Есть 3 окружности с общим центром

Есть три различные окружности с общим центром. Известно, что радиус каждой следующей окружности отличается от радиуса предыдущей на 2 см. Радиус одной из окружностей равен 3 см.
Содержание
  1. Ваш ответ
  2. решение вопроса
  3. Похожие вопросы
  4. ЗАДАЧА : Есть три различные окружности с общим центром ?
  5. 1. Начертите две окружности с общим центром, такие, что радиус первой окружности равен 4 см и это составляет 4 / 5 радиуса второй окружности?
  6. Есть три окружности с общим центром?
  7. Начертите две окружности с общим центром если известно что радиус первой?
  8. 40 Баллов?
  9. Есть три окружности с общим центром?
  10. Есть три окружности с общим центром ?
  11. Начертите две окружности с общим центром если известно что радиус первой окружности равен 3 см 5 мм а радиус второго составляет 5 / 7 радиуса первой окружности?
  12. Постройте окружность с центром в точке Р, проходящую через точку Т ?
  13. Одна из двух равных окружностей проходит через центр другой окружности?
  14. Построить три окружности с общим центром так чтобы радиус первой окружности был равен двум сантиметрам радиус 2 на 20 метра больше чем радиус первой окружности радиуса 3 на 11 метра меньше чем радиус ?
  15. Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения
  16. Определение окружности и круга
  17. Определение окружности и ее элементов
  18. Что такое окружность и круг
  19. Пример №3
  20. Окружность и треугольник
  21. Описанная окружность
  22. Вписанная окружность
  23. Пример №4
  24. Пример №5
  25. Геометрические построения
  26. Пример №6
  27. Пример №7
  28. Пример №8
  29. Пример №9
  30. Пример №10
  31. Пример №11
  32. Пример №12
  33. Пример №13
  34. Задачи на построение
  35. Пример №14
  36. Пример №15
  37. Пример №16
  38. Пример №17
  39. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде
  40. Касательная к окружности
  41. Признак касательной
  42. Свойство отрезков касательных
  43. Касание двух окружностей
  44. Задачи на построение
  45. Основные задачи на построение
  46. Решение задач на построение
  47. Пример №18
  48. Геометрическое место точек
  49. Основные теоремы о ГМТ
  50. Метод геометрических мест
  51. Пример №19
  52. Описанная и вписанная окружности треугольника
  53. Окружность, вписанная в треугольник
  54. Пример №20
  55. Задачи, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки
  56. Циркуль или линейка
  57. Об аксиомах геометрии
  58. Метод вспомогательного треугольника
  59. Пример №21
  60. Пример №22
  61. Пример №23
  62. Реальная геометрия
  63. Справочный материал по окружности и кругу
  64. Что называют окружностью
  65. Окружность, вписанная в треугольник
  66. Окружность, описанная около треугольника
  67. Геометрическое место точек в окружности и круге
  68. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
  69. 🌟 Видео

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Ваш ответ

Видео:№1124. На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4.Скачать

№1124. На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4.

решение вопроса

Видео:Квадраты с общим центром | Комбинаторика | Физтех-2017. Математика | Борис Трушин |Скачать

Квадраты с общим центром | Комбинаторика | Физтех-2017. Математика | Борис Трушин |

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,909
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Теория Струн: В поисках смысла ВселеннойСкачать

Теория Струн: В поисках смысла Вселенной

ЗАДАЧА : Есть три различные окружности с общим центром ?

Математика | 1 — 4 классы

ЗАДАЧА : Есть три различные окружности с общим центром .

Известно , что радиус каждой следующей окружности отличается от радиуса предыдущей на 2 см .

Радиус одной из окружностей равен 3 см .

Чему равны радиусы двух других ?

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ .

Есть 3 окружности с общим центром

Может быть : 1см, 3см, 5 см

может быть : 3 см, 5 см, 7 см.

Два варианта решения этой задачи.

Чертежик немного кривой.

Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:№1120. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусамиСкачать

№1120. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами

1. Начертите две окружности с общим центром, такие, что радиус первой окружности равен 4 см и это составляет 4 / 5 радиуса второй окружности?

1. Начертите две окружности с общим центром, такие, что радиус первой окружности равен 4 см и это составляет 4 / 5 радиуса второй окружности.

2. Начертите две окружности с общим центром , если известно , что радиус первой окружности равен 3 см 5 мм, а радиус второй составляет 5 / 7 радиуса первой окружности.

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Есть три окружности с общим центром?

Есть три окружности с общим центром.

Что радиус каждой следующей окружности в два раза больше радиуса предыдущей.

Радиус одной окружности равен 4 см.

Чему равны радиусы двух других.

Найдите разные решения этой задачи.

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Начертите две окружности с общим центром если известно что радиус первой?

Начертите две окружности с общим центром если известно что радиус первой.

Окружности равен 3см.

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

40 Баллов?

Шесть окружностей имеют общий центр.

Радиус меньшей окружности равен 1 см, а радиус каждой следующей окружности на 5 мм больше предыдущего.

Определите, образуют ли арифметическую прогрессию : 1) длины радиусов ; 2) длины окружностей ; 3) площади кругов.

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Есть три окружности с общим центром?

Есть три окружности с общим центром.

Известно, что радиус каждой следующей окружности в два раза больше радиуса предыдущей.

Радиус одной из окружностей равен 4 см.

Чему равны радиусы двух других?

Найдите разные решения этой задачи.

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.Скачать

Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.

Есть три окружности с общим центром ?

Есть три окружности с общим центром .

Известно что радиус каждой следующей окружности в два раза больше радиуса предыдущей Радиус одной из окружности равен 4см Чему равны радиусы двух других?

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Найти центр кругаСкачать

Найти центр круга

Начертите две окружности с общим центром если известно что радиус первой окружности равен 3 см 5 мм а радиус второго составляет 5 / 7 радиуса первой окружности?

Начертите две окружности с общим центром если известно что радиус первой окружности равен 3 см 5 мм а радиус второго составляет 5 / 7 радиуса первой окружности.

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Как Солнечная система движется по галактике?Скачать

Как Солнечная система движется по галактике?

Постройте окружность с центром в точке Р, проходящую через точку Т ?

Постройте окружность с центром в точке Р, проходящую через точку Т .

Проведите радиус этой окружности.

Чему равен радиус окружности?

Чему равен диаметр окружности?

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Одна из двух равных окружностей проходит через центр другой окружности?

Одна из двух равных окружностей проходит через центр другой окружности.

Вычисли длину общей хорды, если радиус окружности равен 20 м.

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Построить три окружности с общим центром так чтобы радиус первой окружности был равен двум сантиметрам радиус 2 на 20 метра больше чем радиус первой окружности радиуса 3 на 11 метра меньше чем радиус ?

Построить три окружности с общим центром так чтобы радиус первой окружности был равен двум сантиметрам радиус 2 на 20 метра больше чем радиус первой окружности радиуса 3 на 11 метра меньше чем радиус 2.

Вы перешли к вопросу ЗАДАЧА : Есть три различные окружности с общим центром ?. Он относится к категории Математика, для 1 — 4 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Есть 3 окружности с общим центром

1)2 / 5 + 1, 83 = 0, 4 + 1, 83 = 2, 23 2)9, 8 * 3 / 10 = 9, 8 * 0, 3 = 2, 94 1) (1 3 / 5 + 1, 8) * 1 / 2 = (1, 6 + 1, 8) * 0, 5 = 3, 4 * 0, 5 = 1, 7 2)(1, 25 + 1 / 6) * 2, 4 = (1целая1 / 4 + 1 / 6) * 2 целых 2 / 5 = (1целая3 / 12 + 2 / 12) * 2целых2 ..

Есть 3 окружности с общим центром

Эм. извените с чем ? Я хз.

Есть 3 окружности с общим центром

Номер 2 : а + 3 : 442 ; 312 ; 522 ; 892 ; 1002 номер 4 : 1) 81 : 9 — 92 : 23 = Как мы знаем, в таких уравнениях всегда сначала делим или умножаем (зависит от того, если там деление, или умножение), а потом прибавляем или отнимаем (зависит так же от т..

Есть 3 окружности с общим центром

Слагаемые : 500000000 + 50000000 + 5000000 + 700000 + 70000 + 7000 = 555777000.

Есть 3 окружности с общим центром

555777000 = 500000000 + 50000000 + 5000000 + 700000 + 70000 + 7000.

Есть 3 окружности с общим центром

От перестановки множителей произведение не меняется! Потому что : 5 * 2 = 10 2 * 5 = 10 попробуй поменять, то же самое будет).

Есть 3 окружности с общим центром

От перестановки множетелей произведение не меняется.

Есть 3 окружности с общим центром

Что бы решить, надо перевести в одну единицу измерения : 1) 391682 мин + 2228мин * 63 = 532046 мин = 8867 ч 26 мин2) 51009 кг * 53 — 685 кг * 84 = 2703477 — 57540 = 2645937 кг = 2645 т 9 ц 37 кгИ дальше в том же духе.

Есть 3 окружности с общим центром

Часть от целого находится умножением. 184 * 1 / 2 = 184 : 2 = 92 12 / 5 * 500 = 500 : 5 * 12 = 100 * 12 = 1200 3 / 2 * 5 / 8 = (3 * 5) / (2 * 8) = 15 / 16 7 / 5 * 2 / 3 = 14 / 15 8 * 5 1 / 3 = 8 * 16 / 3 = 128 / 3 = 42 2 / 3 1 1 / 4 * 5 / 8 = 5 / 4 ..

Есть 3 окружности с общим центром

Число : АБ. 10А + Б = 2АБ Такая комбинация А и Б всего одна : А = 3, Б = 6. Ответ : 36.

Видео:Быстро и легко определяем центр любой окружностиСкачать

Быстро и легко определяем центр любой окружности

Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.

Раньше вы знакомились с основными геометрическими фигурами, устанавливали особенности этих фигур и их взаимное расположение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным особенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе.

Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их решения.

Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической ценности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности построенных фигур.

Окружность и круг:

Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром окружности.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности (или длина этого отрезка).

Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности.

Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками.

Есть 3 окружности с общим центром

На рисунке 48 точка О — центр, отрезок ОС — радиус окружности. Радиус обозначают буквой R (или Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

На рисунке 49 изображены: хорда ЕН, дуга КМ (обозначается: Есть 3 окружности с общим центром), диаметр АВ. Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметры окружности равны между собой. Диаметр АВ состоит из радиусов OA и ОВ, откуда Есть 3 окружности с общим центромДиаметр обозначают буквой D (или d). Тогда Есть 3 окружности с общим центром

Любые две точки окружности разбивают ее на две дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Эти дуги так и называются — дополнительными. Чтобы различать такие дуги, их иногда обозначают тремя буквами. На рисунке 49 дуги АКМ и АНМ — дополнительные.

Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Есть 3 окружности с общим центром

Точки окружности также принадлежат кругу (рис. 50). Поэтому центр, радиус, хорда и диаметр у круга те же, что и у его окружности.

Часть круга, заключенная между двумя радиусами, называется сектором. Часть круга, заключенная между дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги, называется сегментом (рис. 51). Два радиуса разбивают круг на два сектора, хорда разбивает круг на два сегмента.

Есть 3 окружности с общим центром

Полуокружностью называется дуга окружности, концы которой являются концами диаметра. Полукругом называется часть круга, ограниченная полуокружностью и диаметром, соединяющим концы полуокружности. На рисунке 49 дуга АКВ — полуокружность, сегмент АКВ — полукруг.

Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. На рисунке 51 Есть 3 окружности с общим центром— центральный угол.

Окружности (круги) равны, если равны их радиусы.

Две окружности могут не иметь общих точек, могут пересекаться в двух точках или касаться друг друга в одной точке. Окружности разного радиуса с общим центром называются концентрическими. Часть плоскости между двумя концентрическими окружностями называется кольцом (рис. 52).

Есть 3 окружности с общим центром

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Определение окружности и круга

Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра окружности.

Круг — это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.

Размеры окружности и круга определяются их радиусом — отрезком, который соединяет центр с точкой на окружности (рис. 3).

Есть 3 окружности с общим центром

В математике «окружность» и «круг» — два различных, хотя и связанных между собой, понятия. Окружность, например, является моделью обруча, а круг — моделью крышки люка.
Есть 3 окружности с общим центром

Определение окружности и ее элементов

Пусть на плоскости отмечена точка О. Очевидно, что от точки О можно отложить бесконечное множество отрезков длиной R (рис. 162). Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса математики. Определение Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра. Определение Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр. Иначе говоря, круг состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного. На рисунке 163 заштрихованная часть плоскости — круг, ограниченный окружностью с тем же центром. Центр окружности и круга является точкой круга, но не является точкой окружности.

Есть 3 окружности с общим центром

Определение Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 Есть 3 окружности с общим центром— радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Есть 3 окружности с общим центром

Радиус — от латинского «радиус» — луч, спица

Хорда — от греческого «хорда» — струна, тетива

Диаметр — от греческого «диа» — насквозь и «метрео» — измеряющий насквозь; другое значение этого слова — поперечник

Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 Есть 3 окружности с общим центром— радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Определение:

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности.

На рисунке 164 изображены две хорды окружности, одна из которых является ее диаметром. Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d = 2R.

Есть 3 окружности с общим центром

Построение окружности выполняют с помощью циркуля.

Видео:✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис ТрушинСкачать

✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис Трушин

Что такое окружность и круг

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудален ных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называют ради усом. Отрезок, соединяющий две против вольные точки окружности, — хорда окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр (рис. 200). Каждый диаметр окружности состоит’ из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше длины диаметра, (Почему?)

Есть 3 окружности с общим центром

Окружность на бумаге описывают МА и MB — перпендикуляры на ОА и ОВ (см. рис. 216), то Есть 3 окружности с общим центром(по гипотенузе и острому углу). Поэтом МА = MB, следовательно, точка М равноудалена от сторон данного угла.

Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Здесь имеются в виду углы меньше развернутого.

Верно ли, что геометрическим местом точек, равноудален-ных от сторон угла, является биссектриса этого угла? Нет. Когда в планиметрии говорят о геометрическом месте точек, не уточняя, о каких именно точках идет речь, то имеют в виду точки плоскости, которой принадлежит данная фигура. При таком условии геометрическим местом точек, равноудаленных от ф сторон угла, является объединение биссектрисы I данного угле g и всех точек некоего другого угла, показанного на рисунке 217,

Есть 3 окружности с общим центром

Ведь каждая точка угла КОР также равноудалена от сторон донного угла АО В (речь идет об углах меньше развернутого).

Когда мы говорим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрезка, то мы имеем в виду, что речь идет о геометрическом месте точек плоскости, на которой лежит отрезок.

А геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является некая плоскость (мал. 218).

Подумайте, как расположена эта плоскость относительно денного отрезка.

Геометрические места точек пространства изучают в старших классах.

Пример №3

Докажите, что серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются.

Решение:

Пусть n и m— серединные перпендикуляры сторон ВС и АВ треугольника (рис. 219). Докажем, что они не могут быть параллельны. Доказывать будем от противного. Допустим, что n || m. Тогда прямая, перпендикулярная к п, должна быть перпендикулярной и к m, то есть Есть 3 окружности с общим центром. Но по условию Есть 3 окружности с общим центромА две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Таким образом, из допущения, что п || т, следует параллельность сторон АВ и ВС треугольника. А этого не может быть. Поэтому прямые ли т не могут быть параллельными. Они пересекаются.

Есть 3 окружности с общим центром

Окружность и треугольник

Окружность и треугольник могут не иметь общих точек или иметь 1, 2, 3, 4, 5, 6 общих точек (соответствующие рисунки выполните самостоятельно). Заслуживаем внимания случаи, когда окружность проходит через все три вершины треугольника или когда она касается всех и сторон треугольника. Рассмотрим такие случаи подробнее.

Описанная окружность

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника (рис. 223).

Есть 3 окружности с общим центром

Теорема: Около каждого треугольника можно описать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника.

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 224). Найдем точку, равноудаленную от вершин А, В и С.’ Метрическое место точек, равноудаленных от А и В, — серединный перпендикуляр m отрезка АВ; геометрическое место точек, равноудаленна от В и С, — серединный перпендикуляр n отрезка ВС. Эти два серединных перпендикуляра не могут быть параллельными, они пересекаются в точке О. А она равноудалена от Н и С. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, поэтому О — центр окружности, описанной около ABC.

Для каждого отрезка АВ существует серединный перпендикуляр, и только один, а для ВС — серединный перпендикуляр и только один. И точка их пересечения существует всегда, только одна. Таким образом, около каждого треугольника можно описать одну окружность, и только одну. Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

  • Серединные перпендикуляры всех трех сторон произвольного треугольника проходят через одну и ту же точку.
  • Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и только одну.

Из доказанной теоремы следует cnocof построения окружности, описанной около треугольника. Чтобы описать около треугольника ABC окружность, достаточно:

  1. построить серединные перпендикуляры двух сторон данного треугольника;
  2. определить точку О, в которой эти серединные перпендикуляры пересекаются;
  3. ) из центра О провести окружность радиуса ОА.

Центр окружности, описанной около треугольника, может лежать во внутренней или внешней области данного треугольника либо на его сторон (рис. 225).

Есть 3 окружности с общим центром

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в треугольник если она касается всех сторон треугольника (рис. 226). Центр окружности, вписанной в треугольник, лежим’ и внутренней области этого треугольник.

Есть 3 окружности с общим центром

Теорема: В каждый треугольник можно вписан только одну окружность. Ее центром является точка пересечения двух биссектрис треугольника.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Определим точи О, равноудаленную от всех его сторон (рис. 227). Геометрическое место точек, лежащих внутри угла А и равноудаленных второй АВ и АС, — биссектриса l угла А. Гtjметрическое место точек, равноудаленных от сторон АВ и ВС и лежащих внутри угла В, — биссектриса t угла B. Эти две биссектрисы обязательно Пересекаются (докажите это!). Точка U, в которой пересекаются биссектрисы l и t, равноудалена от всех трех сторон данного треугольника. Следовательно, точка О — центр окружности, Вписанной в треугольник АВС. Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, вписанной в треугольник. Чтобы вписать в данный треугольник окружность, достаточно:

  1. провести две его биссектрисы;
  2. из точки их пересечения О опустить перпендикуляр OL на произвольную сторону треугольника;
  3. из центра О радиуса OL описать окружность. Она касается каждой стороны треугольника, следовательно, является вписанной в данный треугольник.

Теорема: Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы.

Пусть ABC — произвольный треугольник с прямым углом С, t— серединный перпендикуляр катета АС, пересекающий гипотенузу АВ в точке О (рис. 228).

Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре отрезка АС, то Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром. Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

точка О—середина гипотенузы АВ, равноудаленная от всех вершин треугольника. Таким образом, окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины данного треугольника.

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.

Теорема: Из любой точки окружности ее Диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом.

Доказательство:

Пусть АВ — произвольный диаметр окружности с центром О, а С— произвольная точка окружности, отличная от А и В (рис. 229). Покажем, чтоЕсть 3 окружности с общим центромПосколькуЕсть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

Геометрическим местом точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, является окружность диаметра АВ. На самом деле этому ГМТ точки А и В не принадлежат. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

Пример №4

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 см.

Решение:

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является его гипотенузой. Радиус вдвое меньше: 3 см.

Пример №5

Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и Ь и гипотенузой с, равен a + b — c.

Решение:

Пусть в Есть 3 окружности с общим центромугол С прямой, а К, Р, Т — точки касания вписанной в треугольник окружности (рис. 230). Поскольку АР =АТ и ВК = ВТ, то АС + ВС — АВ = PC + СК = 2r, или 2r = a + b- с.

Есть 3 окружности с общим центром

Геометрические построения

Пользуясь линейкой’ и циркулем, моле но выполнить много геометрических построений, то есть начертить геометрические фигуры. Рассмотрим сначала, как выполняются самые простые геометрические построения.

Пример №6

Постройте треугольник по данным сторонам.

Решение:

Пусть даны три отрезки а, b и с (рис. 232). Нужно построить, треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. С помощью линейки проводим произвольную прямую, обозначаем на ней произвольную точку В и циркулем откладываем на этой прямой отрезок ВС = а. Раствором циркуля, равным с описываем дугу окружности с центром В. С той же стороны от прямой СВ описываем дугу окружности радиуса b с центром С. Точку пересечения А этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить, так как его стороны ВС, АС и АВ равны данным отрезкам.

Есть 3 окружности с общим центром

Если построенные дуги не пересекаются, требуемый треугольник построить невозможно. Это бывшие в том случае, когда один из данных отрезков больше суммы двух других или равен их сумме.

Пример №7

Постройте угол, равный данному углу.

Решение:

Пусть дан угол АОВ и требуется построить угол КРТ, равный Есть 3 окружности с общим центром(рис. 233). Проводим луч РТ и дуг* равных радиусов с центрами О и Р. Пусть одна из этих д пересекает стороны угла АОВ в точках А и В, а другая луч РТ в точке Т. Дальше раствором циркуля, равным А/ описываем третью дугу с центром Т. Если она пересекает другую дугу в точке К, проводим луч РК. Угол КРТ — то 1 Будем считать, что линейка без делений.

Есть 3 окружности с общим центром

который требовалось построить. Ведь треугольники КРТ и АОВ равны (по трем сторонам), поэтому Есть 3 окружности с общим центром

Пример №8

Постройте биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 234). Произвольным раствором циркуля опишем дугу с центром О. Пусть А и В — точки пересечения этой дуги с лучами О А и ОВ. Из центров А и В опишем дуги такими же радиусами. Если D — точка пересечения этих дуг, то луч OD — биссектриса угла АОВ.

Действительно, Есть 3 окружности с общим центром(по трем сторонам). Поэтому Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

Пример №9

Разделите данный отрезок пополам.

Решение:

Пусть АВ — данный отрезок (рис. 235). Из точек А и В радиусом АВ описываем дуги. Они пересекутся в неких точках С и D.

Прямая CD точкой М разделит данный отрезок пополам.

Действительно, по трем сторонам Есть 3 окружности с общим центром, поэтому Есть 3 окружности с общим центром Есть 3 окружности с общим центромПо первому признаку равенства треугольников Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром. Итак, AM = ВМ.

Есть 3 окружности с общим центром

Пример №10

Через данную точку Р проведите прямую, перпендикулярную и данной прямой а.

Решение:

В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на прямой а, задачу можно решить, как показа но на рисунках 236 и 237. Опишите и аргументируйте эти построения самостоятельно.

Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром

Пример №11

Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую, параллельную прямой АВ.

Решение:

Через точку Р и про из вольную точку А прямой АВ проводим прямую АТ (рис. 238). Строим угол ТРМ, равный углу РАВ, так, что бы эти углы стали соответственны ми при прямых РК, АВ и секущей АР. Построенная таким образом пря мая РК удовлетворяет задачу: она проходит через данную точку Р и параллельна прямой АВ, поскольку Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

Геометрическими построениями часто приходилось заниматься многим людям. Еще в доисторические времена мастера, изготавливающие колеса к колесницам, умели делить окружность на несколько равных частей. В наше время выполнять такие построения приходится специалистам, проектирующим или изготавливающим шестеренки, дисковые пилы (рис. 239), турбины и различные роторные механизмы. Как бы вы разделили окружность, например, на 5, 6 или 7 равных частей?
Есть 3 окружности с общим центром

Основные чертежные инструменты — линейка и циркуль — были известны еще несколько тысячелетий назад.

Слово линейка происходит от слова линия, которое на латинском языке сначала означало «льняная нитка», «черта, проведенная ниткой, бечевкой» (производное от лат. Плит — лен). Слово циркуль тоже латинского происхождения, первоначально слово циркулюс означало «окружность, круг», а потом стало означать инструмент, с помощью которого проводят окружности.

В Древней Греции линейку и циркуль признавали единственными приборами геометрических построений. Задачу на построение считали решенной, если все построения в ней выполнялись только с помощью линейки и циркуля. Сейчас специалисты при выполнении построений пользуются угольником, транспортиром, рейсмусом, рейсшиной и другими чертежными приспособлениями.

Пример №12

Разделите данную дугу окружности на две равные части.

Решение:

Пусть дана дуга АВ окружности с центром О (рис. 240). Представим угол АОВ и проведем его биссектрису ОК. Треугольники АОК и КОВ равны, поэтому и дуги АК и КВ равны.

Есть 3 окружности с общим центром

Пример №13

Постройте угол вдвое больше данною.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 241) Опишем дугу окружности с центром О Если она пересечет стороны данного угла в точках А и В, из В как из центра сделаем засечку ВС = ВА и проведем луч ОС. Угол АОС вдвое больше Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

Задачи на построение

С геометрическими построениями имеют дело различные специалисты. Геометрические построении выполняют чертежники, архитекторы, конструкторы, топографы, геодезисты, штурманы. Разные геометрические фигуры строят также: слесарь — на жести, столяр — на доске, портной— на ткани, садовник — на земле.

В задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, которая должна удовлетворять определенные условия. В геометрии построения выполняют чаще всего с помощь к линейки и циркуля. Условимся: если в задаче не сказано, какими инструментами следует выполнить построение, то имеются в виду только линейка (без делений) и циркуль.

Более сложные задачи на построение часто решают методом геометрических мест. Пусть, например, в задаче требуете!’ найти точку X, удовлетворяющую два условия. Если первое условие удовлетворяют точки фигуры К, а второе — точки фигуры Р, то X должна принадлежать каждой из этих фигур. Тс есть X — точка пересечения фигур К и Р.

Пример №14

Постройте прямоугольный треугольник по да» ному катету а и гипотенузе с (рис. 243).

Решение:

Строим прямой угол АСВ, на его стороне откладываем отрезок СВ = а. Точки С и В — две вершины треугольника, который требуется построить. Третья верши» должна лежать, во-первых, на луче СА, во-вторых, на pfti стоянии с от В, то есть на окружности радиуса с с центр В. Если эту окружность пересекает луч СА в точке А, 1 треугольник ABC — именно тот, который требовалось не строить. Ведь его угол С прямой, ВС = а, ВА = с.

Есть 3 окружности с общим центром

Второй способ (рис. 244). Откладываем отрезок АВ = с и проводим окружность диаметра АВ — ГМТ, из которых АВ виден под прямым углом. Дальше строим полуокружность радиуса а с центром В — ГМТ, удаленных от В на расстояние а и лежащих по одну сторону от прямой АВ. Если два ГМТ пересекаются в точке С, то треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить.

Составные части решения задачи на построение — анализ, построение, доказательство и исследование. В анализе ищут способ решения задачи, в построении выполняется само построение, в доказательстве обосновывается правильность выполненного построения, в исследовании выясняется, сколько решений имеет задача.

Пример №15

Постройте треугольник по данной стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон (рис. 245).

Решение:

Анализ. Допустим, что требуемый треугольник ABC построен. Его сторона с и угол А = а — даны. Дан также отрезок, равный сумме сторон а и b. По данным отрезкам с и а + b и углу А между ними можно построить A ABD. Вершиной С искомого треугольника будет такая точка отрезка AD, для которой CD = СВ. Следовательно, точка С должна лежать и на серединном перпендикуляре отрезка BD.

Построение. По двум данным отрезкам и углу между ними строим Есть 3 окружности с общим центром, после чего проводим серединный перпендикуляр I отрезка BD. Пусть прямая I пересекает отрезок АВ в точке С. Проводим отрезок СВ. Треугольник ABC — такой, который требовалось построить.

Есть 3 окружности с общим центром

Доказательство:

В треугольнике Есть 3 окружности с общим центромпо построению. АС + СВ — АС + CD — а + b. Следовательно, Есть 3 окружности с общим центромудовлетворяет все условия задачи.

Исследование. Задача имеет решение только при условии, что а + b > с.

Если задача несложная и способ ее решения известен, анализ можно не описывать. А в решении не обязательно выделять анализ, построение, доказательство и исследование.

В математике чаще всего имеют дело с задачами: на вычисление, на доказательство, на построение, на преобразование и на исследование. Геометрическими задачами на построение активно интересовались античные геометры. Допуская лишь классические построения (выполняемые только линейкой и циркулем), они исследовали, какие из построений можно вы-полнить, а какие невозможно. В частности, выясняли:

  1. можно ли любой угол разделить на три равные части;
  2. можно ли построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга;
  3. можно ли построить ребро такого куба, объем которого был бы в 2 раза больше объема данного куба.

Много столетий выдающиеся геометры пытались решить эти задачи и не смогли. Эти три классические задачи древности получили специальные названия:

  1. трисекция угла,
  2. 2квадратура круга,
  3. удвоение куба.

Последнюю задачу называют еще делосской задачей, связывая ее с древнегреческой легендой. согласно которой оракул бога Аполлона согласился спасти жителей острова Делос от чумы, если кубический жертовник в делосском храме заменят на жертовник такой же формы, но вдвое большего объема. Только почти через 2000 лет ученые убедились, что ни одну из этих трех задач с помощью лишь линейки и циркуля решить невозможно.

В настоящее время специалисты, которым приходится выполнять геометрические построения, пользуются не только линейкой и циркулем. С точки зрения классических методов такие построения приближенные. Но для практических нужд точности, которую обеспечивают приближенные методы, вполне достаточно

Пример №16

Найдите центр данной окружности.

Решение:

Обозначим на данной окружности три производные точки А, В и С (рис. 246).

Представим хорды АВ, ВС и проведем их серединные перпендикуляры n и m. Точка О, в которой пересекаются прямые n и m., — центр данной окружности. Ведь ОА = ОВ = ОС.

Есть 3 окружности с общим центром

Пример №17

Через данную точку проведите касательную к данной окружности.

Решение:

Если данная точка А лежит на окружности центра О (рис. 247, а), проводим луч ОА, потом — прямую АК, перпендикулярную к ОА. Прямая АК — касательная, которую и требовалось построить.

Если точка А лежит вне данной окружности центра О (рис. 247, б), то на диаметре ОА описываем окружность. Она пересечется с данной окружностью в двух точках К и Р. Прямые АК и АР — искомые касательные, поскольку Есть 3 окружности с общим центром(Из точек К и Р вспомогательной окружности ее диаметр ОМ виден под прямыми углами АКО и АРО.) В этом случае задача имеет два решения.

Есть 3 окружности с общим центром

Свойство диаметра, перпендикулярного хорде

Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Докажите.

Решение

Пусть СО — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, Есть 3 окружности с общим центромДокажем, что М — точка пересечения отрезков АВ и СD— середина отрезка АВ.

В случае, когда хорда АВ сама является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение задачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диаметром (рис. 165). Проведем радиусы OA и ОВ. Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОМ является медианой. Итак, AM = ВМ, что и требовалось доказать.

Есть 3 окружности с общим центром

Докажите самостоятельно еще одно утверждение (опорное): диаметр окружности, проведенной через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Касательная к окружности

Определение и свойство касательной

Любая прямая, проходящая через точки окружности, называется секущей; ее отрезок, лежащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей b . Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Определение:

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания.

На рисунке 167 прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А . Есть 3 окружности с общим центром

Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Теорема (свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть прямая а касается окружности с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что Есть 3 окружности с общим центромПрименим метод доказательства от противного. Есть 3 окружности с общим центром

Пусть отрезок OA не является перпендикуляром к прямой а. Тогда, по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из точки О можно провести перпендикуляр ОB к прямой а . На луче АВ от точки В отложим отрезок ВС, равный АВ , и соединим точки О и С . Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота треугольника АОС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС, то есть OA = ОС . Таким образом, расстояние между точками О и С равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку А — единственная общая точка окружности с прямой а. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть OA Есть 3 окружности с общим центром. Теорема доказана.

Признак касательной

Докажем теорему, обратную предыдущей.

Теорема: (признак касательной)

Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.

Доказательство:

Пусть прямая а проходит через точку А, лежащую на окружности с центром О, причем Есть 3 окружности с общим центром. Докажем, что а — касательная к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Применим метод доказательства от противного.

Пусть прямая а имеет с окружностью общую точку В , отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. По свойству углов равнобедренного треугольника Есть 3 окружности с общим центром, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Следовательно, точка А — единственная общая точка окружности и прямой а, значит, прямая а — касательная к окружности.

Есть 3 окружности с общим центром

Свойство отрезков касательных

Пусть даны окружность с центром О и точка А, не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170).

Через точку А можно провести две касательные к данной окружности. Отрезки, соединяющие данную точку А с точками касания, называют отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке 170 АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А .

Опорная задача

Отрезки касательных, проведенных из данной точки к окружности, равны. Докажите.

Решение

Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О из точки А (рис. 170). Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. По свойству касательной Есть 3 окружности с общим центромто есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой АО и равными катетами ОВ = ОС как радиусы окружности). Следовательно, Есть 3 окружности с общим центромпо гипотенузе и катету, откуда АВ = АС. Есть 3 окружности с общим центром

Касание двух окружностей

Определение:

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей в таком случае называется точкой касания окружностей.

Различают два вида касания окружностей: внутреннее и внешнее.

Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а);

Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, б).

Есть 3 окружности с общим центром

Рис. 171 Касание двух окружностей. 1. внутреннее; 2. внешнее.

По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной, следует, что центры касающихся окружностей и точка касания окружнос тей лежат на одной прямой.

Касающиеся окружности имеют единствен ную общую точку — точку касания.

Если данные окружности имеют радиусы R и r (R > r), то расстояние между центрами окружностей равно R-r в случае внутреннего касания и R+r в случае внешнего касания.

Задачи на построение

Что такое задачи на построение?

Задачи на построение представляют собой отдельный класс геометрических задач, решение которых подчиняется определенным правилам. Цель решения этих задач — построение геометрических фигур с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести:

  • произвольную прямую;
  • прямую, проходящую через данную точку;
  • прямую, проходящую через две данные точки.

Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помощью линейки нельзя откладывать отрезки заданной длины.

Циркуль — от латинского «циркулус» — окружность, круг.

С помощью циркуля можно:

  • провести окружность (часть окружности) произвольного или заданного радиуса с произвольным или заданным центром;
  • отложить от начала данного луча отрезок заданной длины.

Кроме того, можно отмечать на плоскости точки и находить точки пересечения прямых и окружностей.

Все перечисленные операции называют элементарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения которых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи.

Итак, решение задач на построение заключается не столько в самом построении фигуры, сколько в нахождении способа построения и доказательстве того, что полученная фигура искомая.

Основные задачи на построение

Если каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может оказаться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, которые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач.

Пусть даны отрезки длиной а , b и с . Построим треугольник со сторонами, b и с.

Проведем произвольный луч и отметим на нем точку А . Раствором циркуля, равным а , построим окружность с центром А . Пусть В — точка пересечения этой окружности с лучом.

Раствором циркуля, равным b , опишем окружность с центром А , а раствором циркуля, равным с ,— окружность с центром В . Пусть С — точка пересечения этих окружностей.

Проведем отрезки АС и ВС. По построению треугольник ABC имеет стороны длиной а , b и с, то есть треугольник ABC искомый 1 .

1 По данным задачи можно построить четыре разных треугольника с общей стороной АВ. По третьему признаку эти треугольники равны, то есть совмещаются наложением. В таких случаях решением задачи считают любой из этих равных треугольников.

Отметим, что эта задача имеет решение при условии, что длины отрезков а , b и с удовлетворяют неравенству треугольника.

С помощью описанных операций несложно решить задачу о построении угла, равного данному неразвернутому углу А. Для этого достаточно отложить на сторонах данного угла А отрезки АВ и АС и построить треугольник, равный треугольнику ABC.

Построение треугольника с данными сторонами
Есть 3 окружности с общим центром
Есть 3 окружности с общим центром
Есть 3 окружности с общим центром
Есть 3 окружности с общим центром
Построение биссектрисы угла
Есть 3 окружности с общим центромПусть дан неразвернутый угол с вершиной А . Построим его биссектрису.
Есть 3 окружности с общим центромС помощью циркуля построим окружность произвольного радиуса с центром А . Пусть В к С — точки пересечения этой окружности со сторонами данного угла.
Есть 3 окружности с общим центромПостроим окружности того же радиуса с центрами В и С . Пусть D — точка пересечения этих окружностей.
Есть 3 окружности с общим центромПроведем луч AD. По построению Есть 3 окружности с общим центром Есть 3 окружности с общим центром(по третьему признаку). Отсюда Есть 3 окружности с общим центром, то есть AD — биссектриса данного угла А .

Построим окружность произвольного радиуса с центром О. Пусть А и B — точки пересечения этой окружности с прямой а .

Построение перпендикулярной прямой
Есть 3 окружности с общим центромПусть даны прямая а и точка О . Построим прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а . Рассмотрим два случая
Точка O лежит на прямой а
Есть 3 окружности с общим центром
Есть 3 окружности с общим центромПостроим окружности радиуса АВ с центрами А и В. Пусть С — одна из точек их пересечения. Проведем прямую через точки С и О.
Есть 3 окружности с общим центромПо построению отрезок СО — медиана равностороннего треугольника ABC , которая является также его высотой. Итак, Есть 3 окружности с общим центром, то есть прямая СО — искомая.
Точка O не лежит на прямой а
Есть 3 окружности с общим центромПостроим окружность с центром О , которая пересекает прямую O, в точках А и В .
Есть 3 окружности с общим центромПостроими окружности того же радиуса с центрами A и В . Пусть Ol — точка пересечения этих окружностей, причем точки О и Ol лежат по разные стороны от прямой а .
Есть 3 окружности с общим центромПроведем прямую Есть 3 окружности с общим центром. Пусть С — точка пересечения прямых Есть 3 окружности с общим центроми а . По построению Есть 3 окружности с общим центром(по третьему признаку). Отсюда Есть 3 окружности с общим центром. Тогда ОС — биссектриса равнобедренного треугольника АОВ , проведенная к основанию. Она также является медианой и высотой треугольника. Следовательно, Есть 3 окружности с общим центрома , то есть прямая Есть 3 окружности с общим центром— искомая.

Отметим, что построенная прямая Есть 3 окружности с общим центромперпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Пользуясь описанными построениями, несложно решить задачи на построение середины данного отрезка и на построение прямой, параллельной данной.

Для построения середины отрезка АВ достаточно провести две окружности радиуса АВ с центрами в точках А к В (рис. 172). Обозначив точки пересечения этих окружностей через Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромможно определить середину отрезка AB как точку пересечения прямых АВ и Есть 3 окружности с общим центром, после чего провести доказательство, аналогичное доказательству предыдущей задачи.

Есть 3 окружности с общим центром

Для построения прямой, проходящей через данную точку О параллельно данной прямой а, достаточно провести через точку О прямую b , перпендикулярную а, и прямую с, перпендикулярную b (рис. 173). Тогда а || с по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Есть 3 окружности с общим центром

Таким образом, основными задачами на построение будем считать следующие:

  1. построение треугольника с данными сторонами;
  2. построение угла, равного данному неразвернутому углу;
  3. построение биссектрисы данного неразвернутого угла;
  4. построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой;
  5. построение серединного перпендикуляра к данному отрезку;
  6. построение середины данного отрезка;
  7. построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Если эти задачи применяются как вспомогательные при решение более сложных задач, соответствующие построения можно подробно не описывать.

Решение задач на построение

Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

Выполнение рисунка-эскиза искомой фигуры и установление связи между ее элементами и данными задачи. Определение плана построения искомой фигуры.

Осуществление плана, разработанного в ходе анализа.

Обоснование того, что построенная фигура имеет заданную форму, а размеры и расположение ее элементов удовлетворяют условию задачи.

Определение количества решений и условий существования искомой фигуры или обоснование невозможности ее построения.

Если задача достаточно проста, то отдельные этапы ее решения можно проводить устно.

1] В некоторых задачах для исследования необходимы геометрические утверждения и соотношения, изучаемые в 8—9 классах. В этих случаях исследования мы будем проводить в сокращенном виде или вообще опускать.

Рассмотрим на конкретных примерах некоторые методы решения задач на построение.

Пример №18

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Анализ

Пусть a, b, Есть 3 окружности с общим центром— две стороны и медиана треугольника ABC, который необходимо построить (рис. 174).

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 175). Если ВМ — данная медиана треугольника ABC, то в треугольнике АВМ известны длины трех сторон Есть 3 окружности с общим центромпо условию задачи). Таким образом, мы можем построить треугольник АВМ и найти вершины А и В искомого треугольника. Чтобы найти вершину С, достаточно отложить на луче AM отрез ок МС длиной Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром

Построение

  1. Разделим отрезок bпополам.
  2. Построим треугольник АВМ со сторонами АВ = а, Есть 3 окружности с общим центром
  3. Отложим на луче AM отрезок Есть 3 окружности с общим центром.
  4. Соединим точки В и С.

Доказательство

В треугольнике Есть 3 окружности с общим центром— медиана (по построению). Следовательно, треугольник ABC искомый.

Исследование

Задача имеет решение при условии существования треугольника АВМ, то есть, если числа Есть 3 окружности с общим центром— удовлетворяют неравенству треугольника.

Сравним только что решенную задачу с задачей о доказательстве равенства треугольников но двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них (п. 13.1). Решая обе эти задачи, мы использовали треугольник АВМ в котором все стороны известны по условию. Его рассмотрение помогло в задаче на доказательство получить необходимые соотношения для углов данных треугольников, а в задаче на построение — найти две вершины искомого треугольника. Треугольник АВМ называют вспомогательным а соответствующий метод решения — методом вспомогательного треугольника.

Решение задач на построение с помощью метода вспомогательной треугольника подробно рассмотрено в Приложении 2.

Геометрическое место точек

Понятие о геометрическом месте точек

До сих пор мы описывали геометрические фигуры с помощью определений и устанавливали их особенности путем доказательства свойств и признаков, относящихся к фигуре в целом. Для случаев, когда определенное свойство и соответствующий ему признак имеет каждая точка фигуры, существует еще один способ описания.

Определение:

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удовлетворяющих определенному условию.

Например, по определению окружность является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки плоскости на одинаковое расстояние.

В определении ГМТ обратим внимание на слово «всех». Оно указывает на то, что для выяснения геометрического места точек недостаточно доказать, что точки указанной фигуры удовлетворяют определенному условию (то есть установить свойство точек). Необходимо также показать, что других точек, удовлетворяющих данному условию, на плоскости нет, то есть доказать соответствующий признак: если точка удовлетворяет указанному условию, то она принадлежит данной фигуре.

Иначе говоря, доказательство того, что некоторая фигура F является геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Р, состоит из доказательства двух утверждений — прямого и обратного:

  1. если определенная точка P принадлежит фигуре F, то она удовлетворяет условию Р ;
  2. если определенная точка удовлетворяет условию Р, то она принадлежит фигуре F .

Основные теоремы о ГМТ

Часто геометрическим местом точек является прямая или часть прямой. Докажем две важные теоремы о ГМТ.

Теорема: (о серединном перпендикуляре)

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство:

Нам необходимо доказать два утверждения:

  1. если точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка;
  2. если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру к этому отрезку.

Докажем первое из этих утверждений. Пусть точка С лежит на прямой с, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину — точку О (рис. 176). В треугольнике АСВ отрезок СО — медиана и высота, значит, этот треугольник равнобедренный с основанием АВ. Отсюда АС=ВС , то есть расстояния от точки С до концов отрезка АВ равны. Докажем второе утверждение. Пусть точка D равноудалена от точек А и В , то есть AD = BD (рис. 177). Тогда в равнобедренном треугольнике ADB отрезок DO — медиана, проведенная к основанию, которая является также и высотой. Таким образом, прямая DO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Теорема доказана.

Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром

Теорема: (о биссектрисе угла)

Биссектриса неразвернутого угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Доказательство

По аналогии с предыдущей теоремой докажем сначала, что любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Пусть даны неразвернутый угол с вершиной А и точка D на его биссектрисе (рис. 178). Опустим из точки D перпендикуляры DB и DC на стороны данного угла. По определению, DB и DC — расстояния от точки D до сторон угла А.

Прямоугольные треугольники DBA и DCA имеют общую гипотенузу Есть 3 окружности с общим центромпо условию. Тогда Есть 3 окружности с общим центромпо гипотенузе и острому углу. Отсюда DB = DC , то есть точка D равноудалена от сторон данного угла.

Теперь докажем, что любая точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. Пусть F — некоторая точка, равноудаленная от сторон угла А, то есть перпендикуляры FB и FC, опущенные из точки F на стороны данного угла, равны (рис. 179). Соединим точки F и А . Тогда прямоугольные треугольники FBA и FCA равны по гипотенузе и катету.

ОтсюдаЕсть 3 окружности с общим центром, то есть луч AF — биссектриса угла А.

Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром

*Здесь и далее, говоря о точках, равноудаленных от сторон угла, мы имеем в виду точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от прямых, содержащих его стороны.

Метод геометрических мест

Понятие ГМТ часто используется при решении задач на построение. Например, пусть необходимо построить точку, удовлетворяющую условиям Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. Если геометрическим местом точек, удовлетворяющих условиюЕсть 3 окружности с общим центром, является фигура Есть 3 окружности с общим центром, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Есть 3 окружности с общим центром— фигура Есть 3 окружности с общим центромто искомая точка будет общей для фигур Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромто есть точкой их пересечения.

