Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВписанные четырехугольники и их свойства
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоТеорема Птолемея
Содержание
  1. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  2. Теорема Птолемея
  3. Вписанная окружность
  4. Доказательство
  5. Доказательство
  6. Доказательство
  7. Доказательство
  8. Доказательство
  9. Доказательство
  10. Как доказать прямоугольник в окружность
  11. Прямоугольник
  12. Особое свойство прямоугольника
  13. Доказательство
  14. Теорема
  15. Доказательство
  16. Теорема
  17. Доказательство
  18. Как доказать что четырехугольник вписан в окружность
  19. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  20. Теорема Птолемея
  21. Вписанный четырехугольник. Средний уровень
  22. Следствие 1
  23. Следствие 2
  24. Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы
  25. P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
  26. Комментарии
  27. Вписанный четырехугольник. Средний уровень
  28. Следствие 1
  29. Следствие 2
  30. Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы
  31. P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
  32. Комментарии
  33. Прямоугольник. Онлайн калькулятор
  34. Свойства прямоугольника
  35. Диагональ прямоугольника
  36. Окружность, описанная около прямоугольника
  37. Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
  38. Периметр прямоугольника
  39. Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
  40. Признаки прямоугольника

Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность, описанная около параллелограмма
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
Окружность, описанная около параллелограмма
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Докажем, что справедливо равенство:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

откуда вытекает равенство:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС.

Доказать: в Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

2. Точка О равноудалена от сторон Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС выражается формулой: Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство, где Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство— периметр Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоАВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствои ВС + АD = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Как доказать прямоугольник в окружность

Видео:Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольникСкачать

Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник

Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

ABCD — прямоугольник.

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны

Доказательство

Дано: ABCD — прямоугольник

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Рассмотрим Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоABD иЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоACB: ABCD — прямоугольник, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоА и Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоB — прямые, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоABD иЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоACBпрямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоABD =Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.

Теорема

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Рассмотрим Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоABD иЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоACB:

AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоABD =Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоB. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоC и Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВ = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоD, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВ = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоC = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоD (1). Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA + Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВ + Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоC + Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоD = 360 0 (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВ = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоC = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоD = 90 0 , Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Теорема

Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA = 90 0

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 , т.е. Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA + Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВ = 180 0 , Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВ = 180 0 Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA = 180 0 90 0 = 90 0

Противолежащие углы параллелограмма равны, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоA = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоC = 90 0 и Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВ = Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоD = 90 0

Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Как доказать что четырехугольник вписан в окружность

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоВписанные четырехугольники и их свойства
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоТеорема Птолемея

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность, описанная около параллелограмма
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
Окружность, описанная около параллелограмма
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Докажем, что справедливо равенство:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

откуда вытекает равенство:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЧетырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Пусть . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть — всегда! . Но , → .

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и ? Ну, то же самое конечно.

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны , то есть это прямоугольник!

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять , но из-за параллельности прямых и .

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Видео:Прямоугольник в окружностиСкачать

Прямоугольник в окружности

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

На нашем рисунке –

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Получаем, что если – вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет . (нужно так же рассмотреть и ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких – то двух противоположных углов равна . Скажем, пусть

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка – снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке . Соединим и . Получился вписанный (!) четырехугольник .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна , то есть , а по условию у нас .

Получается, что должно бы быть так, что .

Но это никак не может быть поскольку – внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке . Снова – вписанный четырехугольник , а по условию должно выполняться , но — внешний угол для и значит, , то есть опять никак не может быть так, что .

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что .

И то же самое, естественно, касательно углов и .

Вот и получился прямоугольник – все углы по .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

а значит, – центр. Вот и всё.

Видео:Любой квадрат можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой квадрат можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Трапеция , вписанная в окружность – равнобокая .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Видео:ОГЭ вариант-6 #13Скачать

ОГЭ вариант-6 #13

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

Спасибо, Ольга. Автори интересных учебников пишут. Просто их не так много)

Хотелось бы поблагодарить составителей статьи: подача материала очень интересна и необычна, и сам он легко усваивается!

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЧетырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Пусть . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть — всегда! . Но , → .

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и ? Ну, то же самое конечно.

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны , то есть это прямоугольник!

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять , но из-за параллельности прямых и .

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Видео:В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

На нашем рисунке –

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Получаем, что если – вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет . (нужно так же рассмотреть и ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких – то двух противоположных углов равна . Скажем, пусть

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка – снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке . Соединим и . Получился вписанный (!) четырехугольник .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна , то есть , а по условию у нас .

Получается, что должно бы быть так, что .

Но это никак не может быть поскольку – внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке . Снова – вписанный четырехугольник , а по условию должно выполняться , но — внешний угол для и значит, , то есть опять никак не может быть так, что .

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Видео:№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограммСкачать

№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что .

И то же самое, естественно, касательно углов и .

Вот и получился прямоугольник – все углы по .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

а значит, – центр. Вот и всё.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Видео:Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Трапеция , вписанная в окружность – равнобокая .

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Видео:Диагонали любого прямоугольника равны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Диагонали любого прямоугольника равны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

Спасибо, Ольга. Автори интересных учебников пишут. Просто их не так много)

Хотелось бы поблагодарить составителей статьи: подача материала очень интересна и необычна, и сам он легко усваивается!

Видео:№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.Скачать

№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствов (2), получим:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Ответ: Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствов (4), получим:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Ответ: Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствов (5), получим:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Ответ: Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(6)
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(8)
Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствоЛюбой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac >d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство, а периметр равен Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствов (11):

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Подставляя значения Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствои Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствов первую формулу (12), получим:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствои Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательствов формулу, получим:

Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Ответ: Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство, Любой прямоугольник можно вписать в окружность доказательство

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Поделиться или сохранить к себе: