На единичной окружности отмечены точки соответствующие поворотам на углы

План урока:

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α 1 5

Видео:Изобразить на единичной окружности точку.Скачать

Итоговая работа по математике. 10 класс (Базовый уровень)

Видео:Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать

Список вопросов теста

Вопрос 1

Студентами технических вузов собираются стать 24 выпускника школы. Они составляют 15% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

Ответ наберите самостоятельно

Вопрос 2

На рисунке изображён график изменения температуры воздуха в течение некоторых суток в Туле и Смоленске.

Пользуясь графиком, выберите верные утверждения.

Варианты ответов

• Наименьшая температура за эти сутки в Смоленске была равна 5°
• В 8 часов утра температура в Туле была ниже, чем температура в Смоленске
• С 6 до 8 часов утра температура в Туле и Смоленске совпадала
• Температура в Туле в 2 часа дня была ниже, чем в 6 часов вечера

Вопрос 3

Найдите значение выражения tg240°⋅cos750°

Вопрос 4

На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные точки P_α и P_β, соответствующие поворотам на углы α и β

Можно ли утверждать следующее?

1) tgα = tgβ
2) α > β
3) sinα > cosβ
4) cosα 3 . Ответ дайте в квадратных сантиметрах

(Единицы измерения писать не нужно)

Вопрос 7

Выберите верные утверждения

Варианты ответов

• Любые три точки в пространстве лежат в одной плоскости
• Если две прямые в пространстве перпендикулярны, то они лежат в одной плоскости
• Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной
• Если две прямые в пространстве параллельны, то они лежат в одной плоскости

Вопрос 8

Из множества натуральных чисел от 40 до 54 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?

Вопрос 9

Груз спускают из кузова автомобиля по наклонной доске. Высота кузова равна 50 см (см. рисунок).

Найдите длину доски AB, при которой угол наклона доски α равен 24°. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до целого значения.

Вопрос 10

Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные точки Pb, соответствующие поворотам на углы a и b?

Математика | 10 — 11 классы

На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные точки Pb, соответствующие поворотам на углы a и b.

Можно ли утверждать, что : 1)a + b = 0

4)sin a + sin b = 0.

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Упростить выражение : sin(a)sin( — b) + cos(a — b)?

Упростить выражение : sin(a)sin( — b) + cos(a — b).

Видео:На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92 градуса. Прямая BC касается окрСкачать

Cos 2b cos b / sin 2b sin b?

Cos 2b cos b / sin 2b sin b.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Cos(3pi / 2 + b) * cos (a — 12pi) + sin(pi / 2 — a)?

Cos(3pi / 2 + b) * cos (a — 12pi) + sin(pi / 2 — a).

Видео:Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать

Cos pi / 9 * cos pi / 18 — sin pi / 9 * sin pi / 18?

Cos pi / 9 * cos pi / 18 — sin pi / 9 * sin pi / 18.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

Корень 2 * cos a — 2 cos(pi 4 + a) 2 * sin(pi 4 + a) — корень2 sin a?

Корень 2 * cos a — 2 cos(pi 4 + a) 2 * sin(pi 4 + a) — корень2 sin a.

Видео:На окружности с центром O отмечены точки A и B так ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Sin(a — b)sin(a + b)sin ^ 2b + cos ^ 2?

Sin(a — b)sin(a + b)sin ^ 2b + cos ^ 2.

Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Cos (a — b) — sin ( — a) * sin ( — b) упростить?

Cos (a — b) — sin ( — a) * sin ( — b) упростить.

Видео:2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45Скачать

Sin a sin 2a — cos a cos 2a — sin 3a?

Sin a sin 2a — cos a cos 2a — sin 3a.

Видео:Числовая окружностьСкачать

Вычислите :cos (a — pi / 2) — sin (a — pi / 2) = корень2 cos (a — pi / 4)?

cos (a — pi / 2) — sin (a — pi / 2) = корень2 cos (a — pi / 4).

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Вычислить cos(pi / 3 + a), если sin a = 1 / 2?

Вычислить cos(pi / 3 + a), если sin a = 1 / 2.

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные точки Pb, соответствующие поворотам на углы a и b?

На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные точки Pb, соответствующие поворотам на углы a и b.

Можно ли утверждать, что : 1)a + b = 0

4)sin a + sin b = 0.

На этой странице находится вопрос На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные точки Pb, соответствующие поворотам на углы a и b?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Математика, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.

💥 Видео

№147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВССкачать

Тема 1. Единичная окружность. Градусная и радианная мера произвольного угла. Определение синуса и тдСкачать

Вписанные углы в окружностиСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать