Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Равносторонний (правильный) треугольник

Равносторонний или правильный треугольник — треугольник, у которого три стороны равны. Все углы равностороннего треугольника равны.

Равносторонним треугольником называется такой треугольник, у которого все стороны равны, то есть АВ = ВС = АС (рис. 1)

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Свойства равностороннего (правильного) треугольника

  1. Все углы равностороннего треугольника равны по 60°

∠А=∠С=∠В=60°

  1. Биссектрисы треугольника являются медианами и высотами, то есть равны и точка их пересечения, является центром вписанной окружности (рис. 2).

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Из (рис. 2) обозначения:

h — высота=биссектриса=медиана

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
a — стороны правильного треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника:

P=3·a

Формула площади правильного треугольника:Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Формула высоты (или медианы или биссектрисы) равностороннего треугольника:

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник:

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Радиус описанной окружности в равносторонний треугольник:

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 5

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

2. Радиус вписанной окружности:
Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

3. Радиус описанной окружности:
Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

4. Периметр:
Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

5. Площадь:
Можно ли вписать окружность в равносторонний треугольник почему

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

💥 Видео

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Как  поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.
Поделиться или сохранить к себе: