Множество треугольников конечное или бесконечное

Видео:КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА // ВЗАИМООДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕСкачать

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА. Множества конечные и бесконечные

Обычно арифметику определяют как науку о числах. Числа в простейшем смысле слова, т. е. так называемые натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, . отвечают на вопрос «сколько?». Сколько учеников в классе? Сколько книг на столе? Сколько гусей на пруду?

Но каждый раз, когда мы спрашиваем: «Сколько предметов?» — мы должны иметь эти предметы, их совокупность. Вот мы и говорим о совокупности всех учеников, обра­зующих данный класс, о совокупности книг, лежащих на столе, о совокупности гусей, пла­вающих на пруду. Каждое натуральное число есть число предметов (одушевленных или не­одушевленных), образующих некоторую сово­купность. Иногда эти предметы легко сосчи­тать, например когда идет речь о числе книг, лежащих на столе, или о числе учеников, сидя­щих в классе.

Но значительно труднее ответить на вопрос, сколько в данный момент плавает китов в мировом океане или даже сколько ежиков живет в подмосковных лесах. И уж совсем трудно точно сказать, сколько молекул в стакане воды или звезд в нашей Галактике. Однако во всех этих случаях мы уверены, что число это конеч­ное, хотя, может быть, и очень большое и недо­ступное для точного вычисления при данном состоянии наших научных познаний.

В математике рассматриваются не только конечные, но и бесконечные совокупности. Простейшим примером такой совокупности является совокупность, или, как принято го­ворить, множество, всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, . .

Мы уже сказали, что каждое натуральное число есть число предметов, образующих ту или иную совокупность, то или иное множество. Но множество всех натуральных чисел уже не есть конечное множество. На вопрос: «Сколь­ко всего натуральных чисел?» — приходится от­ветить, что их бесконечно много. Какое бы большое число натуральных чисел мы ни заду­мали, всегда есть такие натуральные числа, которые не вошли в число задуманных.

В математике мы постоянно сталкиваемся с примерами бесконечных множеств. Возьмем, например, равносторонний треугольник T₁ впи­шем в него равносторонний треугольник Т₂. Вершины треугольника Т₂ суть середины сто­рон треугольника Т₁. Таким же образом впи­шем в Т₂ равносторонний треугольник Т₃, в Т₃ впишем T₄ и т. д. (рис. 1).

Это построение приводит к бесконечному множеству равносторонних треугольников:

Тем более бесконечным является множество всех вообще равносторонних треугольников, лежащих в данной плоскости.

Последняя фраза несколько двусмысленна: слово «более» может быть воспринято в ней как составная часть выражения «тем более», упот­ребленного в смысле «и подавно». Раз есть уже бесконечное множество равносторонних тре­угольников, получающихся при некотором оп­ределенном построении, то и подавно множе­ство всех равносторонних треугольников бесконечно. Но слово «более» может быть понято и как сравнительная степень прилагательного, и тогда высказанное выше суждение означает, что множество всех равносторонних треуголь­ников, лежащих в данной плоскости, в каком-то смысле является «более бесконечным», чем бесконечное множестве» построенных нами треугольников

Как видите, мы затронули интересный воп­рос, долгое время отпугивавший ученых: своей (впрочем, лишь кажущейся) парадоксально­стью: существуют ли, если можно так выра­зиться, различные «степени» бесконечности? Возможна ли количественная оценка бесконеч­ных множеств, позволяющая утверждать, что одно из двух бесконечных множеств является «более бесконечным», чем другое? Или же ут­верждение, что данное множество является бес­конечным, окончательно в том смысле, что не дает возможности дальнейших различений или градаций количественного характера. Первым, кто пытался ответить на этот во­прос, был знаменитый чешский математик и философ Б. Больцано (1-я половина XIX в.), но он не сумел полностью преодолеть все труд­ности, которые при этом возникли. Постара­емся разобраться, в чем эти трудности и каково решение поставленного вопроса.

Видео:Множество. Элементы множества. 5 класс.Скачать

Треугольники, множества и алгебра

Иногда кажется, что некоторые математические темы изучены вдоль и поперек, например, треугольники. Ну что в этих треугольниках может быть нового и интересного? Тем не менее, даже такие, казалось бы, тривиальные объекты могут предстать под неожиданным углом. Давайте возьмем какую-нибудь простенькую задачку и попробуем ее решить. Постараемся найти треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью. Мало ли, вдруг у нас получится.

Как перечислить все треугольники?

Даже несмотря на то, что некоторые множества содержат бесконечное количество элементов, они являются перечислимыми. Например, множество четных чисел может быть перечислено с помощью очень простого алгоритма — для любого n выдаем 2n и все. Во многом такая простота перечислимости некоторых множеств обусловлена тем, что элементы как-то упорядочены. Фактически, перечислить — значит пронумеровать, например, 2 — это первое четное число, 6 — третье. Но можем ли мы проделать то же самое с треугольниками? Если задавать треугольники с помощью кортежей вида a,b,c, то можем ли мы сказать, что треугольник 1,1,1 является первым, а треугольник 3,2,2 — четвертым или восьмым или еще каким-нибудь номером? Оказывается, можем.

Первое, что нужно придумать — это то как упорядочить множество треугольников. Первое, что приходит в голову — взять треугольник с какой-нибудь одной фиксированной стороной и выписать другие треугольники, стороны которого не меньше заданной. Например, так:

Как видим, первая сторона неизменна, а третья не превосходит суммы двух первых, на графике это будет выглядеть так:

Перед нами две ступенчатые функции, а значит мы можем задать стороны всех таких треугольников следующим образом:

Если заменить тройку на а на , то получим следующее:

Теперь любой треугольник можно изображать в виде точки на координатной плоскости, преобразуя стороны треугольников в координаты по двум простым формулам:

Чтобы перейти от координат к номерам достаточно воспользоваться канторовской нумерацией:

Или, если вместо координат использовать стороны треугольника:

Не знаю как вы, а я очень удивился, когда понял, что у каждого треугольника с целыми сторонами может быть свой номер. Есть что-то необычное в том, что подмножества треугольников, например, равнобедренные, могут выглядеть вот так:

Причем тут алгебра?

Очень похоже, что номера равнобедренных треугольников представляют собой множество парабол, нарисованных на одном графике. Так и есть, каждая из них может быть задана уравнением вида:

То же самое можно сказать и про многие другие подмножества треугольников. Например, вот так будут выглядеть треугольники с целыми, четными сторонами и одной целой медианой, проведенной к стороне :

На графике с координатами расположено множество кубических функций вида:

Не знаю, можно ли задать функции для всех кубических функций, но некоторые из них могут быть заданы, например, так:

Можно взять какую-то отдельную из них, например при j=0 и получить следующие формулы для координат треугольников:

Используя данные координаты можем задать функции для сторон и медианы:

Мы можем попробовать провернуть то же самое для треугольников, у которых две целые медианы:

Хоть этого и не видно на графике, но координаты треугольников с двумя целыми медианами задаются кубическими, квадратичными и линейными функциями. К сожалению, не могу привести все выкладки куда−то потерялись записи.

Если мы нарисуем график для треугольников с тремя целыми медианами, то получим следующее:

Таких треугольников очень мало, они очень сильно разрежены, но любопытно, что если найти хотя бы один такой треугольник, то все последующие могут быть заданы как:

Например, если взять треугольник 136, 170, 172 и умножить его стороны на 5, то мы снова получим треугольник с целыми сторонами и медианами.

Почему это все бесполезно?

Сначала кажется, что нумерация треугольников это шажок в сторону создания системы диофантовых уравнений, которые определяли бы стороны треугольников с целыми сторонами и медианами. Затем эти уравнения можно было бы подставить в формулу Герона и потом попытаться доказать возможность получения или неполучения треугольников с целой площадью. Но, к сожалению, нумерация треугольников абсолютно бесполезна в этом направлении. Все дело в том, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами связана с простыми числами. Сначала это кажется не совсем очевидным, но если следующее тождество является верным

то медиана не может быть целым числом. А это значит, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами наверняка может быть переведена на язык теории чисел, правда не знаю как.

В заключение

Сама идея того, что можно навести какой-никакой порядок в неупорядоченных множествах, очень любопытна. Например, можно попытаться каким-нибудь образом упорядочить матрицы из натуральных чисел, или графы определенного типа. Можно ли извлечь какую-то пользу от такого упорядочивания, это уже другой вопрос.

Видео:Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 3.6. Конечные и бесконечные множестваСкачать

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

A = $$ — множество всех действительных положительных x

B = $$ — множество всех натуральных n, кратных 5

C = $$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Множество A называют подмножеством множества B (A $subseteq$ B), если всякий элемент множества A также является элементом множества B:

$$ A subseteq B iff (a in Bbb A Rightarrow a in Bbb B) $$

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Знак $subseteq$ является аналогом $ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $lt$).

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = , B = , A subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество — является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Булеан конечного множества из n элементов содержит $2^n$ элементов:

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 lt n le 12$.

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = frac$ в данном интервале $-4 le x le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

📺 Видео

Такие разные бесконечности. Счётные и несчётные множества | матан #005 | Борис Трушин !Скачать

Учебник 6кл.Тема: Разность двух конечных множеств.Скачать

9 класс, 2 урок, Множества и операции над нимиСкачать

Пустое множество. Конечные и бесконечные множестваСкачать

Числовые множества, 6 классСкачать

5 Что такое конечное множество?Скачать

Множества. Операции над множествами. 10 класс алгебраСкачать

Множество. Элементы множества. Пустое множествоСкачать

✓ Предел последовательности | матан #006 | Борис ТрушинСкачать

Урок 48. Множество Элементы множества Пустое множество (6 класс)Скачать

Видеоурок "Мощность множеств"Скачать

Множества и операции над множествамиСкачать

Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]Скачать

Теория множеств: способы задания множеств, конечные и бесконечные множестваСкачать

МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА / СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВАСкачать

Что Такое Фракталы? Простое Объяснение!Скачать

5 Конечное множество — на 3 частиСкачать