Рассуждения по такой схеме лежат в основе метода геометрических мест.

Пример №19

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Решение:

Пусть в искомом прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ равна с , катет ВС равен а (рис. 180). Для построения треугольника воспользуемся методом геометрических мест. Для этого на стороне прямого угла С отложим катет ВС, ВС = а (рис. 181). Точка А должна принадлежать второй стороне прямого угла и быть удаленной от точки В на расстояние с, то есть А — точка пересечения окружности с центром В радиуса с со второй стороной прямого угла. Построенные точки А, В и С являются вершинами искомого прямоугольного треугольника ABC. В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника задача имеет решение при условии а Есть 3 окружности с общим центром с.

Есть 3 окружности с общим центром Есть 3 окружности с общим центром

Описанная и вписанная окружности треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение:

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности.

В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность.

На рисунке 183 окружность с центром О описана около треугольника ABC.

Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.

Есть 3 окружности с общим центром

Теорема: (об окружности, описанной около треугольника)

Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство:

Пусть прямые а и b — серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС данного треугольника ABC (рис. 184).

Сначала докажем методом от противного, что прямые а и b пересекаются. Предположим, что эти прямые не пересекаются, то есть а || b . Тогда поскольку Есть 3 окружности с общим центром, то Есть 3 окружности с общим центромпо следствию из теоремы о свойствах углов при параллельных прямых. Но Есть 3 окружности с общим центромпо построению, отсюда Есть 3 окружности с общим центромчто невозможно по условию. Следовательно, прямые а и b пересекаются в некоторой точке О.

Есть 3 окружности с общим центром

По теореме о серединном перпендикуляре точка О равноудалена от точек А и В (то есть OA = OB ) и равноудалена от точек В и С (то есть ОВ = ОС ). Отсюда OA = OB = ОС. Следовательно, существует окружность с центром О, проходящая через все вершины треугольника ABC.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна.

Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с О, точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне АС содержит вое точки, равноудаленные от точек А и С . Поскольку точка О также равноудалена от точек А и С , то этот серединный перпендикуляр проходит через точку О. Теорема доказана.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Отметим, что центр описанной окружности не всегда лежит внутри треугольника; он также может лежать на одной из его сторон или вне треугольника (рис. 185).

Есть 3 окружности с общим центром

Окружность, вписанная в треугольник

Определение:

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

В этом случае треугольник является описанным около данной окружности.

На рисунке 186 окружность с центром О вписана в треугольник ABC. Прямые, содержащие стороны треугольника, являются касательными к вписанной окружности, а точки касания лежат на сторонах треугольника. Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам данного треугольника.

Есть 3 окружности с общим центром

Далее в таком случае мы будем говорить, что центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.

Теорема: (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство:

Пусть AD и BE — биссектрисы данного треугольника ABC (рис. 187).

Есть 3 окружности с общим центром

Докажем методом от противного, что эти биссектрисы пересекаются. Пусть AD и BE не пересекаются. Тогда AD || BE, а углы BAD и ABE — внутренние односторонние при параллельных прямых AD и BE и секущей АВ. Сумма этих углов должна быть равна 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Итак, биссектрисы AD и BE пересекаются в некоторой точке О. Тогда по теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон АВ и АС, а также равноудалена от сторон АВ и ВС . Таким образом, три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны данного треугольника, равны. Следовательно, существует окружность с центром О, которая касается всех сторон треугольника ABC.

Докажем методом от противного, что эта окружность единственна.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда ее центр одинаково удален от сторон треугольника и совпадает с О, точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, биссектриса CF содержит все точки, равноудаленные от сторон СА и СВ. Поскольку точка О также равноудалена от СА и СВ, то эта биссектриса проходит через точку О. Теорема доказана.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Поскольку все биссектрисы треугольника лежат внутри него, то и центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Пример №20

В равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Докажите.

Решение:

В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы Есть 3 окружности с общим центромявляются также медианами и высотами (рис. 188). Это означает, что. прямые Есть 3 окружности с общим центром— серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC. Поскольку все они пересекаются в одной точке, то эта точка — центр описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Есть 3 окружности с общим центром

Верно также и обратное утверждение: если в треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают, то этот треугольник равносторонний. Попробуйте доказать это самостоятельно.

Историческая справка:

Простейшие геометрические задачи на построение:

Возникновение задан на построение было обусловлено необходимостью измерений земельных участков и строительством. Значительных успехов в решении таких задач достигли древнегреческие ученые, прежде всего Евклид и Платон, в VII — III в. до н. з. Именно со времен Платона в решении задач на построение стали выделять четыре этапа: анализ, собственно построение, доказательство и исследование.

Задачи, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки

Особый интерес математиков древности вызывали три классические задачи, которые не удавалось решить с помощью циркуля и линейки — о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Задача о квадратуре круга состояла в построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга. В задаче о трисекции угла пытались разделить данный угол на три равные части. Такую задачу несложно решить для некоторых конкретных углов, например развернутого, прямого, но не для любого угла. Задача об удвоении куба состояла в построении куба, объем которого вдвое больше объема данного куба. Невозможность решить эти задачи с помощью циркуля и линейки была доказана в XIX в.

Циркуль или линейка

Интересна историй ограничений в выборе инструментов для решения задач на построение. В X веке арабский математик Абу-ль-Вафа предложил ограничиться в геометрических построениях односторонней линейкой и циркулем постоянного раствора. В 1797 г. итальянец Лоренцо Маскерони доказал: любая задача на построение, решенная с помощью циркуля и линейки, может быть решена и с помощью одного циркуля (при этом предполагалось, что через любые две точки может быть проведена прямая). А еще раньше, в 1672 г. к такому же выводу пришел датчанин Г. Мор. Так, теорема о возможности построений только циркулем получила название «теоремы Мора — Маскерони». В 1833 г. швейцарский геометр Якоб Штейнер показал, что, при наличии на плоскости окружности с отмеченным центром, любую задачу на построение можно решить с помощью одной линейки. Задачи на построение играют особую роль в обучении геометрии, ведь они прекрасно развивают логику и абстрактное мышление. Специалисты считают задачи на построение одними из самых полезных и красивых задач геометрии.

Об аксиомах геометрии

Вы ознакомились с начальными понятиями геометрии: точкой и прямой, а также лучом, отрезком и углом. Их основные свойства — аксиомы — не доказываются, но являются фундаментом для доказательства других утверждений. Первую попытку провести логическое обоснование геометрии с помощью систематизированного перечня исходных положений (аксиом или постулатов) осуществил древнегреческий математик Евклид в своей знаменитой книге «Начала». На протяжении многих веков ученые-геометры опирались именно на евклидовы аксиомы. Но в XIX—XX вв., после создания Лобачевским неевклидовой геометрии, исследования системы геометрических аксиом вышли на качественно новый уровень. Одним из тех, кто внес заметный вклад в усовершенствование аксиоматики, был выдающийся украинский математик Алексей Васильевич Погорелов. В своей фундаментальной работе «Основания геометрии» (1983) он разработал собственную усовершенствованную систему аксиом евклидовой геометрии, которая решила проблему преодоления ряда существенных трудностей, возникших при введении понятия меры для отрезков и углов. Более того, А. В. Погорелов предложил упрощенный вариант геометрической аксиоматики, предназначенный именно для преподавания геометрии в школе. Этот вариант был положен в основу учебника «Геометрия», по которому свыше четверти века изучали и, без сомнения, будут изучать геометрию в школе. Вот как выглядит система аксиом школьного курса, предложенная А. В. Погореловым.

  1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
  2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на

  1. которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
  2. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
  3. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
  4. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник, в заданном расположении относительно данной полупрямой.
  5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Этой системы аксиом мы придерживаемся и в нашем учебнике с учетом принятой нами терминологии. Некоторые аксиомы были сформулированы в главе I, другие аксиомы не формулировались, но фактически использовались в рассуждениях. Отметим, что авторы не ставили цель представлять в этом учебнике абсолютно совершенную и логически завершенную систему аксиом, а сосредоточили основное внимание на практическом применении основных свойств простейших геометрических фигур при доказательстве теорем и решении задач. В дальнейшем, при изучении свойств фигур в пространстве, формулировки некоторых аксиом будут уточнены, а сама система аксиом — расширена.

Вообще же, система аксиом должна удовлетворять условиям независимости (не содержать аксиомы, которые можно вывести с помощью других аксиом), непротиворечивости (не иметь явных или скрытых противоречий) и полноты (содержать достаточное количество аксиом, чтобы доказать основные утверждения). Исследование проблем построения таких систем аксиом является содержанием одного из разделов современной геометрии.

Метод вспомогательного треугольника

Метод вспомогательного треугольника применяется при решении многих задач на построение. Используя этот метод, необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

  1. предположив, что искомый треугольник построен, выполнить рисунок- эскиз и найти на нем вспомогательный треугольник, способ построения которого известен (или получить такой треугольник путем дополнительных построений);
  2. установить, какие вершины искомого треугольника мы получим, построив вспомогательный треугольник;
  3. определить на основании данных задачи последовательность построения других вершин, предположив, что вспомогательный треугольник построен;
  4. осуществить все намеченные построения;
  5. провести необходимые доказательства и исследования.

Довольно часто метод вспомогательного треугольника используют в сочетании с другими методами. Рассмотрим такие случаи на примерах.

Пример №21

Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме второго катета и гипотенузы.

Решение:

Пусть а и b + с — катет и сумма второго катета и гипотенузы треугольника ABC, который необходимо построить (рис. 194). Есть 3 окружности с общим центром

Анализ

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 195). Отложим на луче ВС отрезок CD длиной с и соединим точки А и D. Треугольник АВD прямоугольный с катетами а и b+с, то есть может быть построен по данным задачи и является вспомогательным. Построив его, получим вершины А и В искомого треугольника. Для построения вершины С воспользуемся одним из признаков равнобедренного треугольника. Точка С является точкой пересечения серединного перпендикуляра к стороне АD с лучом BD.

Построение

  • 1. Построим прямой угол с вершиной В.
  • 2. Отложим на сторонах этого угла отрезки АВ = а и ВD = b+с и соединим точки А и О. Треугольник АВD вспомогательный.
  • 3. Построим перпендикуляр к отрезку АО. который проходит через его середину В. Пусть С— точка его пересечения с лучом ВD.
  • 4. Соединим точки А и С.

Есть 3 окружности с общим центром

Доказательство:

В треугольнике Есть 3 окружности с общим центромпо построению. В треугольнике Есть 3 окружности с общим центром— высота и медиана (по построению). Значит, треугольник АСD равнобедренный с основанием AD), откуда СА=СD=с. По построению Есть 3 окружности с общим центром, следовательно, Есть 3 окружности с общим центромТаким образом, треугольник ABC искомый.

В соответствии с неравенством треугольника, задача имеет решение при условии aЕсть 3 окружности с общим центромc+b

При решении этой задачи мы использовали метод спрямления. Суть его такова: если в условии задачи на построение заданы сумма (или разность) отрезков, то на рисунке-эскизе их необходимо отложить на одной прямой от общего конца так, чтобы другие концы этих отрезков образовали заданный отрезок-сумму (разность). Благодаря такому дополнительному построению, удается получить вспомогательный треугольник.

Пример №22

Постройте треугольник по медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника.

Решение:

Пусть m — медиана треугольника ABC, который необходимо построить, Есть 3 окружности с общим центром— углы, на которые медиана делит угол треугольника (рис. 196).

Есть 3 окружности с общим центром

Анализ

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 197). Применим метод удвоения медианы. Для этого на луче ВМ отложим отрезок МD, равный m, и соединим точки O и А. По первому признаку равенства треугольников Есть 3 окружности с общим центром(АМ=СМ по определению медианы, ВМ =DМ по построению, Есть 3 окружности с общим центром Есть 3 окружности с общим центромкак вертикальные). Тогда Есть 3 окружности с общим центром

Следовательно, треугольник АВD вспомогательный, поскольку его можно построить по стороне и прилежащим к ней углам Есть 3 окружности с общим центромПостроив этот треугольник, получим вершины А и В скомого треугольника. Для построения вершины С достаточно удвоить в треугольнике АВD медиану AM.

Построение (сокращенный план)

  • 1. Построим треугольник АВD, в котором BD=2mЕсть 3 окружности с общим центром. Треугольник АВй вспомогательный.
  • 2. Построим в треугольнике АВD медиану AM и на ее продолжении отложим отрезок МС, равный Am. >
  • 3. Соединим точки Bи С.

Доказательство

Есть 3 окружности с общим центромпо первому признаку равенства треугольников Есть 3 окружности с общим центромпо построению, Есть 3 окружности с общим центромкак вертикальные). Тогда Есть 3 окружности с общим центромТакже по построению Есть 3 окружности с общим центромВ треугольнике Есть 3 окружности с общим центром— медиана, поскольку по построению Есть 3 окружности с общим центромТаким образом, треугольник ABC — искомый.

Пример №23

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.

Решение:

Пусть а — сторона искомого треугольника ABC, Есть 3 окружности с общим центром— проведенная к ней медиана, Есть 3 окружности с общим центром— высота треугольника, проведенная к другой стороне (рис. 198). Построим этот треугольник.

Есть 3 окружности с общим центром

Анализ

Пусть треугольник ABC построен (рис. 199). Тогда прямоугольный треугольник ВСН можно построить по гипотенузе BC и катету ВН : на стороне прямого угла Н отложим катет BH=hb , тогда С — точка пересечения окружности с центром В радиуса а со второй стороной прямого угла.

Таким образом, мы построим вершины В и С искомого треугольника. Для построения вершины А снова используем метод геометрических мест. Поскольку основание высоты ВН принадлежит стороне АС, то точка А лежит на прямой НС. Поскольку Есть 3 окружности с общим центромто точка А должна лежать на расстоянии Есть 3 окружности с общим центромот точки D. Это означает, что A — точка пересечения прямой СH и окружности радиуса Есть 3 окружности с общим центромс центром D.

Есть 3 окружности с общим центром

Построение

  • 1. Построим прямой угол с вершиной Н.
  • 2. Отложим на стороне этого угла отрезокВН, ВН= hb.
  • 3. Построим окружность с центром В радиуса а. Пусть С — точка пересечения этой окружности с другой стороной прямого угла.
  • 4. Соединим точки В и Си разделим отрезок ВС пополам. Пусть точка D — его середина.
  • 5. Проведем прямую СН.
  • 6. Построим окружность с центром D радиуса mа. ПустьА — точка пересечения этой окружности с прямой СН.
  • 7. Соединим точкиА и В.

Доказательство

В треугольнике Есть 3 окружности с общим центром— медиана, Есть 3 окружности с общим центром— высота (по построению). Следовательно, треугольник ABC — искомый.

Исследование

В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника вспомогательный треугольник существует, если hb Есть 3 окружности с общим центром a. В зависимости от длины медианы Есть 3 окружности с общим центромзадача имеет одно или два решения, или не имеет ни одного.

Реальная геометрия

На любой шине от автомобиля есть маркировка, указывающая на ее размеры, например, 195/55 R16 (рис. 54). Число 195 означает ширину шины в мм. В данном случае ширина шины равна 195 мм или 19,5 см.

Второе число 55 означает высоту шины или высоту ее профиля, выраженную в процентах от ее ширины. В нашем случае это 55 % от 195 мм, то есть примерно 107 мм или 10,7 см.

И наконец надпись R16 обозначает внутренний диаметр шины, выраженный в дюймах. Так как 1 дюйм Есть 3 окружности с общим центромто для нашей шины получим Есть 3 окружности с общим центром
Есть 3 окружности с общим центром

Интересно знать:

Если круг вращать около своего диаметра, получим геометрическое тело, которое вы хорошо знаете, — шар (рис. 55). Он также имеет центр, радиус, диаметр. Поверхность шара называется сферой. Сфера — это оболочка шара. Расстояние от центра шара до любой точки сферы равно радиусу шара. Диаметр шара равен двум радиусам.

Есть 3 окружности с общим центром

Если провести плоскость, пересекающую шар, то в сечении получим круг. Когда секущая плоскость будет проходить через центр шара, радиус R полученного круга будет равен радиусу шара.

Видео:Центр кругаСкачать

Центр круга

Справочный материал по окружности и кругу

18. Геометрическое место точек

  • ✓ Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определенным свойством.
  • ✓ Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.
  • ✓ Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон.

19. Окружность и круг, их элементы

  • ✓ Окружностью называют геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки равны данному положительному числу. Данную точку называют центром окружности.
  • ✓ Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности.
  • ✓ Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром.
  • ✓ Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.
  • ✓ Кругом называют геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки не больше данного положительного числа. Заданную точку называют центром круга. Радиус окружности, ограничивающей круг, называют радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром О и радиусом Есть 3 окружности с общим центром
  • ✓ Окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.
  • ✓ Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

20. Свойства окружности

  • ✓ Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
  • ✓ Диаметр окружности, который делит хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

21. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

  • ✓ Прямая и окружность могут не иметь общих точек, иметь две общие точки или иметь одну общую точку.
  • ✓ Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.
  • ✓ Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
  • ✓ Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
  • ✓ Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
  • ✓ Если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющие данную точку с точками касания, равны.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 247 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность.

Есть 3 окружности с общим центром

  • ✓ Центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин.
  • ✓ Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
  • ✓ Серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке.
  • ✓ Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
  • ✓ На рисунке 248 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.
  • ✓ Центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.
  • ✓ В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис треугольника.
  • ✓ Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  • ✓ Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляют по формуле Есть 3 окружности с общим центромгде r — радиус вписанной окружности, а и b — катеты, с — гипотенуза.

Что называют окружностью

Окружностью называют геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (рис. 282).

Есть 3 окружности с общим центром

Эту точку называют центром окружности; отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности.

На рисунке 282 точка Есть 3 окружности с общим центром— центр окружности, Есть 3 окружности с общим центром— радиус окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 282 Есть 3 окружности с общим центром— хорда, Есть 3 окружности с общим центром— диаметр. Часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью называют кругом (рис. 283).

Есть 3 окружности с общим центром

Центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, ограничивающей круг.

Свойства элементов окружности.

  1. Диаметр окружности вдвое больше его радиуса.
  2. Диаметр является наибольшей из хорд.
  3. Диаметр из любой точки окружности виден под прямым углом.
  4. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
  5. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, которая не является диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Касательной к окружности называют прямую, которая имеет с окружностью одну общую точку. Эту точку называют точкой касания.

На рисунке 284 прямая Есть 3 окружности с общим центром— касательная к окружности, точка Есть 3 окружности с общим центром— точка касания.

Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. На рисунке 285

Есть 3 окружности с общим центром

Есть 3 окружности с общим центром

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. При этом треугольник называют описанным около окружности (рис. 286).

В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника.

Есть 3 окружности с общим центром

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника. При этом треугольник называют вписанным в окружность (рис. 287).

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Геометрическое место точек в окружности и круге

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: все, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 272). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.

Есть 3 окружности с общим центром

Определение. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определенным свойством.

Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.

Например, зафиксируем две точки Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка Есть 3 окружности с общим центроми только они (рис. 273). Поэтому искомым ГМТ является отрезок Есть 3 окружности с общим центром.

Есть 3 окружности с общим центром

Рассмотрим перпендикулярные прямые Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой Есть 3 окружности с общим центроми находиться на расстоянии 1 см от прямой Есть 3 окружности с общим центром. Очевидно, что точки Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром(рис. 274) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром(рис. 274).

Есть 3 окружности с общим центром

Вообще, чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:

  1. каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
  2. если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.

Теорема 19.1. Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство: По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.

Теорема 19.2. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон.

Прямая теорема. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Доказательство: Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Есть 3 окружности с общим центром

Пусть какая-то точка Есть 3 окружности с общим центромне совпадает с вершиной угла Есть 3 окружности с общим центроми принадлежит его биссектрисе (рис. 275). Опустим перпендикуляры Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромсоответственно на стороны Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. Надо доказать, что Есть 3 окружности с общим центром.

В прямоугольных треугольниках Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромгипотенуза Есть 3 окружности с общим центром— общая, Есть 3 окружности с общим центром, так как Есть 3 окружности с общим центром— биссектриса угла Есть 3 окружности с общим центром. Следовательно, Есть 3 окружности с общим центромпо гипотенузе и острому углу. Отсюда Есть 3 окружности с общим центром. Обратная теорема. Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство: Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Пусть какая-то точка Есть 3 окружности с общим центром, принадлежащая углу Есть 3 окружности с общим центром, не совпадает с его вершиной и равноудалена от его сторон. Опустим перпендикуляры Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромсоответственно на стороны Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. Надо доказать, что Есть 3 окружности с общим центром(рис. 275).

В прямоугольных треугольниках Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромгипотенуза Есть 3 окружности с общим центром— общая, Есть 3 окружности с общим центромпо условию. Следовательно, Есть 3 окружности с общим центромпо гипотенузе и катету. Отсюда Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром.

Есть 3 окружности с общим центром

Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудаленность точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек к Есть 3 окружности с общим центромили Есть 3 окружности с общим центромпринадлежит продолжению стороны угла (рис. 276). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка. Также отметим, что теорема остается справедливой и для развернутого угла.

Определение. Окружностью называют геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки.

Есть 3 окружности с общим центром

Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 277 точка Есть 3 окружности с общим центром— центр окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности. На рисунке 277 отрезок Есть 3 окружности с общим центром— радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 277 отрезок Есть 3 окружности с общим центром— хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 277 отрезок Есть 3 окружности с общим центром— диаметр окружности. Очевидно, что Есть 3 окружности с общим центром, т. е. диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

Есть 3 окружности с общим центром

Из курса математики шестого класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 278). Теперь с помощью понятия ГМТ можно дать другое

Определение. Кругом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если Есть 3 окружности с общим центром— произвольная точка круга с центром Есть 3 окружности с общим центромрадиуса Есть 3 окружности с общим центром, то Есть 3 окружности с общим центром(рис. 278). Если Есть 3 окружности с общим центром, то говорят, что точка Есть 3 окружности с общим центромлежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Есть 3 окружности с общим центромкругу не принадлежит (рис. 278). Также говорят, что точка Есть 3 окружности с общим центромлежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.

Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

Есть 3 окружности с общим центром

На продолжении хорды Есть 3 окружности с общим центромокружности с центром Есть 3 окружности с общим центромза точку Есть 3 окружности с общим центромотметили точку Есть 3 окружности с общим центромтакую, что отрезок Есть 3 окружности с общим центромравен радиусу окружности (рис. 279). Прямая Есть 3 окружности с общим центромпересекает данную окружность в точках Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. Докажите, что Есть 3 окружности с общим центром.

Решение:

Пусть Есть 3 окружности с общим центром. Так как Есть 3 окружности с общим центром— равнобедренный, то Есть 3 окружности с общим центром. Есть 3 окружности с общим центром— внешний угол треугольника Есть 3 окружности с общим центром, Есть 3 окружности с общим центром. Так как Есть 3 окружности с общим центром— равнобедренный, то имеем: Есть 3 окружности с общим центром. Есть 3 окружности с общим центром— внешний угол треугольника Есть 3 окружности с общим центром. Тогда Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром, то есть Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром.

Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

Теорема 20.1. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство: Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.

Есть 3 окружности с общим центром

На рисунке 286 изображена окружность с центром Есть 3 окружности с общим центром, Есть 3 окружности с общим центром— точка пересечения диаметра Есть 3 окружности с общим центроми хорды Есть 3 окружности с общим центром. Надо доказать, что Есть 3 окружности с общим центром. Проведем радиусы Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. В равнобедренном треугольнике Есть 3 окружности с общим центромотрезок Есть 3 окружности с общим центром— высота, а значит, и медиана, т. е. Есть 3 окружности с общим центром.

Теорема 20.2. Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.

Есть 3 окружности с общим центром

На рисунке 287 изображены прямая и окружность, которые на рисунке 287, а не имеют общих точек, на рисунке 287, б имеют две общие точки, на рисунке 287, в — одну.

Определение. Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Очевидно, что касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 287, в прямая Есть 3 окружности с общим центром— касательная, Есть 3 окружности с общим центром— точка касания.

Есть 3 окружности с общим центром

Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 288 изображен отрезок Есть 3 окружности с общим центром, который касается окружности в точке Есть 3 окружности с общим центром.

Теорема 20.3 (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Есть 3 окружности с общим центром

Доказательство: На рисунке 289 изображена окружность с центром Есть 3 окружности с общим центром, Есть 3 окружности с общим центром— точка касания прямой Есть 3 окружности с общим центроми окружности. Надо доказать, что Есть 3 окружности с общим центром.

Предположим, что это не так, то есть Есть 3 окружности с общим центром— наклонная к прямой Есть 3 окружности с общим центром. Тогда из точки Есть 3 окружности с общим центромопустим перпендикуляр Есть 3 окружности с общим центромна прямую Есть 3 окружности с общим центром(рис. 289). Поскольку точка Есть 3 окружности с общим центром— единственная общая точка прямой а и круга с центром Есть 3 окружности с общим центром, то точка Есть 3 окружности с общим центромне принадлежит этому кругу. Отсюда Есть 3 окружности с общим центромЕсть 3 окружности с общим центром. Получили противоречие: перпендикуляр Есть 3 окружности с общим центромбольше наклонной Есть 3 окружности с общим центром. Следовательно, Есть 3 окружности с общим центром.

Теорема 20.4 (признак касательной к окружности). Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Есть 3 окружности с общим центром

Доказательство: На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке Есть 3 окружности с общим центром, отрезок Есть 3 окружности с общим центром— ее радиус, точка Есть 3 окружности с общим центромпринадлежит прямой Есть 3 окружности с общим центром, Есть 3 окружности с общим центром. Докажем, что прямая Есть 3 окружности с общим центром— касательная к окружности.

Есть 3 окружности с общим центром

Пусть прямая Есть 3 окружности с общим центромне является касательной, а имеет еще одну общую точку Есть 3 окружности с общим центромс окружностью (рис. 291). Тогда Есть 3 окружности с общим центром— равнобедренный ( Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромравны как радиусы). Отсюда получаем противоречие: в треугольнике Есть 3 окружности с общим центроместь два прямых угла. Следовательно, прямая Есть 3 окружности с общим центромявляется касательной к окружности. Следствие. Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Часто при решении целого класса задач используют результат следующей задачи.

Если из данной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

Есть 3 окружности с общим центром

Решение:

На рисунке 292 изображена окружность с центром Есть 3 окружности с общим центром. Прямые Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром— касательные, Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром— точки касания. Надо доказать, что Есть 3 окружности с общим центром. Проведем радиусы Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромв точки касания. По свойству касательной Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центром. В прямоугольных треугольниках Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромкатеты Есть 3 окружности с общим центроми Есть 3 окружности с общим центромравны как радиусы одной окружности, Есть 3 окружности с общим центром— общая гипотенуза. Следовательно, Есть 3 окружности с общим центромпо гипотенузе и катету. Отсюда Есть 3 окружности с общим центром.

Общая схема решения задач на построение
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: