Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любой параллелограмм можно вписать в окружность» — неверно, поскольку в окружность можно вписать только параллелограмм у которого сумма противоположных углов равна 180°.

2) «Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, верно по признаку параллельности прямых.

3) «Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей» — неверно, поскольку эта точка удалена от каждой из окружностей на расстояние, равное их радиусам.

Видео:Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задание №20 ОГЭ по математике

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Анализ геометрических высказываний

В 20 задании из приведенных утверждений необходимо выбрать одно или несколько правильных. Утверждения из общего теоретического курса геометрии, поэтому, какие-то определенные рекомендации здесь дать нельзя, кроме как полного повторения теоретического курса. Другое дело, что если вы точно не знаете какое-либо утверждение, то решить задачу можно наоборот — выбирая и отсеивая неправильные. Это задание не имеет какого либо подхода к решению, однако ниже я привел несколько разобранных задач.

Разбор типовых вариантов задания №20 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Все диаметры окружности равны между собой.
  2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
  3. Любые два равносторонних треугольника подобны.
Решение:

Все диаметры окружности всегда равны между собой — это даже интуитивно понятно. Что касается второго утверждения, то оно неверно — вписанный угол всегда в два раза меньше центрального. А вот третье утверждение тоже верно — треугольники могут быть подобны по трем углам, а у равносторонних треугольников они всегда равны.

Второй вариант задания

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Все высоты равностороннего треугольники равны.
  2. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
  3. Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
Решение:

Первое утверждение верно, так как у равностороннего треугольника все стороны равнозначны, а значит и все элементы, проведенные к ним, тоже. Второе утверждение тоже верно, так как нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку. Третье утверждение неверно — если диагонали равны, то это либо прямоугольник, либо квадрат.

Третий вариант задания

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
  2. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
  3. Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую.
Решение:

Первое утверждение верно из общих свойств треугольника — сумма двух сторон всегда больше третьей. Второе утверждение тоже верно — действительно, любой прямоугольник можно вписать в окружность. Третье утверждение неверно, так как я писал уже чуть выше, что нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку.

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Укажите номера верных утверждений.

  1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
  2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
  3. Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
  4. В любом параллелограмме диагонали равны.
Решение:

Проанализируем каждое из утверждений:

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Да, такое утверждение в геометрии есть, с дополнением » и только одну» :

«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой, и причем только одну.»

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Для существования треугольника должно выполняться следующее правило:

Сумма двух сторон всегда больше третьей. В данном случае это не так, так как 1 + 2

Четвертый вариант задания

Какое из следующих утверждений верно?

1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

2) Смежные углы всегда равны.

3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Решение:

Проанализируем каждое утверждение.

1) Это утверждение верно, поскольку равенство и перпендикулярность диагоналей является одним из свойств именно квадрата.

2) Это утверждение неверно. Основание – соответствующая теорема, которой утверждается, что смежные углы в сумме имеют 180 0 , т.е. дополняют друг друга до развернутого угла. Следовательно, равенство смежных углов может иметь место только в случае, если достоверно известно, что один из них прямой.

3) Утверждение неверно. Высотой является только биссектриса, опущенная на основание равнобедренного треугольника.

Пятый вариант задания

Какое из следующих утверждений верно?

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Решение:

Выполняем анализ утверждений.

1) Согласно теореме о смежных углах, их сумма всегда равна 180 0 . Это означает, что любой из смежных углов является разностью 180 0 и величины 2-го смежного угла. Если первый смежный угол острый, значит, второй равен разности 180 0 и острого угла (т.е. угла, меньшего 90 0 ), которая в любом случае окажется больше 90 0 . А угол, больший 90 0 , по определению тупой. Итак, утверждение неверно.

2) Одно из свойств ромба заключается в том, что его диагонали перпендикулярны. Однако и диагонали квадрата тоже пересекаются под прямым углом. Но поскольку квадрат является частным случаем ромба, то и в этом противоречия заданному утверждению нет. Т.е. в целом утверждение верно.

3) Одно из основных св-в касательных к окружности заключается в том, что касательная всегда перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра этой окружности в точку касания. Оно противоречит заданному утверждению, поэтому утверждение неверно.

Видео:№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.Скачать

№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Любой параллелограмм можно вписать в окружность еслиВписанные четырехугольники и их свойства
Любой параллелограмм можно вписать в окружность еслиТеорема Птолемея

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность если

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Окружность, описанная около параллелограмма
Любой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Любой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Любой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Любой параллелограмм можно вписать в окружность еслиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Любой параллелограмм можно вписать в окружность если
Окружность, описанная около параллелограмма
Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность если

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность если

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность если

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЛюбой параллелограмм можно вписать в окружность если

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Видео:№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограммСкачать

№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Докажем, что справедливо равенство:

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если

откуда вытекает равенство:

Любой параллелограмм можно вписать в окружность если(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

📸 Видео

Когда в параллелограмм можно вписать окружность. 15 задание ОГЭСкачать

Когда в параллелограмм можно вписать окружность. 15 задание ОГЭ

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Площадь любого параллелограмма равна произведению длин ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь любого параллелограмма равна произведению длин ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Решение задания №19 варианта 2 из ОГЭ по математике Ященко 36 вариантов ФИПИ 2023 Ответы ГДЗСкачать

Решение задания №19 варианта 2 из ОГЭ по математике Ященко 36 вариантов ФИПИ 2023 Ответы ГДЗ

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

Вариант 12. Номер 19. ОГЭ по Математике 2024 Ященко. №40894Скачать

Вариант 12. Номер 19. ОГЭ по Математике 2024 Ященко. №40894

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задание 19. Решение заданий варианта 21 из сборника ОГЭ 2022 математика под редакцией И.В. Ященко.Скачать

Задание 19. Решение заданий  варианта 21 из сборника ОГЭ 2022 математика под редакцией И.В. Ященко.
Поделиться или сохранить к себе: