Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.
Содержание
  1. Доказательство
  2. Доказательство
  3. Доказательство
  4. Доказательство
  5. Доказательство
  6. Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
  7. Многоугольник вписан в окружность если его вершины лежат
  8. Вписанные и описанные многоугольники
  9. Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
  10. Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
  11. Многоугольник вписан в окружность если все его
  12. Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
  13. Вписанные и описанные многоугольники
  14. Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
  15. Описанная и вписанная окружность
  16. теория по математике 📈 планиметрия
  17. Описанная окружность
  18. Вписанная окружность
  19. Вписанный и описанный треугольники
  20. Вписанный и описанный четырехугольники
  21. 📹 Видео

Доказательство

Дано: произвольный Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС.

Доказать: около Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Точка О равноудалена от вершин Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВ = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАDС, Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС, откуда следует Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВ + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАDС + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат(Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАDС + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАDС + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатАВС = 360 0 , тогда Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВ + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBАD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВСDвнешний угол Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатСFD, следовательно, Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBСD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВFD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВFD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD и Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатFDE = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBСD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЕF = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат(Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЕF), следовательно, Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВСDМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBАD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВЕD, тогда Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBАD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBСDМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат(Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВЕD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВЕD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD = 360 0 , тогда Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBАD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBСDМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBАD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBСDМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат180 0 . Но это противоречит условию Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBАD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

По теореме о сумме углов треугольника в Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВСF: Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатС + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВ + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатF = 180 0 , откуда Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатС = 180 0 — ( Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВ + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатF). (2)

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВ = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЕF. (3)

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатF и Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВFD смежные, поэтому Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатF + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВFD = 180 0 , откуда Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатF = 180 0 — Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВFD = 180 0 — Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатС = 180 0 — (Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЕF + 180 0 — Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD) = 180 0 — Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЕF — 180 0 + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат(Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАDМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЕF), следовательно, Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатСМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатА = Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВЕD, тогда Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатА + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатСМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатМногоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат(Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВЕD + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатВАD). Но это противоречит условию Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатА + Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.

Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Теорема.

В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).

Обратная теорема:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Пусть ABCDвписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:

Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .

Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).

Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.

Следствия.

1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Многоугольник вписан в окружность если его вершины лежат

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат
Вписанный многоугольник
Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат
Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.

Видео:9 класс. Правильный многоугольник, вписанный в окружность и описанный около окружностиСкачать

9 класс. Правильный многоугольник, вписанный в окружность и описанный около окружности

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Видео:9 класс. Правильный многоугольник, вписанный в окружность и описанный около окружности. Мерзляк А.Г.Скачать

9 класс. Правильный многоугольник, вписанный в окружность и описанный около окружности. Мерзляк А.Г.

Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.

Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Теорема.

В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).

Обратная теорема:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Пусть ABCDвписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:

Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .

Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).

Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.

Следствия.

1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Многоугольник вписан в окружность если все его

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.

Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Теорема.

В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).

Обратная теорема:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Пусть ABCDвписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:

Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .

Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).

Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.

Следствия.

1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.

Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат
Вписанный многоугольник
Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат
Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Видео:ЕГЭ. Описывающая многоугольник окружность.Скачать

ЕГЭ. Описывающая многоугольник окружность.

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежатУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Многоугольник вписан в окружность если все его вершины лежат

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

📹 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

78. Описанная окружностьСкачать

78. Описанная окружность

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

8 класс. Многоугольник и его элементы. Многоугольник, вписанный в окружность и описанный около нейСкачать

8 класс. Многоугольник и его элементы. Многоугольник, вписанный в окружность и описанный около ней

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Правильный многоугольник в геометрии: примеры решения задачСкачать

Правильный многоугольник в геометрии: примеры решения задач
Поделиться или сохранить к себе: