Как сравнивать стороны треугольника (3 видео)

Треугольник. Соотношения между углами и сторонами треугольника.

Теорема.

Если любую сторону треугольника продолжить в одном направлении, то образовавшийся при этом внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Следствие из теоремы.

Если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то два других угла будут острые.

Теорема. В любом треугольнике:

1. Напротив равных сторон расположены одинаковые углы.

2. Напротив большей стороны расположен больший угол.

Следствия из теоремы.

2. В разностороннем треугольнике одинаковых углов нет.

Обратные теоремы. В каждом треугольнике:

1. Напротив одинаковых углов расположены одинаковые стороны.

2. Напротив большего угла расположена большая сторона.

Следствия

1. Равноугольный треугольник является и равносторонним.

2. В треугольнике сторона, расположенная напротив тупого или прямого угла, больше других сторон.

Содержание

Математика
Геометрия
Сумма углов треугольника
Внешние углы треугольника
Сравнение сторон и углов треугольника
Неравенство треугольника
📺 Видео

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Математика

85. Построим равнобедренный ∆ABC (чер. 92), у которого AB = BC. Тогда мы знаем, что его углы при основании равны, т. е. ∠A = ∠C. Пронумеруем эти углы, – тогда ∠1 = ∠2. Станем теперь строить новые треугольники ABC’, ABC» и т. д. так, чтобы сторона AB и ∠B оставались неизменными, но сторона BC увеличивалась. Тогда угол A должен увеличиваться (что очевидно), а угол C станет уменьшаться: мы видим, что ∠3 ∠3 или ∠3 ∠4 или ∠4 1) Если в треугольнике две стороны равны, то против них лежат равные углы.

2) Если в треугольнике две стороны не равны, то против большей из них лежит и больший угол.

86. Теперь, наоборот, построим: 1) треугольник с двумя равными углами и 2) треугольник с двумя неравными углами и сравним стороны, противолежащие этим углам. Для решения вопросов, здесь возникающих, воспользуемся способом рассуждения, часто употребляемым в математике.

1) Пусть ∆ABC (чер. 93) постоен так, что ∠A = ∠C. Сравнить стороны BC и BA.

Пока, не зная ничего про стороны AB и BC, мы можем сделать об них 3 предположения: 1) AB = BC, 2) AB > BC и 3) AB BC должно, на основании предыдущего п., повлечь за собою следствие, что ∠C > ∠A, а у нас построено: ∠C = ∠A. Следовательно, это предположение должно быть вычеркнуто. Также из 3-го предположения, что AB ∠C, что также противоречит нашему построению. Следовательно, и это предположение должно быть вычеркнуто. Остается поэтому лишь одно предположение, что AB = BC, которое и должно быть верно, так как иных сделать нельзя. Поэтому имеем:

Если в треугольнике два угла равны, то против них лежат равные стороны.

2) Пусть ∆ABC (чер. 93) постоен так, что ∠A > ∠C. Сравнить стороны BA и BC.
Опять мы можем сделать 3 предположения: 1) AB = BC, 2) AB > BC и 3) AB BC не годится, так как из него вытекало бы, что ∠C > ∠A, что противоречит построению. Остается лишь 3-е предположение, что AB Если два угла в треугольнике неравны, то против большего из них лежит большая сторона.

Теперь легко решаются вопросы: 1) какая из сторон прямоугольного треугольника самая большая? 2) Какая из сторон тупоугольного треугольника самая большая?

87. В двух предыдущих пп. мы имели дело с двумя положениями: 1) против большей стороны лежит больший угол и 2) против большего угла лежит большая сторона. Мы нашли, что эти мысли справедливы для одного треугольника. Возникает вопрос, справедливы ли они для двух треугольников ? Несомненно справедливы для двух равных треугольников , так как равные треугольники можно наложением слить в один треугольник. Но, вообще говоря, к двум различным (не равным) треугольникам эти положения не могут быть применимы: мы можем построить два таких треугольника ∆ABC и ∆A’B’C’ (чер. 94), чтобы ∠B был > ∠B’, но AC была бы Этот случай легко уясняется наглядно. Возьмем две палочки AB и BC (чер. 95 bis) и сложим их концами (в точке B). Если вращать палочку BC около точки B по стрелке, то ∠B станет увеличиваться: сторона BC будет менять свое положение (пусть одно из них есть BC’), но все время BC останется равным самому себе; не изменяется также и отрезок AB. Обратим внимание, что точками A и C определяется еще отрезок AC, на чертеже не изображенный. При вышеуказанном вращении точка C меняет свое место и нам ясно, что этот отрезок AC, не изображенный на чертеже, должен увеличиваться (напр. AC’ > AC), т. е., если 2 стороны треугольника не изменяются, а угол между ними увеличивается, то третья сторона так же увеличивается. В тексте этот случай выяснен без помощи такого наглядного представления.

Построим два таких треугольника, чтобы у них было по две равных стороны, но чтобы углы между ними не были равны. Пусть в ∆ABC и в ∆A’B’C’ (чер. 95) имеем AB = A’B’, BC = B’C’, но ∠B > ∠B’. Сравним стороны AC и A’C’, лежащие против неравных углов. Для этого наложим ∆A’B’C’ на ∆ABC так, чтобы сторона A’B’ совпала с равною ей стороною AB. Тогда сторона B’C’ должна пойти внутри ∠B, потому что ∠B’ отмеченного угла BDC при основании равнобедренного треугольника. Но ∠BCD = ∠BDC, следовательно, ∠ADC > ∠ACD. Поэтому на основании п. 86 (применяя его к ∆ACD) имеем AC > AD, но AD есть сторона A’C’, перенесенная в другое место, – следовательно, AC > A’C’.

3) Пусть ∆A’B’C’ при наложении займет положение ∆ABD (чер. 98), т. е. точка C’ расположится внутри ∆ABC. Тогда, соединив точки C и D, получим равнобедренный ∆CBD (BD = BC, ибо BD есть сторона B’C’, перенесенная в другое положение, а B’C’ = BC по построению) и, следовательно, ∠BCD = ∠BDC. Если продолжить стороны BD и BC по направлениям DM и CN, то получим два внешних угла этого равнобедренного треугольника ∠MDC и ∠NCD, но ∠MDC = ∠NCD, следовательно, ∠ADC > ∠ACD, а поэтому, на основании п. 86, имеем AC > AD, или AC > A’C’ (AD есть сторона A’C’, перенаправленная в другое положение).

Итак, во всех трех случаях оказалось, что

т. е., если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, но углы между ними не равны, то против большого угла лежит большая сторона.

88. Разберем обратный вопрос. Пусть построены ∆ABC и ∆A’B’C’ (чер. 95) так, что AB = A’B’, BC = B’C’, но AC > A’C’, т. е. два треугольника имеют по две равных стороны, но третьи стороны их не равны. Сравнить ∠B и ∠B’.
Воспользуемся тем же способом рассуждения, как в п. 86.

Пока мы можем об углах B и B’ сделать три предположения: 1) ∠B = ∠B’, 2) ∠B > ∠B’ и 3) ∠B ∠B’, которое и должно быть верно. Итак:

Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого, но третьи стороны этих треугольников не равны, то против большей стороны лежит и больший угол.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Геометрия

План урока:

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Сумма углов треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через В можно провести прямую a, параллельную АС. При этом прямые СВ и АВ окажутся секущими для двух параллельных прямых:

Известно, что секущие образуют пары накрест лежащие углы, причем они равны. Отметим на рисунке эти пары и обозначим их как ∠1, ∠2, ∠3 и ∠ 4.

Равные углы (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4) отметим одним цветом. Также обозначим ∠АВС как ∠5:

С одной стороны, углы 2, 4 и 5 вместе образуют развернутый угол, то есть их сумма равна 180°:

В результате мы получили, что сумма углов треугольника АВС в точности равна 180°! В итоге мы можем сформулировать следующую теорему:

Задание. В треуг-ке один угол равен 50°, а второй – 60°. Чему равен третий угол этого треуг-ка?

Решение. Обозначим углы треугольника как ∠1, ∠2 и ∠3.

Получили обыкновенное уравнение с одной переменной. Для его решения просто перенесем слагаемые 50° и 60° из левой части в правую:

Задание. Докажите, что у любого треуг-ка есть хотя бы один угол, который не превосходит 60°.

Решение. Докажем это утверждение методом «от противного». Пусть существует такой треуг-к, у которого каждый из углов больше 60°. Это можно записать в виде трех неравенств:

В итоге имеем, что в сумме эти углы больше 180°, а это невозможно. Это противоречие, следовательно, треуг-к с тремя углами, каждый из которых больше 60°, не существует.

Задание. Основанием рав-бедр. ∆АВС является сторона АС. Известно, что ∠В = 40°. Чему равны ∠А и ∠С этого треуг-ка?

Решение. Сначала необходимо вспомнить важное свойство – углы равнобедренного треугольника при его основании равны друг другу. В нашем случае это значит, что ∠А = ∠С:

Задание. Один из углов при основании рав-бедр. треуг-ка равен 50°. Найдите два других угла.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

Отдельного внимания заслуживает равносторонний треуг-к. Напомним, что у него равны все три стороны. Построим его:

Теперь подумаем о том, чему равны его углы. С одной стороны, мы можем рассматривать ∆АВС как рав-бедр. с основанием АС, ведь AB = BC. Тогда∠А = ∠С. Но с другой стороны, всё тот же ∆АВС мы можем одновременно считать и рав-бедр. с основанием АВ, ведь АС = ВС. Из этого следует, что ∠А = ∠С. В итоге получаем, что все три угла ∆АВС равны:

Итак, получили удивительный факт – в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°!

Рассмотрим чуть более сложную задачу, где неизвестен ни один из углов треуг-ка, однако известны некоторые соотношения между ними.

Задание. Первый угол треуг-ка больше второго в 2 раза, а третий равен сумме первых двух углов. Чему равны углы треуг-ка?

Решение. Для большей наглядности примем первый угол треуг-ка за неизвестную величину, то есть за х. Тогда второй угол будет равен 2х, а третий окажется равным их сумме:

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

Внешние углы треугольника

Построим некоторый треуг-к, а потом продлим одну из его сторон. На рисунке мы продлили сторону АС. В результате образуется угол, который называют внешним углом треугольника:

На рисунке видно, что ∠ВСD является внешним. Но одновременно можно утверждать и ещё один факт – углы ∠АСВ и ∠ВСD являются смежными. Это позволяет нам дать следующее определение:

В итоге мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуг-ка, которые с ним не смежны.

Задание. У ∆АВС ∠А = 50°, ∠В = 75°. Найдите величину внешнего угла, смежного с ∠С.

Решение. В данном случае, согласно доказанному нами правилу, достаточно просто сложить ∠А и ∠B:

Рассмотрим ещё несколько более тяжелых задач.

Задание. В ∆АВС проведены биссектрисы угловА и B. Они пересекаются в точке М. Известно, что ∠А = 58°, ∠B = 96°. Найдите ∠АМB.

Решение. Устно такую задачу не решить, поэтому построим рисунок:

АМ – это биссектриса, а она разбивает∠ВАС на два равных угла. Поэтому мы можем вычислить ∠ВАМ:

Отметим найденные углы на рисунке:

Обратите внимание на ∆АВМ, который выделен красным цветом. Теперь мы знаем два угла в нем. Значит, можно найти и третий! Запишем для ∆АВМ сумму его углов:

Задание. Построен внешний угол равнобедренного треугольника, который смежен с вершиной, лежащей против основания. Далее построили биссектрису этого внешнего угла. Докажите, что эта биссектриса будет параллельна основанию.

Решение. Выполним построение:

Пусть АС – это основание рав-бедр. ∆АВС. Тогда внешний угол должен быть проведен к вершине В, ведь именно она лежит против основания. Обозначим внешний угол как ∠СВD (для этого мы просто добавили точку Dна продолжение отрезка АВ). Далее проводим биссектрису ВК. Нам требуется доказать, что ВК||АС.

Поступим очень просто – обозначим неизвестную нам величину угла при основании как х. То есть

В результате мы получили, что и ∠С, и ∠CBK равны х, то есть они равны и друг другу. Однако эти углы являются накрест лежащими для прямых АС и ВК и секущей ВС. Из равенства накрест лежащих углов следует, что АС||ВК.

Задание. В ∆АВС проведена медиана АМ, причем ее длина равна ВМ. Найдите ∠А.

Решение. Напомним, что медиана – это прямая, разбивающая сторону на два равных отрезка. То есть ВМ = МС. По условию АМ = ВМ, значит, имеет место двойное равенство:

Посмотрите на рисунок – здесь есть сразу два рав-бедр. треуг-ка! Это ∆АВМ (с основанием АВ) и ∆АМС (с основанием АМС). Обозначим∠В как х, а ∠С – как у. Углы при основании рав-бедр. треуг-ков одинаковы, а потому

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Сравнение сторон и углов треугольника

Докажем следующую теорему:

Построим ∆АВС, в котором сторона АВ будет длиннее, чем АС. Нам надо доказать, что ∠С >∠B:

Выполним дополнительное построение – отметим на прямой АВ такую точку D, что AD = АС. Точка D будет располагаться на отрезке АВ, ведь АВ больше АС, а, значит, и больше АD. Также соединим C и D отрезком:

Теперь рассмотрим ∆ADC. Он является рав-бедр., ведь AD = AC. Из этого следует, что ∠ADC = ∠ACD.

Можно заметить, что ∠АDС является внешним углом для ∆BDC. Это значит, что

Мы доказали только первую часть теоремы. Теперь надо доказать обратное утверждение – против большего угла находится большая сторона треугольника. Предположим обратное, что существует ∆АВС, в котором ∠С>∠B, но не выполняется условие АВ >AC. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ AC.

Задание. В ∆АВС известны углы:

Запишите стороны этого треуг-ка в порядке возрастания.

Решение. Всё очень просто – чем больше сторона, тем против большего угла она лежит. Поэтому самая большая сторона – это АВ, вторая по длине – АС, а наименьшая сторона – ВС. То есть BС

Доказанная теорема помогает сформулировать важный признак рав-бедр. треуг-ка:

Действительно, против равных углов должны лежать равные стороны, в противном случае сложится ситуация, когда в треуг-ке против сторон разной длины будут лежать равные углы, что невозможно.

Задание. В рав-бедр. ∆АВС основанием является АС. Из точек А и С проведены биссектрисы, которые пересеклись в точке О. Докажите, что ∆АОС также является рав-бедр.

Ясно, что ∠ВАС = ∠ВСА, так как это углы при основании рав-бедр. ∆АВС. С другой стороны, ∠ОАС равен половине ∠ВАС, ведь АО – биссектриса:

В итоге имеем, что ∠ОАС и ∠АСО равны. Но тогда в ∆АОС есть два одинаковых угла, а потому он является рав-бедр. (АО = ОС).

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Неравенство треугольника

Следующая важная теорема называется неравенством треугольника:

Попробуем доказать неравенство треугольника. Возьмем произвольный ∆АВС и покажем, что сторона АВ меньше, чем величина ВС + АС. Для этого «дорисуем» к отрезку АС ещё один отрезок СD, равный BC, при этом АС и СD должны лежать на одной прямой:

Так как AD = АС + СD, то нам достаточно показать, что АВ

Получается, что в ∆АВD сторона АВ лежит против меньшего угла по сравнению со стороной АD. Значит, эта сторона должна быть меньше АD, что мы и пытаемся доказать.

Доказанная теорема означает, что не всякий треуг-к можно построить по его сторонам. Так, у нас никогда не получится построить треуг-к, у которого стороны равны 2, 3 и 7 см, так как одна из этих длин больше, чем сумма двух других:

Верно обратное утверждение – если все заданные длины удовлетворяют неравенству, то треуг-к построить можно.

Задание. Известны две стороны равнобедренного треугольника, они равны 25 и 10 см. Какая из них является основанием?

Решение. Рассмотрим сперва случай, когда основание равно 25 см. Тогда две другие стороны имеют длину 10 см. Их сумма (10 см + 10 см = 20 см) меньше основания. Такая ситуация невозможно из-за неравенства треуг-ка.

Ситуация же, при которой основание имеет длину 10 см, вполне допустима. Тогда две другие стороны равны 25 см, и для каждой стороны неравенство треуг-ка выполняется: