Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.
За час первый автомобиль проедет на км больше второго. Скорость второго автомобиля на 24 км/ч меньше, чем у первого, и равна 114 — 24 = 90 км/ч.
Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.
Запишем эти данные в таблицу:
| велосипедист |
| мотоциклист |
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.
| велосипедист |
| мотоциклист |
А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:
Решим получившуюся систему.
Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.
Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в .
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт — в . Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:
Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа — в третий, и еще через часа — в четвертый.
Значит, если старт был в , то в четвертый раз стрелки поравняются через часа.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! 🙂
На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:
где — средняя скорость, — общий путь, — общее время.
Если участков пути было два, то
А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.
Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это часа.
Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:
Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:
Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену:
Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: Тогда
Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.
Видео:Урок 89. Движение по окружности (ч.1)Скачать
Конспект урока математики по теме «Решение задач на движение по окружности»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Видео:Кинематика. Решение задач на движение по окружности. Урок 5Скачать
«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ (КОЛЬЦЕВОЙ ТРАССЕ)
1. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным, при этом пройденный путь определяется по формуле:
S = v 
t ,
где S — расстояние, пройденное телом; v — скорость движения тела; t – время движения тела.
Отсюда, v = 
и t = 
.
2. Все величины (расстояние, скорость, время) считаются положительными: S > 0; v > 0; t > 0.
3. Указанные величины должны быть в одной системе единиц.
4. Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно ( v 1 > v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2-му со скоростью v 1 – v 2 .
В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на один круг больше.
В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на два круга больше и т.д.
Задача 1 . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?
Пусть автомобили различаются по цвету. Зеленый автомобиль имеет большую скорость, поэтому, изначально вырвавшись вперед, должен обойти соперника ровно на 1 круг, чтобы догнать его на трассе.
Первый способ (алгебраический)
Пусть х ч – время встречи
Зная, что один круг равен 15 км, составим и решим уравнение:
Значит, первый автомобиль будет опережать второй через 0,75 ч или 45 минут
Второй способ (арифметический).
1) 80 – 60 = 20 (км/ч) скорость вдогонку. С этой скоростью 2-й автомобиль должен преодолеть расстояние в 1 круг (15 км).
2) 15:20 = 
(ч) = 45 (мин).
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Сколько кругов проехал каждый мотоциклист нам не важно. Важно, что синий проехал до точки встречи на половину круга больше, т.е. на 7 км.
Пусть х км/ч – скорость одного мотоциклиста, а t ч – время первой встречи.
Зная, что разница в пройденном пути равна 7км, составим и решим уравнение:
t = 
Значит, мотоциклисты встретятся первый раз, через часа или 20 минут.
Задача 3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Велосипедист был до 1 встречи 40 мин (2/3 ч), мотоциклист 10 мин (1/6ч). А расстояние за это время они проехали равное.
Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста, а у км/ч – скорость велосипедиста.
Зная, что расстояния равны, составим 1-е уравнение: 
Велосипедист и мотоциклист были в пути до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч).
Зная, что мотоциклист проехал на один круг больше, составим 2-е уравнение: 
Получим систему уравнений:
Û 
Û 
Û 
Значит, скорость мотоциклиста 80 км/ч.
Задача 4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
В первый раз минутной стрелке надо пройти на 
круга больше, чтобы догнать минутную стрелку.
Во 2-й раз – еще на 1 круг больше.
В 3-й раз – еще на 1 круг больше.
В 4-й раз – еще на 1 круг больше.
Пусть х ч- время за которое стрелки сделают один оборот.
Зная, что всего минутной стрелке надо пройти на 
круга больше, чем часовой стрелке, составим и решим уравнение.
= 
Значит, стрелки сделают один оборот за 1 час, а 4 оборота за 4 часа или 240 минут.
Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:
Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.
Задачи для самостоятельного решения
1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
2. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
3. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?
4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
6. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
7. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
8. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
9. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.
10. Часы со стрелками показывают 8 часов 30 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
11. Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?
12. Часы со стрелками показывают 6 часов 40 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Видео:Физика - движение по окружностиСкачать
Методы решения задач на движение по окружности
- Главная
- Список секций
- Математика
- Нестандартные задачи на движение
Видео:Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Нестандартные задачи на движение
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Введение
В данной работе рассматривается решение нестандартных задач на движение. Нестандартные задачи — задачи, для которых нет общего алгоритма решения. В школьном курсе математики основное внимание уделяется задачам на движение по прямой. На ОГЭ(задание 22), ЕГЭ(задание B13) и олимпиадах предлагают задачи, которых мало в школьной программе, к примеру, на круговое движение и на движение протяжённых тел. Результаты выпускных экзаменов 2017 года по математике в 9 классах показали, что учащиеся не умеют решать задание 22 (94% не приступают [7, 15с.]). Задание 13 профильного уровня ЕГЭ проверяло умение строить и исследовать простейшие математические модели – решать текстовые задачи на движение. По результатам ЕГЭ 2017 года только 31% выпускников справились с заданием. Не дали ответа 8% участников экзамена, выполнявших это задание[17]. Типичные ошибки связаны в первую очередь с непониманием условия задачи и неумением строить математические модели.
Проанализировав результаты опроса, проведенного среди учащихся 8-11 классов (результаты анкетирования в приложении 1,2) выяснил, что школьники не умеют решать задачи на движение по кругу и на движение протяжённых тел.
Охватить все задачи невозможно, поэтому из всех задач, связанных с движением, выбрали лишь задачи, которые условно можно отнести к следующим группам:
- Задачи на движение по кругу
- Задачи на движение протяжённых тел
Актуальность: Учащиеся 8-11 классов заинтересованы в получении дополнительных знаний, позволяющих решать нестандартные задачи на движение.
Объект исследования: Нестандартные задачи на движение.
Предмет исследования: Группы задач и методы решения задач на движение по кругу и на движение протяжённых тел.
Цель: Исследование методов решения нестандартных задач на движение.
Задачи: ·Проанализировать задачи на движение, предложенные в школьных учебниках и материалах олимпиад.
- Ознакомиться с задачами открытого банка задач ОГЭ (задачи №22) и ЕГЭ (B12) ·Систематизировать задачи по типам.
- Привести примеры и решения задач разных типов, а также комбинированных задач.
- К каждому типу задач подготовить интерактивные модели.
- Составить сборник задач
Гипотеза: Умение решать нестандартные задачи на движение помогает успешно сдать экзамены.
Методы:
- Изучение информационных источников
- Решение задач
- Тестирование учащихся 8-11 классов
I Задачи на круговое движение
Задачи на движение по окружности оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение двух тел, очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения даже в таком относительно трудном случае, как движение по окружности [6]
Задачи на движение по кругу мы разделили по следующим критериям(рис. 1).
Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной точки.
Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте из одной точки со скоростями v1 и v2 (v1 > v 2) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v 2 соответственно ( v1 > v 2 соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v1 — v 2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.[18]
Задача: Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. (рис. 2) [5]
Решение:
Зная, что за 2/3 часа первый автомобиль прошел на круг, то есть на 14 км больше, чем второй, составим уравнение.
Ответ: 59 км/ч [11]
Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек.
Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте из диаметрально противоположных точек со скоростями v1 и v 2 (v1 > v 2) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v 2 соответственно (v1 > v 2 соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v1 и v 2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на половину длинны круга больше.
Задача: Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?(рис. 3)[14]
Решение:
Пусть мотоциклисты находятся в пути одно и то же время, равное t часов. Для того чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы, то есть 14:2=7 км. Поэтому путь, пройденный вторым мотоциклистом, на 7 км больше, чем путь, пройденный первым:
Таким образом, мотоциклисты поравняются через t= часа или через 20 минут. Приведём другое решение
Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.
Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки.
Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при не одновременном старте из одной точки со скоростями v1 и v2 (v1 > v2) Итак, если две точки не одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2 соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v1 — v2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.
Задача: Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.(рис. 4 и 5) [20]
Решение
К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x км/ч, а скорость их сближения — 3x км/час.
C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.
Итак, 3х=60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.
Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки.
Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в противоположных направлениях при одновременном старте из одной точки со скоростями v1 и v2 (v1 > v2) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2 соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v1 + v2
Задача: На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах. (рис. 6 и 7) [19]
Пусть х м/с– скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а у м/с– скорость второй. Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние xt м, а вторая пройдет yt м расстояние.
После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:
Выразим время движения точек до встречи t
По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть
Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:
И находим Y=2,5 откуда x=.
Полная длина круга равна: 70
Ответ: длина окружности 70 м.
II Задачи на движение протяжённых тел
Задачи на движение протяжённых тел оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение двух тел, очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Сумма длин тел часто пройденный путь или его часть. Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения даже в таком относительно трудном случае, как движение протяжённых тел. Задачи на движение протяжённых тел мы разделили на следующие виды (рис. 8)
2.1 Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону
Рассмотрим задачи на движение двух тел, имеющих длину в одну сторону в этом случае скорость сближения равна разности скоростей тел, а пройденный передней точкой догоняющего тела путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки догоняющего тела до задней точки второго, суммы длин тел, конечного расстояния от задней точки первого тела до передней точки второго.
Задача: По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй— длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (рис. 9)[16]
Решение:
600+130+120+800= 1650 м
Расстояние, пройденное носом 2 сухогруза равно: первоначальное расстояние от носа 2 сухогруза до кормы 1(600) + длина 1(130) + длина 2(120) + конечное расстояние от носа 1 до кормы 2(800) = 1650 м
V = 1650 : 11= 150 м/мин =9 км/ч
2.2 Задачи на движение двух протяженных тел навстречу
Рассмотрим задачи на движение двух тел, имеющих длину навстречу в этом случае скорость сближения равна сумме скоростей тел, а пройденный передней точкой одного из телпуть равен сумме первоначального расстояния от передней точки догоняющего тела до передней точки второго, суммы длин тел, конечного расстояния от задней точки первого тела до задней точки второго.
Задача: По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.(рис. 10) [4]
Решение:
65 +35 =100 (км/ч) =100000 (м/ч)
Скорость навстречу друг другу (сумма скоростей при движении навстречу друг другу). Решим задачу с помощью уравнения.
Пусть х (м) – длина товарного поезда,
Тогда S =(х+700) м, t = 36 с.= 36/60 мин.=36/ 3600 ч.=0,01ч.
х +700 =100 000 × 0,01,
Длина товарного поезда = 300м
2.3 Задачи на движение одного протяжённого тела относительно другого неподвижного
Рассмотрим задачи на движение тела, имеющего длину относительно неподвижного тела, имеющего длину. В этом случае путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки движущегося тела до задней точки неподвижного, суммы длин тел и конечного расстояния от задней точки движущегося тела до передней точки неподвижного.
Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах. (рис. 11)[4]
Решение:
Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние
S=1500×1=1500, 1500-800=700 (м). (Минус длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 700 метров).
2.4 Задачи на движение протяжённого тела относительно неподвижной точки
Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 72 секунды. Найдите длину поезда в метрах. (рис. 12)[16]
Решение:
Пройденное расстояние равняется длине поезда.
t = 72 сек. = 0.02 ч.
2.5 Задачи на движение протяжённого тела и точки навстречу
Рассмотрим задачи на движение протяжённого тела и тела не имеющего длинны навстречу. В этом случае скорость сближения равна сумме скоростей тел, а пройденный передней точкой протяжённого тела путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки протяжённого тела до второго, длины протяжённого тела, конечного расстояния от задней точки первого тела до второго.
Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (рис. 13)[16]
Решение:
Будем считать, что пешеход неподвижен, а поезд двигается со скоростью v (м/мин), равной сумме скоростей поезда и пешехода. Пешеход не имеет «протяженной» длины (если бы это была колонна солдат, то мы бы учли это).
За 30 секунд со скоростью, равной разности скоростей поезда и пешехода, поезд пройдет расстояние, равное своей длине.
V=60 км/ч=1000 м/мин
S= 1000 х = 500 м
Задачи на движение протяжённого тела и точки в одну сторону
Рассмотрим задачи на движение протяжённого тела и тела не имеющего длинны навстречу. В этом случае скорость сближения равна разности скоростей тел, а пройденный передней точкой протяжённого тела путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки протяжённого тела до второго, длинны протяжённого тела, конечного расстояния от задней точки первого тела до второго.
Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.(рис. 14) [14]
Решение:
Скорость сближения пешехода и поезда равна 86 − 6 = 80 км/ч. Пройденное расстояние равняется длине поезда. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна 400 м.
Заключение
В процессе работы над темой была реализована цель и поставленные задачи и можно сделать следующие выводы:
Изучив дополнительную литературу и электронные ресурсы по данной теме, я узнал какого типа задачи по данной теме встречаются на олимпиадах и экзаменах и рассмотрел методы их решения.
В процессе знакомства с задачами открытого банка задач ЕГЭ я познакомился с многими интересными задачами, но остановился лишь на нестандартных задачах на движение.
Охватить все задачи по данной теме невозможно, поэтому я из всех нестандартных задач на движение, мне необходимо было отобрать задачи и отнести их к той или иной группе задач что заставило анализировать условие задачи, сопоставлять, обобщать и делать определенные выводы, что в дальнейшем пригодится в жизни.
В результате проделанной работы я научился решать задачи данных типов, и провел несколько занятий для желающих, что безусловно поможет при сдаче экзамена и выполнении олимпиадных задач.
В ходе проделанной работы был составлен сборник задач, в котором представлены подборки задач каждого типа с ответами. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 8-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения задач на движение как на уроке, так и внеклассных занятиях.
Литература
- ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2017. — 256 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
- ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Забелин, П. И. Захаров, С. Л. Крупецкий, В. Б. Некрасов, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Е. А. Семенко, А. В. Семёнов, В. А. Смирнов, Н. А. Сопрунова, А. В. Хачатурян, И. А. Хованская, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль; под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2016. – 686, [2] с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)
- Единый государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие. / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров; под ред. И. В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. — М. : Интелект-Центр, 2017. — 192 с.
- Инфоурок — ведущий образователный портал России [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://infourok.ru/metodicheskie-rekomendacii-pri-podgotovke-k-ege-zadachi-na-dvizhenie-protyazhennih-tel-1501044.html, свободный. – Загл. с экрана.
- Ларин Александр Александрович — Математика. Репетитор. [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://alexlarin.net/, свободный. – Загл. с экрана.
- Математичка — блог учителя математики [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://match-teacher.blogspot.ru/p/blog-page_16.html, свободный. – Загл. с экрана.
- Методические рекомендации / С. Н. Марков, канд. физ.- мат. наук, доцент; Л. А. Осипенко, канд. физ. — мат. наук, доцент; Е. С. Лапшина, канд. физ. — мат. наук, доцент; – Иркутск: ГАУ ДПО ИРО, 2017. – 23с.
- ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2018. — 240 с.
- Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ — М.: Интелект-Центр, 2010. — 80 с.
- Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ. — 2-ое изд., доп. расшир. — М.: Интелект-Центр, 2012. — 96с.
- Павел Бердов — Репетитор по математике [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://www.berdov.com/ege/text_problem/dvijenie-navstrechu/, свободный. – Загл. с экрана.
- Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ — экзамены на отлично — портал [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://worksbase.ru/, свободный. — Заглавие с экрана.
- Решим всё — поисковая-информационная система [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://reshimvse.com/zadacha.php?id=11407, свободный. — Заглавие с экрана.
- Решу ОГЭ — образовательный портал для подготовки к экзаминам [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://ege.sdamgia.ru/test?theme=85, свободный. – Загл. с экрана.
- Справочник по математике — свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.maths.yfa1.ru, свободный. — Заглавие с экрана.
- Учительская газета — независимое педагогическое издание [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://www.ug.ru/method_article/519, свободный. – Загл. с экрана.
- ФИПИ — Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «Федеральный институт педагогических измерений» [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://www.fipi.ru/, свободный. – Загл. с экрана.
- Lonskaya’s Blog — Just another WordPress.com weblog [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://lonskaya.wordpress.com/, свободный. – Загл. с экрана.
- TutorOnline — Учитесь на Отлично [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://www.tutoronline.ru/blog/zadachi-na-dvizhenie-po-okruzhnosti, свободный. – Загл. с экрана.
- matematikaege.ru — Математика подготовка к ЕГЭ [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://matematikaege.ru/dvihzenie/99599-iz-punkta-a-krugovoj-trassy-vyexal.html, свободный. – Загл. с экрана.
1.Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
2.Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? 3.Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
4.На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.
📽️ Видео
Задачи на движение по окружности. ЕГЭ по математике 2020Скачать
Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать
Кинематика. Движение по окружности. Урок 4Скачать
Движение по окружности | задачи ЕГЭ по профильной математикеСкачать
Урок 28. Решение задач на РУД (продолжение)Скачать
Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать
движение по кругу | математика ЕГЭ | ВебиумСкачать
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ | ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ | +1 БАЛЛ ЗА 5 МИНУТ |Скачать
Дочь Путина дала большое интервьюСкачать
Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать
Физика | Равномерное движение по окружностиСкачать
Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать
Олимпиадная физика, кинематика: решение задачи на движение по окружности с ускорением | 9–11 классСкачать
ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!Скачать
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ. Задачи на движение по окружностиСкачать
Математика это не ИсламСкачать
