Найти биссектрису треугольника калькулятор

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Найти биссектрису треугольника калькулятор

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Найти биссектрису треугольника калькулятор

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Найти биссектрису треугольника калькулятор

Доказательство. Проведем биссектрисы AA1, BB1 и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC1 (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Найти биссектрису треугольника калькулятор

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Найти биссектрису треугольника калькулятор

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

Найти биссектрису треугольника калькулятор

где p − полупериметр треугольника ABC, ( small gamma -) угол между биссектрисой ( small l_c) и вершиной ( small h_c:)

Найти биссектрису треугольника калькулятор, Найти биссектрису треугольника калькулятор

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

Найти биссектрису треугольника калькулятор(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если lc является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

Найти биссектрису треугольника калькулятор(2)

Поскольку Найти биссектрису треугольника калькуляторто (2) можно переписать так:

Найти биссектрису треугольника калькулятор(3)
Найти биссектрису треугольника калькулятор
Найти биссектрису треугольника калькулятор(4)
Найти биссектрису треугольника калькулятор
Найти биссектрису треугольника калькулятор(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

Найти биссектрису треугольника калькуляторНайти биссектрису треугольника калькулятор
Найти биссектрису треугольника калькулятор.(6)
Найти биссектрису треугольника калькулятор.Найти биссектрису треугольника калькулятор

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

Найти биссектрису треугольника калькуляторНайти биссектрису треугольника калькуляторНайти биссектрису треугольника калькуляторНайти биссектрису треугольника калькулятор,
Найти биссектрису треугольника калькулятор.(7)
Найти биссектрису треугольника калькулятор.Найти биссектрису треугольника калькулятор(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

Найти биссектрису треугольника калькулятор.(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

Найти биссектрису треугольника калькуляторНайти биссектрису треугольника калькулятор.
Найти биссектрису треугольника калькулятор.Найти биссектрису треугольника калькулятор(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

Найти биссектрису треугольника калькулятор,
Найти биссектрису треугольника калькулятор,
Найти биссектрису треугольника калькулятор.

Учитывая, что Найти биссектрису треугольника калькулятор, получим:

Найти биссектрису треугольника калькуляторНайти биссектрису треугольника калькулятор
Найти биссектрису треугольника калькулятор.
Найти биссектрису треугольника калькулятор.(11)

Для ( small sin C ) применим формулу синуса двойного угла:

Найти биссектрису треугольника калькулятор.(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

Найти биссектрису треугольника калькуляторНайти биссектрису треугольника калькулятор.
Найти биссектрису треугольника калькулятор.Найти биссектрису треугольника калькулятор(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

Найти биссектрису треугольника калькулятор.
Найти биссектрису треугольника калькулятор.

Остается показать, что Найти биссектрису треугольника калькулятор.

Поскольку биссектриса lc делит угол C пополам, то:

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Биссектриса треугольника

Видео:Как найти биссектрису в треугольнике? 2 формулы биссектрисыСкачать

Как найти биссектрису в треугольнике?  2 формулы биссектрисы

Онлайн калькулятор для расчёта биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла который делит этот угол на два равных угла. Биссектрисе также можно дать определение, что это геометрическое место точек внутри угла, которые равноудалены от сторон этого угла.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

В старом советском мультфильме для упрощения изучения данного термина, биссектрисе давалось такое определение: Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Формула биссектрисы треугольника

Для расчёта длины биссектрисы треугольника применяется следующая формула:

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Биссектриса треугольника

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Найти биссектрису треугольника калькулятор

Смотрим рисунок. Вершины треугольника обычно обозначают заглавными буквами A, B, C, а строчными буквами a, b, c — длины противоположных сторон. То есть, сторона AB — c, AC — b, BC — a.

Формула длины биссектрисы L угла при вершине C:

🎦 Видео

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

КАК РАЗМЕТИТЬ ФУНДАМЕНТ СВОИМИ РУКАМИ / КАК НАЙТИ ДИАГОНАЛИ ФУНДАМЕНТА / КАК ВЫСТАВИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ /Скачать

КАК РАЗМЕТИТЬ ФУНДАМЕНТ СВОИМИ РУКАМИ / КАК НАЙТИ ДИАГОНАЛИ ФУНДАМЕНТА / КАК ВЫСТАВИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ /

Найдите биссектрису треугольникаСкачать

Найдите биссектрису треугольника

Шины ОГЭ 2023. Задания 1-5 ОГЭ по математикеСкачать

Шины ОГЭ 2023. Задания 1-5 ОГЭ по математике

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

КАК СДЕЛАТЬ ПРАВИЛЬНО ДВУСКАТНУЮ КРЫШУ / ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА СБОРКИ КРЫШИ / КАК СДЕЛАТЬ КРЫШУ САМОМУ /Скачать

КАК СДЕЛАТЬ ПРАВИЛЬНО ДВУСКАТНУЮ КРЫШУ /  ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА СБОРКИ КРЫШИ / КАК СДЕЛАТЬ КРЫШУ САМОМУ /

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

№102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.Скачать

№102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 класс
Поделиться или сохранить к себе: