На большем основании трапеции как на диаметре построили окружность (8 видео)

На большем основании трапеции как на диаметре построили окружность

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.

а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.

б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O.

Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

а) Трапеция AMCD вписана в окружность, тогда углы CAD и MDA равны. Так как углы CAD и BAM равны половине дуги AM, то они равны между собой, что и требовалось доказать.

б) откуда тогда а Так как треугольники AOD и COB подобны, то тогда

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Содержание

III.3. Задачи к теоретической карте № 3
Окружность, построенная на основании ВС трапеции ABCD как на диаметре, проходит через середины диагоналей АС и BD трапеции и касается
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
📹 Видео

Видео:Построить трапецию по диагоналям и основаниям.Скачать

III.3. Задачи к теоретической карте № 3

№ 1.

На большем основании трапеции как на диаметре построили окружность

В – точка касания Найти:

АDВ .

№2.Биссектриса угла В треугольника АВС пресекает описанную окружность в точке D. Доказать, что треугольник АDC равнобедренный.

План доказательства.

1. (доказать).

2. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№3.Доказать, что сторона треугольника, лежащая против угла в 30 0 , равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

План доказательства.

1. .

2. Вид .

Используемые факты из теоретической карты:

№4. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из
боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найти градусные меры этих дуг.

План решения.

1. BD АС.

Ответ: 40 0 , 40 0 , 100 0

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№5. Через вершины Ви С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках К и М соответственно. Доказать, что ∆АВС

∆АМК. Найти МК и АМ, если АВ=2, ВС=4, АС=5, АК=1.

План доказательства.

1. Проведем .

2. .

6. МК. 7. АМ. Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.№6. Окружность, построенная на стороне параллелограмма как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найти углы параллелограмма.

План решения.

1. – ромб

2. – равносторонний.

3. .

4. .

Ответ: 60 0 , 120 0 .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№7. Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания и пересекает боковые стороны, деля их пополам. Найти меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

План решения.

проведем АЕ, .

: СD 2 = 4R(R — ОР).

3. CP = R, PD = R – OP.

4. ∆CPD: OP 2 + 2R∙OP – 2R 2 =0, .

5. Трапеция ABCD – равнобедренная. ВС = 2ОР.

Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№8. Высоты остроугольного треугольника продлены до пересечения с описанной окружностью. Доказать, что отрезки этих линий от ортоцентра до окружности делятся соответственными сторонами пополам.

Точка К – ортоцентр треугольника АВС.

1. ∆ВНС:

2. ∆АРС:

4. 5. . 6. КР=PN.

Аналогично доказывается, что .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№9.Окружность разделена точками A, B, C и D так, что Хорды и продолжены до пересечения в точке М. Найти угол АМВ.

3. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.3.

№10. На окружности взяты четыре точки. Середины образованных дуг попарно соединены отрезками. Доказать, что среди этих отрезков есть, по крайней мере, два перпендикулярных.

1. Выразить через и а затем через дуги

Используемые факты из теоретической карты: 1.4.

№11. В окружность вписан четырехугольник. Его противоположные стороны CD и АВ, ВС и AD продолжены до взаимного пересечения в точках N и F. Доказать, что биссектрисы углов BFA и AND перпендикулярны.

1. .

2. .

4. .

5. .

6. .

7. = =90°.

Используемые факты из теоретической карты:

№12. Через точку касания двух окружностей проведены две секущие, концы которых соединены хордами. Доказать, что эти хорды параллельны.

1. .

2. .

3. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№13.В треугольнике АВС проведены высоты ВВ₁ и СС₁. Доказать, что
касательная в точке А к описанной окружности параллельна прямой В₁С₁.

План решения.

Используемые факты из теоретической карты: 1.5.

№14. Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции ABCD и касается боковой стороны АВ в точке В. Основания трапеции а и b. Найти диагональ BD.

4. .

5. . Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№15. Из точки С окружности на хорду АВ опущен перпендикуляр CD. Из концов хорды опущены перпендикуляры АЕ и BF на касательную к окружности в точке С. Доказать, что .

План доказательства.

2. .

5. . 6. BF. 7. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№16. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см.
Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на
которые делится хорда точкой Р?

1. .

2. ∙РТ.

3. ∙ = ∙ (18 – ).

4. ∙РТ= ∙ .

Ответ: 6 и 12. Используемые факты из теоретической карты: 2.1.

№17. АС и ВD – диагонали ромба АВCD. Окружность описанная около
треугольника ABD, пересекает большую диагональ АС в точке Е. Определить диагонали ромба, если АВ = 20 см, СЕ = 7 см.

План решения.

1. АО 2 +ОВ 2 =АВ 2 .

2. АО∙ОЕ=ОВ 2 , АО∙(АО – ЕС) = ОВ 2 .

3. Решить систему уравнений

Ответ: 32 см, 24 см.

Используемые факты из теоретической карты: 2.1.

№ 18.Через точку Р диаметра АВ данной окружности проведена хорда CD, образующая с диаметром АВ угол 60°. Вычислить радиус окружности R, если

Дополнительное построение: ОК ^ DC.

1.СК. 2. КР. 3. ОР ( ОКР).

4. Выразить АР через ОР и R.

5. Выразить РВ через ОР и R.

6.Составить равенство АР·РВ = СР·РD.

7.Выразить R из составленного равенства.

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 2.1;

№19. Из внешней точки проведена к окружности секущая длиной 12 см и
касательная, длина которой составляет два внутренних отрезка секущей.

Определить длину касательной.

План решения.

1. Выразить AD через АС и DС.

2. Выразить АВ через DС.

3. Составить уравнение.

Рис. 87

4. DС. 5. АВ.

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№20. Полуокружность, построенная на меньшем катете, как на диаметре, делит биссектрису острого угла, прилежащего к этому катету, в отношении 1:3. Найти углы треугольника.

План решения.

1. КС – касательная, КВ – секущая,

выразить КС (в частях).

2. sin

3. Ответ: 30 0 , 60 0 .

Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№21. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. На отрезках гипотенузы, определенных основанием перпендикуляра, опущенного на гипотенузу из
вершины прямого угла, описаны как на диаметрах окружности. Найти длины отрезков катетов, находящихся внутри этих окружностей.

План решения.

1. .

2. КС (СD – касательная, СА – секущая).

4. Аналогично LB.

Ответ: . Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№22. На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность. Окружность пересекает основание АС в точке М, а
боковую сторону ВС в точке N. Найти длины отрезков СN и NM, если
АС=а, АВ=b.

План решения.