Любой треугольник равнобедренный софизм

Любой треугольник равнобедренный софизм

Софизм — доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н.э., достигших большого искусства в логике. Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное-то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать.

Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху. А вот два математических софизма.

«Доказательство», что все числа равны между собой.

Пусть а и b — произвольные числа и пусть а > b, тогда существует такое положительное число с, что а = b + с. Умножим это равенство на а — b и преобразуем полученное равенство:

а 2 — аb = аb + ас — b 2 — bс,
а 2 — аb — ас = аb — b 2 — bс,
а(а — b — с) = b(а — b — с).

Разделив обе части полученного равенства на (а — b — с), получим, что а = b. Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число (а — b — с), которое равно нулю.

«Доказательство», что все треугольники — равнобедренные.

Любой треугольник равнобедренный софизм
Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что ОА = ОС и OD = ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому ∠DАО = ∠ЕСО. В то же время ∠ОАС = ∠ОСА, так как треугольник АОС — равнобедренный. Получаем: ∠ВАС = ∠ОАО + ∠ОАС = ∠ЕСО + ∠ОСА = ∠ВСА.

Итак, угол ВАС равен углу ВС А, поэтому треугольник AВС-равнобедренный: АВ = ВС.

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного пересекаются вне этого треугольника.

И еще один пример софизма.

Любой треугольник равнобедренный софизм
Посмотрите на рис.2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого – 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки В, Е, F, D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки – той самой лишней клетки.

Видео:Все треугольники – равнобедренные (софизм)Скачать

Все треугольники – равнобедренные (софизм)

Любой треугольник равнобедренный софизм

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис.1 или 2 или 3); проведем биссектрису угла C, затем ось симметрии стороны AB (т.е. прямую, перпендикулярную к AB в середине M отрезка AB) и рассмотрим различные случаи взаимного расположения этих прямых; так как в рассуждениях участвуют только одна биссектриса и одна ось симметрии, то разрешим себе их называть просто «биссектриса» и «ось».

Случай 1: биссектриса и ось не пересекаются ,
т.е. либо параллельны, либо сливаются. Так как ось перпендикулярна к AB, т.е. совпадает с высотой, а в таком случае треугольник ABC — равнобедренный (CA=CB).

Случай 2: биссектриса и ось не пересекаются внутри
треугольника ABC
(рис.1), пусть в точке N. Так как эта точка равноудалена от сторон угла ACB, то, опустив из нее перпендикуляры NP и NQ соответственно на CB и CA, имеем NP=NQ. Любой треугольник равнобедренный софизмНо точка N в тоже время равноудалена от концов отрезка AB, т.е. NB=NA. Прямоугольные треугольники NPB и NQA равны по катету и гипотенузе, следовательно, угол NAQ равен углу NBP. Прибавляя к этим равным углам равные между собой (как углы при основании равнобедренного треугольника ANB) углы NAB и NBA, получим угол CAB, равный углу CBA, значит, треугольник ABC — равнобедренный (именно CA=CB).

Случай 3: биссектриса и ось пересекаются на стороне AB ,
т.е. в середине M этой стороны. Это означает, что в треугольнике ABC медиана и биссектриса, проведенные из вершины C, совпадают, а отсюда следует, что этот треугольник- равнобедренный.

Замечание.
Предостерегаем читателя от возможной ошибки. Хорошо известно, что в равнобедренном треугольнике медиана и биссектриса совпадают. Но мы ссылаемся здесь не не это, а на обратное утверждение: «если в треугольнике медиана и биссектриса , проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник — равнобедренный». В такой формулировке обратная теорема также верна, но доказательство ее может затруднить читателя, поэтому приводим одно из возможных. Пусть в треугольнике ABC отрезок CM — одновременно медиана и биссектриса. Опустив из точки M перпендикуляры MP и MQ на стороны CB и CA (можно воспользоваться рис. 1, считая там точки M и N совпадающими; при этом прямая MN становится лишней), получаем равные прямоугольные треугольники MPB и MQA, а затем из равенства углов MBP и MAQ заключаем, что треугольник ABC — равнобедренный. Это рассуждение будет неполным, если не показать, что точки P и Q попадут именно на стороны CB и CA, а не на их продолжения. Одна из точек могла бы попасть на продолжение соответсвующей стороны, если бы один из углов A и B был тупым. Пусть, например, угол B — тупой, так что точка P лежит на продолжении стороны CB; по-прежнему получается угол MAQ равен углу MBP, но теперь это приводит к противоречию, так как первый из этих углов — внутренний для треугольника ABC, а второй — внешний, с первым не смежный.

Любой треугольник равнобедренный софизм Любой треугольник равнобедренный софизм

Случай 4а: биссектриса и ось пересекаются вне треугольника ABC; перпендикуляры, опущенные из точки N пересечения на стороны CB и CA, падают на эти стороны (рис. 2), а не на их продолжения.
Как и раньше, получаем равные треугольники NPB и NQA, равнобедренный треугольникANB. Углы при основании AB треугольника ABC равны теперь как разности (а не как суммы в случае 2) соответственно равных углов.

Случай 4б: биссектриса и ось пересекаются вне треугольника ABC; перпендикуляры, опущенные из точки N переечения на стороны CB и CA , падают на продолжение этих сторон (рис. 3).
Те же построения и рассуждения приводят к выводу о равенстве внешних углов при вершинах A и B треугольника ABC. Отсюда сейчас же вытекает равенство внутренних углов A и B, следовательно, CA=CB.

Анализ примера.
Рассмотрены не все возможные случаи (Здесь и дальше, говоря о возможных допущениях или о возможных случаях, мы вовсе не утверждаем, что все они действительно возможны в условиях данного примера. Наоборот, не раз случается, что допущенный нами сначала в качестве возможного случай потом окажется фиктивным, т.е. противоречащим условию или тому, что считается установленным, как это часто бывает в доказательствах «от противного». Таким образом, речь идет всегда о так называемых «априорных возможностях » (от a priori- заранее), т.е. о возможностях, которые представляются заранее, до учета остальных условий вопроса. ), именно не учтена возможность того, что из двух перпендикуляров NP и NQ один упадет на сторону треугольника ABC, а другой — на продолжение стороны (рис. 4, где пока не надо принимать во внимание окружность). Если это произойдет, то один из углов при основании AB треугольника ABC окажется разностью двух углов, а другой будет смежным для суммы тех же углов — отсюда, разумеется, никаких выводов, относящихся к углам при основании, а значит, и к равенству боковых сторон, сделать нельзя. Достаточно установить этот пробел в доказательстве, для того чтобы оно было опорочено. Более того, если данный треугольник — неравнобедренный, то можно утверждать (рассуждая от противного), что все рассмотренные случаи (рис. 1, 2 и 3) невозможны, а единственно возможный случай (рис. 4) упущен.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Все треугольники — равнобедренные ! | Логические задачи

И вот доказательство:

Любой треугольник равнобедренный софизм

В произвольном треугольники проведём серпер (серединный перпендикуляр — примечание) к стороне AC и биссектрису угла В. Точку их пересечения обозначим О

Далее соединим точку О с точками А и В, а так же проведём из неё перпендикуляры на стороны треугольника.

Прямоугольные треугольники АОН и СОН равны по двум катетам. Из их равенства следует, что ОА=ОС

Прямоугольные треугольники ВОN и ВОМ равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует, что ON=OM и BN=BM

Прямоугольные треугольники АОN и COM равны по катету и гипотенузе (OA=OC и ON=OM). Из их равенства следует, что АN=CM

Т.к. AN=CM и BN=BM, то AN+NB=BM+MC или AB=BC. Итак, любой треугольник — равнобедренный!

Но вы спросите меня, а что если биссектриса и серпер пересекутся за пределами треугольника? Вот ответ:

Любой треугольник равнобедренный софизм

Ну так вот. Проводим все те же построения, что и в предыдущем случае. Только теперь перпендикуляры упадут на продолжения сторон.

Прямоугольные треугольники ВОN и BOM равны по гипотенузе и острому углу => BN=BM и ON=OM

Прямоугольные треугольники AОH и COH равны по двум катетам => OА=OС

Прямоугольные треугольники АОN и COM равны по катету и гипотенузе (OA=OC и ON=OM). Из их равенства следует, что АN=CM

Т.к. AN=CM и BN=BM, то NB-АN=BM-CM или AB=BC. Итак, любой треугольник — равнобедренный!

И снова находчивый читатель недоволен. А что если серпер и биссектриса пересекаются за пределом треугольника, но перпендикуляры падают на стороны треугольника, а не их продолжения? Вот что:

Любой треугольник равнобедренный софизм

Опять построения те же.

Прямоугольные треугольники ВОN и BOM равны по гипотенузе и острому углу => BN=BM и ON=OM

Прямоугольные треугольники AОH и COH равны по двум катетам => OА=OС

Прямоугольные треугольники АОN и COM равны по катету и гипотенузе (OA=OC и ON=OM). Из их равенства следует, что АN=CM

Т.к. AN=CM и BN=BM, то BN+NA=BM+MC или AB=BC. Итак, любой треугольник — равнобедренный!

на сей раз окончательно и безповоротно 🙂

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Все треугольники — равнобедренные ! | Логические задачи: 5 комментариев

Мой самый люимый софизм 🙂
Собственно первый софизм, с которым я столкнулся

📽️ Видео

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис Трушин

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

ПОМОГИТЕ ДОКАЗАТЬ Если две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренныйСкачать

ПОМОГИТЕ ДОКАЗАТЬ Если две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СОФИЗМСкачать

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СОФИЗМ

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Что скрывает фрактальный треугольник? // Vital MathСкачать

Что скрывает фрактальный треугольник? // Vital Math

Софизмы в геометрииСкачать

Софизмы в геометрии

Ил-76: где тела? Зеков не отпускают с войны, Перспективы Надеждина. Романова, Надеждин, БелковскийСкачать

Ил-76: где тела? Зеков не отпускают с войны, Перспективы Надеждина. Романова, Надеждин, Белковский

✓ Прямая Симсона в остроугольном треугольнике | В интернете опять кто-то неправ #011 | Борис ТрушинСкачать

✓ Прямая Симсона в остроугольном треугольнике | В интернете опять кто-то неправ #011 | Борис Трушин

Софистика. Не дай себя обмануть!Скачать

Софистика.  Не дай себя обмануть!

На ЕГЭ 2021 по математике все ТРЕУГОЛЬНИКИ будут РАВНОБЕДРЕННЫЕСкачать

На ЕГЭ 2021 по математике все ТРЕУГОЛЬНИКИ будут РАВНОБЕДРЕННЫЕ
Поделиться или сохранить к себе: