Метод наложения для треугольника

Урок геометрии в 7-м классе по теме «Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними»

Разделы: Математика

Цели:

  • Обучающая: учащиеся формулируют и доказывают первый признак равенства треугольников;
  • Развивающая: учащиеся учатся применять признак при решении задач;
  • Воспитательная: учащиеся осознают важность открытого признака.

Структура урока:

  1. Мотивационно – ориентировочный этап.
    1. Приветствие.
    2. Контроль настроения.
    3. Актуализация знаний (Фронтальный опрос).
    4. Постановка учебной задачи.
  2. Исполнительский этап.
    1. Нахождение способа доказательства теоремы.
    2. Проведение доказательства теоремы.
  3. Рефлексивно – оценочный этап.
    1. Решение задач.
    2. Взаимооценка.
    3. Домашнее задание.
    4. Контроль настроения.

Оборудование: два треугольника из бумаги, линейка, проектор, компьютер с программой Microsoft Office Power Point, презентация.

Ход урока

І. Мотивационно-ориентировочный этап.

  1. Приветствие.
  2. Контроль настроения. (С помощью сигнальных карточек)
  3. Актуализация знаний.

ІІІ Рефлексивно – оценочный этап.

Видео:Метод наложения. Найти токи в цепи. #2Скачать

Метод наложения. Найти токи в цепи.  #2

Признаки равенства треугольников

Метод наложения для треугольника

О чем эта статья:

Видео:Электротехника (ТОЭ). Лекция 8. Метод наложения токов | Решение задачСкачать

Электротехника (ТОЭ). Лекция 8. Метод наложения токов | Решение задач

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Метод наложения для треугольника

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

Видео:Метод наложенияСкачать

Метод наложения

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Метод наложения для треугольника

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Видео:Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемыСкачать

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемы

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Метод наложения для треугольника

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

  1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
    Метод наложения для треугольника
  2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
    Метод наложения для треугольника
  3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
    Метод наложения для треугольника
  4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
    Метод наложения для треугольника
  5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
    Метод наложения для треугольника

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Видео:Олимпиадная задача по ТОЭ #2. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ│Постоянный токСкачать

Олимпиадная задача по ТОЭ #2. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ│Постоянный ток

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Действия учителяДействия учащихся
— Какая фигура называется треугольником?— Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками, называется треугольником.
— Какие треугольники называются равными?— Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
— Как установить равенство двух треугольников?— Наложить один треугольник на другой, если они совместятся, то треугольники равны. Можно сравнить все стороны и углы одного треугольника со сторонами и углами другого.
— Все эти способы возможны, но они не всегда удобны, громоздки. А нет ли другого способа доказательства равенства двух треугольников?— .
— Оказывается, равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а лишь сравнивая некоторые элементы этих фигур.
  1. Постановка учебной задачи.
— Попробуем решить практическую задачу. Пусть надо измерить расстояние на местности от пункта А до пункта В, между которыми расположено озеро, поэтому с мерной лентой по прямой пройти нельзя.

Метод наложения для треугольника

— На практике, для решения этой задачи поступают так:
Выбирают некоторую точку С так, чтобы расстояние от точки С до точек А и В можно было измерить мерной лентой. Затем, на прямой АС отмечают точку К так, чтобы отрезок АС = СК, а на прямой ВС отмечают точку М так, чтобы отрезок ВС = СМ. Тогда на местности можно измерить расстояние МК, при этом утверждают, что оно равно искомому расстоянию между пунктами А и В.

— Почему можно утверждать, что МК = АВ?
Когда можно найти другие равные элементы в треугольниках?
— Когда треугольники равны.

Метод наложения для треугольника

— Вероятно, ∆ АВС = ∆ МКС?

— А каким свойством обладают равные треугольники?— В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов, лежат равные стороны.
— Мы пока не знаем, равны наши треугольники или нет, ∆ АВС = ∆ МКС? Перечислите все равные элементы в этих треугольниках.

Метод наложения для треугольника

АС = СК, ВС = СМ – по построению, ∠ АСВ = ∠ МСК как вертикальные.
— Итак, нам нужно установить равенство сторон АВ и МК, а равенство сторон следует из равенства треугольников. То есть, если мы докажем равенство треугольников, то равенство сторон будет доказано. Какова же цель урока?— Доказать равенство треугольников.
— Используя равенства каких элементов?— Двух сторон и угла между ними.
— Сформулируйте цель урока.
— Попробуем сформулировать утверждение, почему треугольники равны, по каким элементам?— Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
— Данное утверждение называется теоремой.
Теорема – утверждение, которое необходимо доказать, а сами рассуждения называют доказательством. Сформулированную теорему называют первым признаком равенства треугольников или признаком равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
(С этого этапа каждое обоснование сопровождается слайдом с презентации (приложение 1))
— Запишем в тетрадях тему. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
— Запишем формулировку теоремы.

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

— Теорему можно назвать задачей, в которой есть условие, (то, что дано) и заключение, то, что необходимо доказать.

— В теореме, начиная со слова если до слова то является условием теоремы. Прочитайте условие теоремы.— Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
— Все, что записано после слова то, называют заключением. Прочитайте заключение.— Такие треугольники равны.
— Запишем в тетрадях:
Дано:
— О каких фигурах идет речь?
— Запишем в дано: ∆ АВС и ∆ А1В1С1.
— О треугольниках.
— О равенстве каких элементов говорится в условии?— О равенстве двух сторон и угла между этими сторонами.
— Выберем эти стороны и найдем угол между этими сторонами.
АВ = А1В1, АС = А1С1, ∠ А = ∠ А1
— Что нужно доказать?— Что ∆ АВС = ∆ А1В1С1.
— Запишем:

Доказать: ∆ АВС =∆ А1В1С1
— Сделаем чертеж как на экране.

Метод наложения для треугольника

ІІ Исполнительский этап.

  1. Нахождение способа доказательства теоремы.
— Каким способом будем доказывать равенство треугольников?— Методом наложения.
— Запишем:

Доказательство (метод наложения)

— С чего начнем проводить доказательство? С наложения каких элементов?
(Если учащиеся говорят про стороны, то с помощью заготовленных треугольников можно показать, что не всегда такое наложение приведет к совпадению всех элементов треугольника, тогда остается только один вариант, когда доказательство начинаем проводить с наложения равных углов)
— Посмотрим на экран, каким образом происходит наложение.

  1. Проведение доказательства теоремы.
— Запишем:
1. Т.к. ∠ А = ∠ А1, то ∆ АВС можно наложить на ∆ А1В1С1 так, что луч АВ совместится с лучом А1В1 и луч АС совместится с лучом А1С1.
— Какие элементы треугольника будем потом сравнивать? Что еще дано в условии?АВ = А1В1
— Что произойдет с точками В и В1?— Эти точки совпадут.
— Посмотрим на экран, запишем:
2. Т.к. АВ = А1В1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 (точка В совместится с точкой В1).
— О какой стороне еще говорится в условии?АC = А1C1
— Сделайте вывод о точках С и С1.
— Посмотрим на экран, действительно ли совпадут эти точки?
— Эти точки совпадут.
— Ваше утверждение верно, запишем:
3. Т.к. АC = А1C1, то сторона АС совместится со стороной А1C1 (точка С совместится с точкой С1).
— Что произошло с концами отрезков ВС и В1С1?— Концы отрезков ВС и В1С1 совпали.
— Что теперь можно сказать про отрезки ВС и В1С1?ВС = В1С1
— Правильно, запишем:
4. Т.к. концы отрезков ВС и В1С1 совместились, то сторона ВС совместится со стороной В1С1.
— Что произошло с ∆ АВС и ∆ А1В1С1?— Треугольники совпали, значит они равны.
— Молодцы, запишем:
5. ∆ АВС совместился с ∆ А1В1С1, значит ∆ АВС = ∆ А1В1С1.
Метод наложения для треугольника

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла Bb, сторона напротив угла Cc. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Метод наложения для треугольника

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:

Метод наложения для треугольника

Видео:Метод наложенияСкачать

Метод наложения

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Метод наложения для треугольника

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, =A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что Метод наложения для треугольника.

Видео:Расчет электрических цепей. Метод наложенияСкачать

Расчет электрических цепей. Метод наложения

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Метод наложения для треугольника

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что Метод наложения для треугольника.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Метод наложения для треугольника

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что Метод наложения для треугольника. Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.

Метод наложения для треугольника

Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Метод наложения для треугольникаМетод наложения для треугольника.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников Метод наложения для треугольника. Теорема доказана.

Метод наложения для треугольника

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников Метод наложения для треугольника. Теорема доказана.

Метод наложения для треугольника

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и Метод наложения для треугольникаи, следовательно:

Метод наложения для треугольникаМетод наложения для треугольника.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 Метод наложения для треугольникаи по первому признаку равенства треугольников Метод наложения для треугольника. Теорема доказана.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Метод наложения для треугольника

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Метод наложения для треугольника

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

📽️ Видео

Метод наложения токовСкачать

Метод наложения токов

Лекция 020-7. Принцип наложения и метод наложенияСкачать

Лекция 020-7. Принцип наложения и метод наложения

Метод наложенияСкачать

Метод наложения

Метод контурных токов - определение токов. ЭлектротехникаСкачать

Метод контурных токов - определение токов. Электротехника

РГУПС. (ТОЭ) 7 Постоянный ток. Принцип наложения. Метод наложения.Скачать

РГУПС. (ТОЭ) 7 Постоянный ток. Принцип наложения. Метод наложения.

Метод наложения. Часть 1Скачать

Метод наложения. Часть 1

Построение натуральной величины треугольника методом вращенияСкачать

Построение натуральной величины треугольника методом вращения

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольника

Расчет электрической цепи постоянного тока методом наложения токовСкачать

Расчет электрической цепи постоянного тока методом наложения токов

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

2-3. Метод наложения, метод комплексных амплитудСкачать

2-3. Метод наложения, метод комплексных амплитуд
Поделиться или сохранить к себе: