Через какую нибудь точку А прямой а проводим прямую b1, параллельную b ; через прямые а и b1 проводим плоскость. Она и будет искомой. Задача имеет в этом случае единственное решение.
2-й случай. Прямые а и b параллельны. В этом случае задача неопределенна: всякая плоскость, проходящая через прямую а, будет параллельна прямой b.
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2, которые не параллельны:
 . | (1) |
 . | (2) |
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2(Рис.1).
 |
Прамая L1 должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M1 должна нежать на плоскости α.
Уравнение плоскости можно записать формулой
| Ax+By+Cz+D=0. | (3) |
и поскольку M1(x1, y1, z1) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:
| Ax1+By1+Cz1+D=0. | (4) |
Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L1, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am1+Bp1+Cl1=0 | (5) |
Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L2, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q2 прямой L2, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am2+Bp2+Cl2=0 | (6) |
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
 | (7) |
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2.
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
 | (8) |
паралленьно другой прямой L2 :
 | (9) |
 |
 |
Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
 | (10) |
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:
 | (11) |
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
 | (12) |
 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
 | (16) |
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
 | (17) |
Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:
| Ax+By+Cz+D=0 | (18) |
Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:
 | (18) |
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:
| 13x−4y+3z−24=0 | (19) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
 | (20) |
| q1=<m1, p1, l1>= |
| q2=<m2, p2, l2>= |
Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
| Ax1+By1+Cz1+D=0 | (22) |
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:
| (23) |
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
| (24) |
| A(−2)+B·0+C·1+D=0, | (25) |
| A·5+B(−8)+C·3=0, | (26) |
| A·1+B·1+C·1=0, | (27) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
 | (28) |
Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:
 | (29) |
Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:
| Ax+By+Cz+D=0 | (30) |
Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:
 | (31) |
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:
| 11x+2y−13z+35=0 | (32) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).
Параллельность прямой и плоскости
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Данный урок посвящен теме «Параллельность прямой и плоскости». На этом уроке мы обсудим параллельность прямой и плоскости как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве, рассмотрим ситуацию плоскость параллельная прямой. Сформулируем теорему и докажем ее и два утверждения, которые часто используются при решении задач на эту тему.