Любые две хорды окружности пересекаются

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Любые две хорды окружности пересекаютсяОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Любые две хорды окружности пересекаютсяСвойства хорд и дуг окружности
Любые две хорды окружности пересекаютсяТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Любые две хорды окружности пересекаютсяДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Любые две хорды окружности пересекаютсяТеорема о бабочке

Любые две хорды окружности пересекаются

Видео:Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CEСкачать

Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CE

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЛюбые две хорды окружности пересекаются
КругЛюбые две хорды окружности пересекаются
РадиусЛюбые две хорды окружности пересекаются
ХордаЛюбые две хорды окружности пересекаются
ДиаметрЛюбые две хорды окружности пересекаются
КасательнаяЛюбые две хорды окружности пересекаются
СекущаяЛюбые две хорды окружности пересекаются
Окружность
Любые две хорды окружности пересекаются

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЛюбые две хорды окружности пересекаются

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЛюбые две хорды окружности пересекаются

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЛюбые две хорды окружности пересекаются

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЛюбые две хорды окружности пересекаются

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЛюбые две хорды окружности пересекаются

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЛюбые две хорды окружности пересекаются

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЛюбые две хорды окружности пересекаютсяДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЛюбые две хорды окружности пересекаютсяЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЛюбые две хорды окружности пересекаютсяБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЛюбые две хорды окружности пересекаютсяУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЛюбые две хорды окружности пересекаютсяДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Любые две хорды окружности пересекаются

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЛюбые две хорды окружности пересекаются

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЛюбые две хорды окружности пересекаются

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЛюбые две хорды окружности пересекаются

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЛюбые две хорды окружности пересекаются

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЛюбые две хорды окружности пересекаются

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЛюбые две хорды окружности пересекаются

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Любые два диаметра окружности пересекаются. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любые два диаметра окружности пересекаются. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Любые две хорды окружности пересекаются

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЛюбые две хорды окружности пересекаются
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЛюбые две хорды окружности пересекаются
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЛюбые две хорды окружности пересекаются
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЛюбые две хорды окружности пересекаются

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Любые две хорды окружности пересекаются

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Пересекающиеся хорды
Любые две хорды окружности пересекаются
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Любые две хорды окружности пересекаются
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Любые две хорды окружности пересекаются
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Любые две хорды окружности пересекаются
Пересекающиеся хорды
Любые две хорды окружности пересекаются

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Любые две хорды окружности пересекаются

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Видео:Две окружности пересекаются, если радиус одной ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две окружности пересекаются, если радиус одной ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Тогда справедливо равенство

Любые две хорды окружности пересекаются

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Любые две хорды окружности пересекаются

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Любые две хорды окружности пересекаются

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Любые две хорды окружности пересекаются

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Любые две хорды окружности пересекаются

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Любые две хорды окружности пересекаются

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Любые две хорды окружности пересекаются

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Любые две хорды окружности пересекаются

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

Центральные и вписанные углы

Любые две хорды окружности пересекаются

О чем эта статья:

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Любые две хорды окружности пересекаются

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Любые две хорды окружности пересекаются

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Любые две хорды окружности пересекаются

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Любые две хорды окружности пересекаются

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Любые две хорды окружности пересекаются

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Любые две хорды окружности пересекаются

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Любые две хорды окружности пересекаются

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Любые две хорды окружности пересекаются

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Любые две хорды окружности пересекаются

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Любые две хорды окружности пересекаются

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Любые две хорды окружности пересекаются

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2Скачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Любые две хорды окружности пересекаются

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Любые две хорды окружности пересекаются

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Любые две хорды окружности пересекаются

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:8 класс. Хорды в окружности (теория)Скачать

8 класс. Хорды в окружности (теория)

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Любые две хорды окружности пересекаютсяОпределения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Любые две хорды окружности пересекаются

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Любые две хорды окружности пересекаются

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Любые две хорды окружности пересекаются

Видео:Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MCСкачать

Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MC

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Любые две хорды окружности пересекаются

Свойства касательной

Любые две хорды окружности пересекаются

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Любые две хорды окружности пересекаются

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

S=πR 2 , где π=3,14.

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Любые две хорды окружности пересекаются

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

S= π R 2 360 . . × α , где α – угол между радиусами.

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

🔍 Видео

Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?Скачать

Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕСкачать

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Задание 24 Две пересекающиеся окружностиСкачать

Задание 24 Две пересекающиеся окружности

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рисСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рис

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"
Поделиться или сохранить к себе: