие наступит только тогда, когда точка X лежит внутри отрезка ON . То есть P (A) = =

Ничего не меняется, если точка X выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии. Например, можно случайным образом выбирать точку X на окружности.

Пример: в окружность вписан квадрат ABCD . На окружности случайным образом выбирается точка M . Найдите вероятность того, что эта точка лежит на:

а) меньшей дуге AB

б) большей дуге AB

Учитель предлагает ученикам самостоятельно решить эту задачу. Проверка с помощью слайда или рисунка, заранее подготовленного на откидной доске.

Решение

A – указанное событие

а) P ( A ) =

б) P ( A ) =

5.3 Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число x , удовлетворяющее условию

m ≤ x ≤ n . Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка [ m ; n ] на числовой прямой выбирается точка с координатой x .

Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой x выбирается из отрезка

[ a ; b ], содержащегося в отрезке [ m ; n ].

Это событие обозначим ( a ≤ x ≤ b ). Его вероятность равна отношению длин отрезков [ a ; b ] и [ m ; n ].

P ( a ≤ x ≤ b ) =

Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0; 1], принадлежит отрезку []

Решение: P ( ≤ x ≤ ) = =

Учитель подводит итог на этом этапе урока, задавая ученикам следующие вопросы:

— с какой вероятностью познакомились на этом уроке?

— для каких случаев была рассмотрена эта вероятность?

Учитель еще раз обращает внимание учеников на аналогичность определения геометрической вероятности во всех случаях и возвращает к началу урока, к задаче о монете, предлагая ученикам теперь ее решить.

Решение задачи о монете

Вспомним, что положение монеты договорились оценивать по расстоянию от центра монеты до ближайшей линейке. Если обозначить это расстояние x , то множество всех исходов соответствует 0 ≤ x 4. Монета бросается на лист наудачу, это значит что все значения x из отрезка [0; 4] будут равновозможными.

Событие A = соответствует 2 x ≤ 4;

Событие B = соответствует 0 ≤ x ≤ 2.

По формуле геометрической вероятности получим

P ( A ) = =

P ( B ) = = .

Ответ:

Вероятности событий A и B получились одинаковыми. Стоит ученикам задать вопросы:

— можно ли это было предполагать с самого начала (нет)

— от чего эти результаты зависели (расстояние между линейками, размерами монеты).

Если темп работы аудитории позволяет, то хорошо бы успеть рассмотреть последним заданием урока задачу о встрече, как классический пример задачи, решение которой наглядно демонстрирует необходимость владения геометрическим определением вероятности.

Задача о встрече

Илья и Женя договорились встретиться у памятника Пушкину с 17.00 до 18.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течении заданного часа?

Обозначим время прихода Ильи через X , а Жени — через Y (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 17 часов). Тогдо точка с координатами ( x , y ) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Oxy , изображенном на рисунке:

Каждая точка этого квадрата – это один из возможных исходов нашего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполняется условие | x — y | S =60 2 – 2 ▪ ▪ 30 ▪ 30 = 3600 – 900 = 2700

Искомую вероятность встречи находим как отношение «благоприятной» площади ко всей площади квадрата:

P= =

Ответ:

🔍 Видео

11 класс, 22 урок, Вероятность и геометрияСкачать

Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическое определение вероятности. 9 класс.Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Геометрическая вероятность. С какой вероятностью можно составить треугольникСкачать

Решение задачи на вероятность, сдадим ли ОГЭ? / Полный разбор всех типов заданий на вероятностьСкачать

Сердобольская М.Л. - Теория вероятностей. Семинары - 3. Геометрическая вероятностьСкачать

Вероятность того что шариковая ручка. Огэ по математике. (Вар. 1) задание 9. Теория вероятностиСкачать

Геометрическая вероятностьСкачать

Условие принадлежности четырёх точек одной окружностиСкачать

Геометрическая вероятностьСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать