Линия пересечения окружности и конуса

Чертежик
Содержание
  1. Метки
  2. Пересечение конуса и сферы пошаговое построение
  3. Взаимное пересечение поверхностей тел с примерами и образцами выполнения
  4. Пересечение прямой линии с поверхностями тел
  5. Линии пересечения и перехода
  6. Общие правила построения линий пересечения поверхностей
  7. Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
  8. Пересечение цилиндрических поверхностей
  9. Пересечение поверхностей многогранников
  10. Пересечение поверхностей цилиндра и конуса
  11. Пересечение поверхностей сферы и цилиндра
  12. Пересечение поверхностей тора и цилиндра
  13. Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер
  14. Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения
  15. Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения
  16. Частные случаи пересечения поверхностей
  17. Пересечение соосных геометрических тел
  18. Способ вспомогательных эксцентрических сфер
  19. 📹 Видео

Метки

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)

Пересечение конуса и сферы пошаговое построение

Пересечение конуса и сферы в данной статье выполняется методом вспомогательных секущих плоскостей. Ниже представлено задание на определение линии пересечения фигур.

Линия пересечения окружности и конуса

Порядок построения на пересечение конуса и сферы:

Первоначально находятся точки в нижнем изображении, затем полученные точки переносятся в верхнее изображение.

1.) Чертятся фигуры согласно заданию.

Линия пересечения окружности и конуса

2.) Строятся и подписываются вспомогательные секущие плоскости. Можно указать первую точку, она находится в верхней части соприкосновения фигур. Смотрите на рисунок снизу.

Линия пересечения окружности и конуса

3.) Плоскость «а» пересекает две фигуры (обозначено синим цветом). Чертятся окружности (синим цветом показаны) на нижнем изображении, опущенные от крайних точек фигур. В месте пересечения ставятся точки.

Линия пересечения окружности и конуса

4.) Плоскость «m» (имеет сиреневый цвет) пересекла данные фигуры. В нижнем изображении также чертятся окружности (сиреневый цвет) и в месте пересечения указываются точки.

Линия пересечения окружности и конуса

5.) Плоскость «n». Повторяются операции выполняемых в пунктах 4 и 3.

Линия пересечения окружности и конуса

6.) Указывают последнюю точку, расположенная в нижней части пересечения фигур

Линия пересечения окружности и конуса

7.) Все найденные точки переносятся из нижнего изображения в верхнее. Для более понятного представления я не зря показал линии разными цветами.

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

8.) Соединяются точки плавной линией. Соединив, можно уже увидеть как выглядит линия пересечения.

Линия пересечения окружности и конуса

9.) Завершающим шагом является удаление всех дополнительных линий с последующим обведением контуров фигур.

Не стоит забывать про видимые и невидимые линии чертежа и их применение.

Кода все сделано, можно взглянуть на полученный чертеж.

Видео:Метод эксцентрических сферСкачать

Метод эксцентрических сфер

Взаимное пересечение поверхностей тел с примерами и образцами выполнения

Содержание:

Взаимное пересечение поверхностей. Поверхности могут взаимно пересекаться. При этом линии одной поверхности пересекаются с другой поверхностью и образуют точки, которые в совокупности представляют линию пересечения.

Видео:Пересечение конуса и сферы. Пошаговое видео. Инженерная графикаСкачать

Пересечение конуса и сферы. Пошаговое видео. Инженерная графика

Пересечение прямой линии с поверхностями тел

Конструкции деталей можно рассматривать как сочетание различных геометрических тел. Необхо­димо уметь строить линии пересечения поверхнос­тей этих тел. Пример, где требуется подобное по­строение, показан на рис. 195, на котором изо­бражен бункер, ограниченный цилиндрической поверхностью А, пересекающейся с конической поверхностью Б и поверхностью пирамиды В.

В зависимости от вида поверхностей тел линии пересечения могут быть лекальными кривыми или ломаными.

Для решения задач на построение линий пере­сечения поверхностей необходимо предварительно усвоить построение точек пересечения прямой с поверхностями различных геометрических тел.

Линия пересечения окружности и конуса

Если прямая пересекается с поверхностью тела, получаются две точки, одновременно принадлежа­щие как поверхности тела, так и прямой линии. Такие точки называются точками входа и выхода (рис. 196. а; точки N и М). Для нахождения этих точек выполняются построения в следующем по­рядке.

Через данную прямую проводят вспомогатель­ную плоскость (обычно проецирующую). Напри­мер, на рис. 196, а, где изображено пересечение прямой АВ с поверхностью пирамиды, через пря­мую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Р. Затем находят линии пересечения вспомогательной плоскости с повер­хностью данного геометрического тела (линии КС и ЕD). На пересечении полученных линий с за­данной прямом находят искомые точки (точки N и М).

На комплексном чертеже точки входа и выхода определяют следующим образом (рис. 196. б). Горизонтальные проекции kс и ed прямых КС и ED совпадают с горизонтальным следом плоскости РH. Фронтальные проекции точек k‘, с’, е’ и d определяют, пользуясь вертикальными линиями связи, проведенными из точек k, с, е и d до пере­сечения с фронтальными проекциями основания пирамиды. Соединяют точки k с с’ и е’ с d прямыми. На пересечении фронтальных проекций найденных прямых с проекцией а’Ь’ данной пря­мой получают фронтальные проекции n‘ и т’ искомых точек входа и выхода. Проведя через них вертикальные линии связи, находят горизонталь­ные проекции п и т этих точек.

Линия пересечения окружности и конуса

В некоторых частных случаях можно обой­тись без применения вспомогательной плоскос­ти. Например, точки входа и выхода прямой АВ с поверхностью прямого кругового цилин­дра (рис. 197, а) определяют следующим образом.

Горизонтальная проекция цилиндрической по­верхности представляет собой окружность, поэто­му горизонтальные проекции всех точек, располо­женных на цилиндрической поверхности, в том числе и двух искомых точек, будут расположены на этой окружности (рис. 197, а).

Фронтальные проекции n и m искомых точек определяют, проводя через точки n и m верти­кальные линии связи до встречи с данной фрон­тальной проекцией а’Ь’ прямой АВ.

На рис. 197, б, в показано построение точек входа и выхода прямой АВ и поверхности прямого кругового конуса. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Р, проходящую через вершину конуса. Плоскость Р пересечет конус по образующим SH3 SH4.

На комплексном чертеже изображение плос­кости Р строят следующим образом. На прямой АВ берут произвольную точку К и соединяют ее с вершиной S конуса прямой линией. Две пересе­кающиеся прямые АВ и SK определяют плоскость Р.

Чтобы найти точки входа и выхода, необходимо построить горизонтальные проекции образующих SH3 и SH4. Для этого продолжим s’k’ и а’b до пересечения с осью х в точках h2 и h1. Опустим линию связи из точки k до пересечения с ab, полученную точку k соединим с s. Продлим гори­зонтальную проекцию прямой SK до пересечения с линией связи, опушенной из точки h2, получим точку h2. Из точки h1 проведем линию связи до пересечения с продолжением прямой ab, получим точку h1. Через следы h1 и h2 пройдет горизон­тальный след плоскости Р. Точки h1 и h2 соеди­ним прямой и получим горизонтальный след РН плоскости Р.

Основание конуса является горизонтальным следом конической поверхности. Поэтому, опреде­лив точки пересечения этого следа со следом РН плоскости Р, можно найти и те две образующие, по которым коническая поверхность пересекается вспомогательной плоскостью Р. На комплексном чертеже горизонтальная проекция основания ко­нуса (окружность) пересекается со следом РН в точках h3 и h4. Эти точки соединяют с вершиной s и получают следы sh3 и sh4 образующих SH3 и SH4.

На пересечении найденных образующих с дан­ной прямой АВ находят искомые точки М и N точки входа и выхода прямой АВ с конической поверхностью.

Горизонтальные проекции точек т и n находят на пересечении горизонтальных проекций обра­зующих sh3 и sh4 с горизонтальной проекцией прямой ab. Через точки m и n проводят вертикальные линии связи до пересечения а’b и нахо­дят фронтальные проекции т‘ и n точек входа и выхода.

Линия пересечения окружности и конуса

Точки входа и выхода прямой АВ с повер­хностью сферы (рис. 198) находят, проведя через прямую АВ вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р.

Вспомогательная плоскость Р пересекает сферу по окружности, которая проецируется на плос­кость Н в виде эллипса, что затрудняет построе­ние. Поэтому в данном случае необходимо приме­нить способ перемены плоскостей проекций. Но­вую плоскость проекций выбирают так, чтобы вспомогательная плоскость Р была бы ей парал­лельна, т.с. следует провести новую ось проекций x1 так. чтобы она была параллельна фронтальной проекции а’b прямой АВ (для упрощения по­строении на рис. 198 ось x1 проведена через про­екцию а’b‘).

Затем необходимо построить новую горизон­тальную проекцию a1b1 прямой АВ и новую го­ризонтальную проекцию окружности диаметра D, по которой плоскость Р пересекает сферу. На пересечении новых горизонтальных проекций двух искомых точек m> и n> Обратным построе­нием определяем фронтальные т’ и n и горизон­тальные т и п проекции точек входа и выхода.

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Построение линии пересечения поверхности конуса с проецирующей плоскостьюСкачать

Построение линии пересечения поверхности конуса с проецирующей плоскостью

Линии пересечения и перехода

Многие детали машин представляют собой кон­струкции из пересекающихся геометрических тел. Общая линия пересекающихся поверхностей на­зывается линией пересечения.

На чертежах линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией (рис. 199, а). В местах перехода поверхностей литых и штампованных деталей нет четкой линии пересечения. Воображаемая линия пересечения называется линией перехода и условно изобража­ется на чертежах сплошной тонкой линией. Эта линия начинается и заканчивается в точках пере­сечения продолжения контура взаимно пересека­ющихся поверхностей (рис. 199. б).

Линия пересечения окружности и конуса

Встречаются детали, имеющие всевозможные линии пересечения и перехода поверхностей. Особенно много линий перехода у поверхностей дета­лей, изготовленных литьем.

На рис. 200, а на приборе для испытания твер­дости видны линии переходов различных повер­хностей.

Кожух и крышка смесительного аппарата (рис. 200. б) имеют разнообразные линии перехо­да. Здесь можно видеть линии взаимного пересе­чения цилиндрических и других поверхностей.

Построение линий пересечения и перехода поверхностей при выполнении чертежей трубопрово­дов, вентиляционных устройств, резервуаров, кожухов машин, станков требует точности.

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Линия пересечения поверхностей конуса и сферы (метод секущих плоскостей)Скачать

Линия пересечения поверхностей конуса и сферы (метод секущих плоскостей)

Общие правила построения линий пересечения поверхностей

Метод построения линий пересечения повер­хностей тел заключается в проведении вспомога­тельных секущих плоскостей и нахождении от­дельных точек линий пересечения данных повер­хностей в этих плоскостях.

Построение линии пересечения поверхностей тел начинают с нахождения очевидных точек. Например, на рис. 201, где изображены линии пересечения призмы с конусом, такими точками являются точки А и В. Затем определяют харак­терные точки, расположенные, например, на очерковых образующих поверхностей вращения или крайних ребрах, отделяющих видимую часть линий перехода от невидимой. На рис. 201 это точки С и D. Они располагаются на крайних ребрах верхней горизонтальной грани призмы.

Все остальные точки линии пересечения назы­ваются промежуточными (например, точки Е и F). Обычно их определяют с помощью вспомога­тельных параллельных секущих плоскостей (рис. 201, а).

В качестве вспомогательных плоскостей выби­рают такие плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям — пря­мым или окружностям, причем окружности до­лжны располагаться в плоскостях, параллельных плоскостям проекций.

В данном примере плоскость Р рассекает конус по окружности (рис. 201, в), с помощью которой находят горизонтальные проекции точек е и f.

Во всех случаях. перед тем как строить линию пересечения поверхностей на чертеже, необходи­мо представить себе эту линию в пространстве (рис. 201, б).

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Линия пересечения двух поверхностей вращения (Метод вспомогательных сфер)Скачать

Линия пересечения двух поверхностей вращения (Метод вспомогательных сфер)

Пересечение поверхностей цилиндра и призмы

На рис. 202 показано построение проекции линий пересечения поверхности треугольной при­змы с поверхностью прямого кругового цилиндра. Боковые грани призмы перпендикулярны плоскос­ти V (рис. 202, а), поэтому фронтальная проекция линий пересечения поверхностей этих тел совпа­дает с фронтальной проекцией основания призмы. Горизонтальные проекции линий пересечения поверхностей совпадают с горизонтальной проек­цией цилиндра и являются окружностью. Про­фильные проекции точек А и Е находим по гори­зонтальным и фронтальным проекциям с по­мощью линий связи. Для построения проекций промежуточных точек В, С, D используем вспомо­гательные секущие плоскости РV, РV1 и РV2, c помощью которых находим фронтальные проек­ции b‘, с’. d точек B, С. D.

В данном примере можно обойтись без вспомо­гательных секущих плоскостей, намечая произво­льно на фронтальной проекции точки b‘, с’, d‘.

Опуская линии связи на горизонтальную проек­цию, находим горизонтальные проекции с, Ь, d точек С, В, D. На профильной проекции с помощью линий связи находим проекции Ь», с”, d«.

На рис. 202, б показано построение изометри­ческой проекции. После построения изометричес­кой проекции цилиндра, используя размеры т и п (рис. 202, а), строят изометрическую проекцию основания призмы, на котором находят точки 1, 2. 3. 4. 5. От этих точек откладывают расстояния 1«е». 2“d« и т.п., взятые с профильной проекции комплексного чертежа, и находят точки А, В. С, D. Е

На изометрической проекции линия пересече­ния поверхностей цилиндра и призмы получается соединением точек А, В. С, D, Е, которые строят­ся но координатам, взятым с комплексного чертежа.

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и призма (Метод секущих плоскостей)Скачать

Линия пересечения двух поверхностей конус и призма (Метод секущих плоскостей)

Пересечение цилиндрических поверхностей

При выполнении машиностроительных черте­жей наиболее часто встречается случай пересече­ния двух цилиндрических поверхностей, оси кото­рых расположены под углом 90 0 .

Разберем пример построения линии пересече­ния поверхностей двух прямых круговых цилин­дров. оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций (рис. 203, а).

В начале построения, как известно, находим проекции очевидных точек 1, 7 и 4.

Построение проекций промежуточных точек показано на рис. 203, б. Если в данном примере применить общий способ построения линий пере­сечения с помощью вспомогательных взаимно параллельных плоскостей, пересекающих обе цилин­дрические поверхности по образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены искомые промежуточные точки линии пересече­ния (например, точки 2, 3, 5 на рис. 203, а). Од­нако в данном случае выполнять такое построение нет необходимости по следующим соображениям.

Горизонтальная проекция искомой линии пере­сечения поверхностей совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией большого цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью — профильной проекци­ей малого цилиндра. Таким образом, фронталь­ную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек извес­тны. Например, по горизонтальной проекции точ­ки 3 (рис. 203, б) находят профильную проекцию 3″. Но двум проекциям 3 и 3″ определяют фрон­тальную проекцию 3′ точки 3. принадлежащей линии пересечения цилиндров.

Построение изометрической проекции пересека­ющихся цилиндров начинают с построения изометрической проекции вертикального цилин­дра. Далее через точку а1 параллельно оси х про­водят ось горизонтального цилиндра. Положение точки О1 определяется величиной h1, взятой с комплексного чертежа (рис. 203, б). Отрезок, равный h, откладываем от точки О вверх по оси z (рис. 203, в). Откладывая от точки О1 по оси горизонтального цилиндра отрезок l, получим точку О2 центр основания горизонтального цилиндра.

Изометрическая проекция линии пересечения поверхностей строится по точкам с помощью трех координат. Однако в данном примере искомые точки можно построить иначе.

Так, например, точки 3 и 2 строят следующим образом. От центра О2 (рис. 203, в) вверх, парал­лельно оси z, откладывают отрезки т и п, взятые с комплексного чертежа. Через концы этих отрез­ков прямые, параллельные оси у, до пересечения с основанием горизонтального цилиндра в точках 31 и 21. Затем из точек 1. 3 проводят прямые, параллельные оси х, и на них откладывают отрез­ки, равные расстоянию от основания горизонтального цилиндра до линии пересечения, взятые с фронтальной или горизонтальной проекции комплексного чертежа. Конечные точки этих отрезков будут принадлежать линии пересечения. Через полученные точки проводят по лекалу кривую, выделяя се видимые и невидимые части.

Линия пересечения окружности и конуса

Пример взаимного пересечения цилиндрических поверхностей с осями, перпендикулярными друг к другу, приведен на рис. 204, а. Одна цилиндрическая поверхность корпуса имеет вертикальную ось, а другая (половина цилиндра) — горизонталь­ную.

Если диаметры пересекающихся цилиндричес­ких поверхностей одинаковы. то профильная про­екция линии пересечения представляет собой две пересекающиеся прямые (рис. 204, б).

Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер).

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Пересечение конуса и полусферыСкачать

Пересечение конуса и полусферы

Пересечение поверхностей многогранников

При пересечении двух многогранников линия пересечения поверхностей представляет собой ломаную линию.

Если ребра двух призм взаимно перпендикуляр­ны (рис. 205, а), то линия пересечения призм строится следующим образом.

Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпадают соответственно с горизон­тальной проекцией пятиугольника (основания одной призмы) и с профильной проекцией четырехугольника (основания другой призмы). Фрон­тальную проекцию ломаной линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

Например, взяв горизонтальную 1 и про­фильную 1″ проекции точки 1 пересечения ребра пятиугольной призмы с гранью четырех­угольной (рис. 205, а) и пользуясь известным приемом построения, с помощью линии связи можно легко найти фронтальную проекцию 1′ точки 1, принадлежащей линии пересечения призм.

Изометрическая проекция двух пересекающих­ся призм (рис. 205, б) может быть построена по координатам соответствующих точек.

Например, изометрическую проекцию двух точек 5 и 51, симметрично расположенных на левой грани пятиугольной призмы, строят так. Принимая для удобства построений за начало координат точку О, лежащую на верхнем основа­нии пятиугольной призмы, откладываем влево от О по оси х отрезок ОЕ, величину которого берут с комплексного чертежа на фронтальной или горизонтальной проекции. Далее из точки Е вниз параллельно оси z откладываем отрезок EF, рав­ный а, и, наконец, от точки F влево и вправо параллельно оси у откладываем отрезки F5 и F51, равные с/2.

Далее от точки F параллельно оси х откладыва­ем отрезок n, взятый с комплексного чертежа. Через его конец проводим прямую, параллельную оси у, и откладываем на ней отрезок, равный с. Вниз параллельно оси z откладываем отрезок, равный Ь, и параллельно у — отрезок, равный k. В результате получаем изометрию основания че­тырехугольной призмы.

Линия пересечения окружности и конуса

Точки 1 и 4 на ребрах пятиугольной призмы можно построить, используя только одну коорди­нату z.

Примеры, где требуются подобные построения, показаны на рис. 206, на которых видны линии пересечения поверхностей призм.

Линия пересечения окружности и конуса

Линию пересечения поверхностей четыреху­гольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 207, а) строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого многогранника.

Например, проекции точек 1 и 3 искомой ли­нии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 1 и 3′ очевидны. Про­фильные проекции 1 и 3“ и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.

Линию пересечения поверхностей четыреху­гольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 207, а) строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого многогранника.

Например, проекции точек 1 и 3 искомой ли­нии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 1 и 3′ очевидны. Про­фильные проекции 1 и 3“ и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.

На рис. 207, б и в показана последовательность построения диметрической проекции. Сначала строят пирамиду. Для построения призмы от точ­ки О откладывают отрезок ОО1, взятый с фрон­тальной проекции комплексного чертежа (О’ О’1 ). и получают точку О1 (рис. 207, б). Через точку О1 проводят параллельно оси х ось симметрии призмы и по ней от точки откладывают вправо и влево половины высоты призмы. Через точки О2 и О3 проводят прямые, параллельные осям у и z, на которых откладывают соответственно половину и целую длину диагоналей четырехугольника основания призмы. Соединив концы диагоналей прямыми, получают диметрическую проекцию основания призмы.

Диметрические проекции точек пересечения 2. 4, б. 8 ребер призмы и пирамиды получаются без дополнительных построений (рис. 207, в).

Диметрические проекции точек пересечения 1, 3, 5. 7 ребер пирамиды с гранями призмы находят по координатам известным способом.

В этом примере диметрические проекции точек 1, 3, 5 и 7 можно построить иначе. От середины левого основания призмы — точки О2 — отклады­ваем вверх и вниз по оси z соответственно отрезки т и n, взятые с комплексного чертежа. Через концы отрезков т и n проводят прямые, парал­лельные оси у, до пересечения с контуром основания призмы в точках А, В, С и D. Через эти точ­ки проводят прямые, параллельные оси х, до пе­ресечения с ребрами пирамиды. В результате по­лучают искомые точки 1, 3, 5 и 7.

Линия пересечения окружности и конуса

На рис. 208 показан корпус оптического компа­ратора, который имеет элементы пересечения поверхностей пирамид и призм. На рисунке видна линия пересечения поверхностей этих тел.

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНУСА. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНУСА. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Пересечение поверхностей цилиндра и конуса

Пример пересечения поверхностей цилиндра и конуса показан на рис. 209, б. Построение линии пересечения поверхностей прямого кругового усе­ченного конуса, имеющего вертикальную ось, с цилиндром, расположенным горизонтально, пока­зано на рис. 209, а. Оси цилиндра и конуса пере­секаются в точке О1 и лежат в одной плоскости.

Как и ранее, сначала определяют проекции очевидных 1, 7 и характерных 4, 10 точек линии пересечения.

Для определения промежуточных точек прово­дят вспомогательные горизонтальные секущие плоскости Р1…Р5. (рис. 209, а). Они будут рассе­кать конус по окружности, а цилиндр по образую­щим (рис. 209, б). Искомые точки линии пересе­чения находятся на пересечении образующих с окружностями.

Для определения горизонтальных проекций точек пересечения из центра O1 проводят горизонтальные проекции дуг окружностей (рис. 209, а), по которым вспомогательные плос­кости Р1…Р5 пересекают конус. Размеры радиусов этих дуг окружностей взяты с профильной про­екции.

Так как профильные проекции точек 1“ 12“ известны, то, проводя линии связи до пересечения с соответствующими дугами окружностей, находят горизонтальные проекции точек 1 12. Используя линии связи, по двум имеющимся проекциям, профильной и горизонтальней, находим фронталь­ные проекции точек пересечения 1‘. 12’.

Полученные на фронтальной и горизонтальной проекциях точки, принадлежащие к линии пере­сечения. обводят по лекалу.

На горизонтальной проекции часть линии пере­сечения будет видимой, а часть — невидимой. Границу этих частей линии пересечения определяют с помощью вспомогательной секущей плос­кости Р3, проведенной через ось цилиндра. Точки, расположенные над плоскостью Р3 (см. профиль­ную проекцию), будут на плоскости Н видимы, а точки, расположенные под плоскостью Р3,— неви­димы.

Изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндра и конуса вычерчивают в такой последовательности. Вначале выполняют изометрическую проекцию конуса (рис. 209, в). Затем от центра О нижнего основания конуса по его оси вверх откладывают координату ОО1 = h и получают точку О1, через которую проводят ось цилиндра параллельно изометрической оси х. От точки О1 по этой оси откладывают координату х = О1О2 точки О2 — центра окружности основания цилиндра.

Для построения линии пересечения находят изометрические проекции точек этой линии с помощью их координат, взятых с комплексного чертежа. За начало координат принимается точка О2 (центр основания цилиндра). Параллельно оси у проводят до пересечения с овалом следы плос­костей сечения с координатами по оси z, взятых с профильной проекции. Из полученных точек А, В, С. параллельно оси х проводят прямые — об­разующие цилиндра, на них откладывают ко­ординаты Al, В2, . взятые с фронтальной проекции комплексного чертежа, и получают точки 2. 12, принадлежащие искомой линии пере­сечения.

Через найденные точки проводят кривую ли­нию по лекалу.

Линия пересечения окружности и конуса

На рис. 210 показана деталь. Линию пересечения конической поверхности с цилиндрической строят описанным выше спосо­бом.

Линия пересечения окружности и конуса

Построение линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса, оси которых параллельны (рис. 211), аналогично построению, рассмотренно­му на рис. 209.

Выбирают вспомогательные горизонтальные плоскости, например Р1, Р2 и Р3, которые пересекают конус и цилиндр по окружностям (рис. 211, б). Диаметр окружностей, образованных в результате пересечения этих плоскостей с ци­линдрам, одинаков и равен D; диаметры окруж­ностей, полученных в результате пересечения плоскостей с конусом, — различные. Взаимное пересечение горизонтальных проекций этих ок­ружностей дают искомые горизонтальные проек­ции точек 1. 9 линии пересечения (рис. 211, а). Фронтальные проекции 1′. 9′ этих точек находят с помощью линий связи на фронтальных следах РV1, РV2, РV3 вспомогательных плоскостей. Про­фильные проекции точек строят по двум их извес­тным проекциям.

Характерными точками в данном примере явля­ются: высшая точка линии пересечения — точка 5, нахождение проекций которой начинают с име­ющейся горизонтальной проекции, и точки 1, 9

Точки 1 и 9 получились от пересечения основа­ний цилиндра и конуса.

Построение изометрической проекции пересекающихся конуса и цилиндра (рис. 211, в) выполня­ется по этапам, подробно описанным в предыдущем примере (см. рис. 209, в). Построение начи­нается проведением изометрических осей конуса и цилиндра, затем их оснований (эллипсов) с центрами на расстоянии друг от друга, определяе­мом координатой n3. Для построения линий пере­сечения находят изометрические проекции точек этой линии с помощью координат, взятых с чер­тежа.

Линия пересечения окружности и конуса

На рис. 212 показана деталь, имеющая форму двух цилиндров, пересекающихся с конусом. Оси цилиндра и конуса параллельны.

Линия пересечения окружности и конуса

Примеры пересечения поверхностей даны на рис. 213. Линии пересечения показаны красным цветом.

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Построение точек встречи прямой с поверхностью конусаСкачать

Построение точек встречи прямой с поверхностью конуса

Пересечение поверхностей сферы и цилиндра

Прямой круговой цилиндр, расположенный перпендикулярно плоскости Н, пересекается с шаром, центр которого расположен на оси цилин­дра, по окружности, которая изображается на фронтальной проекции отрезком прямой (рис 214). Проводя через точки А и В пересече­ния контурных образующих цилиндра и очерка шара вспомогательную горизонтальную плоскость Р, заметим следующее. Плоскость Р пересечет как цилиндр, так и шар по окружности одинакового диаметра, которая расположена в проецирующей плоскости. Следовательно, се фронтальная проек­ция будет изображаться в виде прямой а’b’.

При пересечении поверхности конуса или по­верхности вращения с шаром, центр которого расположен на оси этих поверхностей, также по­лучается окружность (рис. 214, а).

Если центр шара расположен вне оси цилиндра (рис. 214, б), то для построения линии пересече­ния применяют вспомогательные горизонтальные плоскости. Например, вспомогательная горизонтальная плоскость Р пересекает цилиндр по ок­ружности радиуса r, а шар — по окружности ради­уса R. Точки пересечения а и b горизонтальных проекций этих окружностей принадлежат горизонтальной проекции линии пересечения. Фронтальные проекции а’ и b строят, используя ли­нии связи.

Одной из характерных точек данной линии пересечения является верхняя точка D. Горизон­тальная проекция этой точки находится на пере­сечении прямой, соединяющей центры окружнос­тей радиусов r и R с горизонтальной проекцией основания цилиндрической поверхности. Для по­строения фронтальной проекции точки D через точку d проводят дугу радиуса r1, строят фрон­тальную проекцию дуги (отрезок прямой, парал­лельной оси х) и с помощью линии связи находят точку d’.

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Пересечение поверхностей. Построение линии пересечения.Скачать

Пересечение поверхностей. Построение линии пересечения.

Пересечение поверхностей тора и цилиндра

Патрубок, форма которого образована пересека­ющимися поверхностями тора и цилиндра, пока­зан на рис. 215. Выполнен комплексный чертеж с построением линии пересечения поверхностей и тора, и цилиндра. В этом примере очевидные точки 1 и 5. Для определения проекций промежу­точных точек используют вспомогательные плос­кости РН и PН1, параллельные фронтальной плос­кости проекции. Например, плоскость РН пересе­кает поверхность тора по окружности радиуса R, а поверхность цилиндра — по двум образующим Взаимное пересечение этих образующих с дугою окружности радиуса R дает на фронтальной про­екции две точки 2′ и 4′, принадлежащие искомой линии пересечения.

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:2 3 проекция точки на конусеСкачать

2 3 проекция точки на конусе

Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер

Для построения линии пересечения поверхнос­тей вместо вспомогательных секущих плоскостей при определенных условиях удобно применять вспомогательные сферические поверхности.

В отличие от метода вспомогательных секущих плоскостей метод вспомогательных сфер имеет преимущество, так как при построении фронтальной проекции линии пересечения поверхностей не используются две другие проекции пересекающих­ся поверхностей (рис. 216).

Вспомогательные сферические поверхности для построения линий пересечения поверхностей тел можно применять лишь при следующих условиях:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси поверхностей вращения должны пересе­каться; точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;

в) оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости проекций.

Примеры применения вспомогательных сфери­ческих поверхностей показаны на рис. 216, а и б.

На рис. 216, а дано построение фронтальных проекций линии пересечения поверхностей двух цилиндров, оси которых пересекаются под острым углом.

Вспомогательные сферические поверхности проводят из точки О’ пересечения осей цилин­дров.

Построим, например, фронтальную проекцию некоторой промежуточной точки линии пересече­ния. Для этого из точки О’ проводят сферичес­кую поверхность радиуса R, которая на данной проекции изобразится в виде окружности этого же радиуса. Окружность радиуса R пересечет горизонтальный цилиндр по окружностям диаметра АС и ВD, а наклонно расположенный цилиндр — по окружностям диаметра АВ.

В пересечении полученных проекций окружнос­тей — отрезков а’b’ и cd находят проекцию 2′ промежуточной точки линии пересечения.

Вводя еще целый ряд вспомогательных сфери­ческих поверхностей, можно построить необходи­мое число точек линии пересечения.

Пределы радиусов сферических поверхностей находят следующим образом (рис. 216, а и б): наибольшая окружность сферической поверхности должна пересекаться с контурными образующими 1—1 и II— II цилиндра и наименьшая должна быть касательной к одной из данных пересекающихся поверхностей и пересекаться с образующими дру­гой поверхности.

Линия пересечения окружности и конуса

Если поверхности двух конусов (рис. 217, а) описаны около шара, то они касаются шара по двум окружностям; эти окружности пересекаются в двух точках, которые проецируются на фрон­тальную плоскость проекций в точку р’. Плоскости, в которых лежат эти окружности, пересекают­ся по прямой, соединяющей точки пересечения линий касания конусов с шаром. Окружности проецируются на фронтальную плоскость проек­ций в виде прямых линий.

Соединив очевидную точку s’ пересечения конусов с точкой р‘, получим линию пересечения конусов с шаром, которая представляет собой фронтальную проекцию эллипса.

Разберем второй подобный пример. Если два прямых круговых цилиндра с осями, пересекаю­щимися в точке О’ (рис. 217, б), описаны около шара с центром в точке О, то фронтальная про­екция шара будет окружностью, касательной к контурным образующим цилиндров. Линии пере­сечения поверхностей этих цилиндров представля­ют собой эллипсы, фронтальные проекции кото­рых изображаются в виде прямых линий а’b и c’d’.

Линия пересечения окружности и конуса

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Задание 50. Построение ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ЦИЛИНДРОВСкачать

Задание 50. Построение ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ЦИЛИНДРОВ

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения

Линия пересечения окружности и конуса

Видео:Часть 2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ. Блок 10. Конус. Урок 3. Сечение плоскостью под углом к основанию.Скачать

Часть 2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ. Блок 10. Конус. Урок 3. Сечение плоскостью под углом к основанию.

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям и образуется множеством их общих точек. Следовательно, построение линии пересечения поверхностей сводится к построению этих общих точек.

При пересечении поверхностей вращения порядок линии пересечения определяется умножением порядков пересекающихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой конус (поверхность 2-го порядка) и сфера (поверхность 2-го порядка), то линия пересечения является кривой 4-го порядка.

Определение способа построения линии пересечения зависит от взаимного расположения пересекающихся поверхностей, а также от их расположения относительно плоскостей проекций.

Из всех возможных

вариантов пересечения поверхностей геометрических тел в зависимости от их взаимного расположения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить форму линии пересечения поверхностей:

I случай. Частичное врезание (рис. 8.1). В этом случае линией пересечения является одна замкнутая пространственная линия.

Линия пересечения окружности и конуса

II случай. Полное проницание (рис. 8.2). В этом случае линией пересечения являются две замкнутые пространственные линии.

Линия пересечения окружности и конуса

III случай. Одностороннее соприкосновение (рис. 8.3). В этом случае поверхности соприкасаются в одной общей точке Линия пересечения окружности и конусаи линия их пересечения, проходя через эту точку, распадается на две замкнутые пространственные линии (поверхности имеют одну общую касательную плоскость).

IV случай. Двойное соприкосновение (рис. 8.4).

В этом случае поверхности имеют две точки соприкосновения Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусаи линия их пересечения распадается на две плоские кривые в соответствии с теоремой 2 (С. А. Фролов «начертательная геометрия»):

«Если две поверхности вращения второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую /77, соединяющую точки касания» (поверхности имеют две общие касательные плоскости).

В зависимости от расположения пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекции и участия в пересечении геометрических тел, имеющих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имеющих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, наклонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхностей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхностей можно объединить в две группы:

Первая группа: частные случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций.

Вторая группа: общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить специальные способы посредников.

Частные случаи пересечения поверхностей

К первой группе частных случаев пересечения поверхностей относятся следующих четыре случая:

1 случай: пересечение геометрических тел, боковые поверхности которых являются проецирующими, то есть, перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

2 случай: пересечение геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность является проецирующей.

3 случай: пересечение соосных поверхностей вращения, т. е. имеющих общую ось вращения,

4 случай: пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Рассмотрим на примерах построение проекций линий пересечения поверхностей геометрических тел в четырех частных случаях первой группы.

Следует отметить, что перечисленные частные случаи пересечения поверхностей наиболее часто встречаются при формообразовании различных реальных деталей.

Линия пересечения окружности и конуса

1-й частный случай. На рис. 8.5 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронтально-проецирующей прямой правильной треугольной призмы, то есть пересекаются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоскостей проекций проецирующее положение.

Характерный признак 1-го частного случая: на заданных проекциях тел определяются две проекции искомой линии пересечения:

-фронтальная проекция Линия пересечения окружности и конусалинии пересечения Линия пересечения окружности и конусасовпадает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;

-горизонтальная проекция Линия пересечения окружности и конусалинии пересечения Линия пересечения окружности и конусасовпадает с участком окружности, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию Линия пересечения окружности и конусалинии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче — цилиндру), и соединить их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях. 2-й частный случай.

На рис. 8.6 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего цилиндра, то есть пересекающихся геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность проецирующая.

Линия пересечения окружности и конуса

Характерный признак 2-го частного случая: на заданных проекциях тел определяется одна проекция линии пересечения:

  • фронтальная проекция Линия пересечения окружности и конусалинии пересечения Линия пересечения окружности и конусасовпадает с окружностью, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить горизонтальную Линия пересечения окружности и конусаи профильную Линия пересечения окружности и конусапроекции линии пересечения, построив горизонтальные и профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности конусу, и соединить построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.

. На профильную проекцию предмета пространственная кривая линия пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

3-й частный случай.

Пересечение соосных геометрических тел

Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие общую ось вращения «Линия пересечения окружности и конуса». Поверхности соосных тел пересекаются по окружностям, перпендикулярным их общей оси. Если общая ось «Линия пересечения окружности и конуса» соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т. е. она перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в прямую линию, перпендикулярную их общей оси, на те плоскости проекций, которым эта общая ось параллельна.

Линия пересечения окружности и конуса

На рис. 8.7 показан пример построения линии пересечения соосных геометрических тел — конуса и горизонтально-проецирующего цилиндра, имеющих общую горизонтально-проецирующую ось Линия пересечения окружности и конуса(ось перпендикулярна Линия пересечения окружности и конусаи параллельна Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конуса). Линией пересечения является окружность, фронтальная Линия пересечения окружности и конусаи профильная Линия пересечения окружности и конусапроекции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные их общей оси Линия пересечения окружности и конусаи проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков поверхностей. Горизонтальная проекция этой окружности пересечения Линия пересечения окружности и конусасовпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Линия пересечения окружности и конуса

На рис. 8.8 показан пример цилиндр построения линий пересечения двух пар соосных поверхностей:

  • поверхности шара и горизонтально-проецирующего цилиндра, соосных относительно горизонтапьно-проецирую-щей оси Линия пересечения окружности и конуса, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и профильную проекции;
  • поверхности шара и сквозного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия Линия пересечения окружности и конусав шаре, соосных относительно профильно-проецирующей оси Линия пересечения окружности и конуса, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

4-й частный случай.

Пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Напоминаем, к поверхностям вращения второго порядка относятся круговые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид и одно-, двуполостные гиперболоиды.

Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой конус — это не поверхности вращения!

Все торы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и тороиды относятся к поверхностям вращения четвертого порядка!

В 4-м частном случае имеет место двойное соприкосновение пересекающихся поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на теореме 2 (С. А. Фролов «Начертательная геометрия» [23]):

Теорема 3, известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоремы 2: «Если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания».

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг сферы или вписаны в нее.

Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче четырех обязательных графических условий:

  1. Пересекаются поверхности вращения второго порядка.
  2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точка пересечения — центр вписанной сферы).
  3. Поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее.
  4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей, является плоскостью уровня.

При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проекций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распадается искомая линия пересечения:

  • плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на ту проекцию предмета, которая расположена на плоскости проекций, параллельной общей плоскости симметрии поверхностей;

-точки пересечения очерков поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки проходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;

  • прямые, как проекции плоских кривых, пересекаются в точке, с которой совпадают проекции двух точек Линия пересечения окружности и конусасоприкосновения поверхностей и соответственно проекция прямой Линия пересечения окружности и конуса, соединяющей эти точки соприкосновения (точки касания).

Линия пересечения окружности и конуса

. Точки касания (соприкосновения) поверхностей Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусаопределяются на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 8.9 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей вращения второго порядка — прямого кругового конуса и наклонного кругового цилиндра, описанных вокруг общей сферы. Для решения задачи использована теорема Г. Монжа, поскольку здесь соблюдены все четыре обязательных условия ее применения:

  1. Пересекаются прямой круговой конус и круговой наклонный цилиндр, т. е. поверхности вращения второго порядка.
  2. Оси конуса и цилиндра пересекаются в точке Линия пересечения окружности и конуса.
  3. Обе поверхности описаны вокруг общей для них сферы с центром точке Линия пересечения окружности и конуса.
  4. Общая плоскость симметрии поверхностей а(ан) является фронтальной плоскостью уровня Линия пересечения окружности и конуса.

Построение проекций линии пересечения поверхностей по теореме Г. Монжа выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Определить проекцию предмета, на которую плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий: в данной задаче это фронтальная проекция, так как общая плоскость симметрии Линия пересечения окружности и конусапараллельна фронтальной плоскости проекций Линия пересечения окружности и конуса.

2-е действие. Построить фронтальные совпадающие проекции Линия пересечения окружности и конусаточек соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей (прямые линии — проекций этих окружностей касания — строятся как линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера образует две пары соосных поверхностей — конус/сфера с общей осью Линия пересечения окружности и конусаи цилиндр/сфера с общей осью Линия пересечения окружности и конуса. На чертеже проекции этих окружностей касания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров, проведенных из точки Линия пересечения окружности и конуса— центра вписанной сферы — к образующим конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).

Линия пересечения окружности и конуса

3-е действие. Отметить на фронтальной проекции точки Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапересечения очерков поверхностей и построить фронтальные проекции плоских кривых пересечения 2-го порядка, соединив прямыми линиями Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапротивоположные точки пересечения очерков (обе прямые обязательно должны пройти через построенные проекции точек соприкосновения поверхностей Линия пересечения окружности и конуса;

4-е действие. Построить горизонтальные проекции двух плоских кривых пересечения — эллипсов, по горизонтальным проекциях обозначенных точек Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапостроенных по принадлежности поверхности конуса; обозначить и построить точки Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конуса, которые лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекции предмета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточных точек (здесь не обозначены).

5-е действие. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пресекающихся поверхностей.

. Построение точек соприкосновения Линия пересечения окружности и конусаповерхностей особенно важно в задачах, где по условию нельзя определить одну из четырех точек пересечения очерков поверхностей. Совпадающие проекции точек соприкосновения в этом случае определят направление одной из двух прямых линий — проекций плоских кривых пересечения (рис. 8.10). В данном случае проекция плоской кривой линии пересечения Линия пересечения окружности и конусапроведена через точки Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конуса. Точка Линия пересечения окружности и конусаопределяется на основании конуса.

На рис. 8.11 показаны примеры построения линий пересечения поверхностей второго порядка, описанных вокруг сферы, с применением теоремы Г. Монжа. Они часто встречаются при конструировании различных переходов цилиндрических и конических труб, или пересечений отверстий в деталях.

Общие случаи пересечения поверхностей и способы построения линий пересечения поверхностей

Ко второй рассматриваемой группе относятся общие случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых могут занимать относительно плоскостей проекций непроецирующее положение (это наклонные призмы и цилиндры), а также геометрические тела, поверхности которых непроецирующие — это конус, сфера, торы, глобоид, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. Сюда же относятся наклонный эллиптический цилиндр, имеющий круговые сечения, и наклонный круговой конус.

Линия пересечения окружности и конуса

предмета, на которой следует начинать решение задачи, и границы введения посредников.

Для построения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, способом посредников следует применять общий для всех рассматриваемых способов графический алгоритм.

Графический алгоритм I:

1-е действие. Ввести вспомогательную плоскость или поверхность-посредник.

2-е действие. Построить вспомогательные линии пересечения плоскости — или поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей.

3-е действие. Определить точки пересечения построенных вспомогательных линий пересечения — эти точки принадлежат искомой линии пересечения.

Рассмотрим на примерах применение различных способов вспомогательных посредников для построения проекций линий пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рационально при наличии д в у х графических условий:

  1. Общая плоскость симметрии пересекающихся геометрических тел является плоскостью уровня; при соблюдении этого условия точки пересечения

очерков поверхностей принадлежат искомой линии пересечения и определяют верхнюю и нижнюю границу введения плоскостей-посредников на соответствующей проекции предмета.

  1. Сечениями геометрических тел в одной из плоскостей уровня должны быть простые в построении линии пересечения — прямые линии (образующие) или окружности; эту плоскость уровня и следует выбрать в качестве посредника.

На рис. 8.12 показан пример построения проекций линии пересечения прямого конуса и половины шара.

Линия пересечения окружности и конуса

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета:

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены два Рис. 8.12 графических условия его применения:

  • общая плоскость симметрии Линия пересечения окружности и конусагеометрических тел — конуса и полушара — является фронтальной плоскостью уровня (первое условие применения);
  • горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают поверхности конуса и полушара по окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников (второе условие применения).

Б. Решение задачи, то есть введение плоскостей-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня.

В. Определяем границы введения плоскостей-посредников — это точка Линия пересечения окружности и конусапересечения фронтальных очерков и точки Линия пересечения окружности и конусапересечения окружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальной плоскости уровня Линия пересечения окружности и конуса.

Построить проекции точек искомой линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I:

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость-посредник Линия пересечения окружности и конусапроизвольно и ниже точки Линия пересечения окружности и конуса.

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции предмета вспомогательные окружности радиусами Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конуса, по которым секущая плоскость-посредник Линия пересечения окружности и конусапересекает поверхности конуса и шара.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей горизонтальные проекции точек Линия пересечения окружности и конуса, принадлежащих линии пересечения; фронтальные совпадающие проекции Линия пересечения окружности и конусаэтих точек определяются по линии связи на фронтальной проекции плоскости-посредника Линия пересечения окружности и конуса.

3.1. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вторую плоскость-посредник Линия пересечения окружности и конуса, и построить проекции точек Линия пересечения окружности и конусаи т. д.

4-е действие. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях: на фронтальную проекцию предмета пространственная кривая пересечения проецируется в видимую плоскую кривую второго порядка (участок параболы), поскольку горизонтальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию; на горизонтальную проекцию предмета — в участок видимой кривой 4-го порядка сложной формы.

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости:

  • на фронтальной проекции — очерк конуса существует влево от точки Линия пересечения окружности и конуса, а очерк шара вправо от точки Линия пересечения окружности и конуса(несуществующие очерки конуса и шара оставить тонкими линиями);
  • на горизонтальной проекции — окружность основания конуса существует влево от точек Линия пересечения окружности и конуса, а окружность основания шара существует

вправо от точек Линия пересечения окружности и конуса(несуществующие части окружностей оснований конуса и шара оставить тонкими линиями).

. Способ вспомогательных секущих плоскостей позволяет строить одновременно две проекции искомой линии пересечения.

Способ вспомогательных концентрических сфер

Основанием для применения сферы в качестве вспомогательной поверх-ности-посредника являются две ее характерные особенности:

  • в сфере можно провести через ее центр бесконечное количество осей;
  • сфера может быть соосна любой поверхности вращения; соосные поверхности пересекаются по окружностям, проекции которых легко построить (см. рис. 8.7 и 8.8).

Сфера-посредник образует две пары соосных поверхностей с каждой из заданных поверхностей. Каждая образованная пара соосных поверхностей пересекается по соответствующим окружностям, которые проецируются в прямые, перпендикулярные общей оси каждой пары, и проходят через точки пересечения очерков каждой пары соосных поверхностей.

Применение способа вспомогательных концентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно при наличии трех следующих графических условий:

  1. Пересекаются поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора).
  2. Общая плоскость симметрии пересекающихся поверхностей является плоскостью уровня; при этом условии точки пересечения очерков на проекции предмета, изображенного на параллельной общей плоскости симметрии плоскости проекций, принадлежат искомой линии пересечения.
  3. Оси поверхностей пересекаются; точка пересечения осей является центром всех вспомогательных сфер.

На рис. 8.13 показан пример построения проекций линии пересечения усеченного конуса и тороида (самопересекающийся тор).

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей здесь применять не следует, так как ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям (одно из условия применения).

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета.

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных концентрических сфер, так как здесь соблюдены три графических условия его применения:

  • пересекаются поверхности вращения — прямой круговой конус и тороид (самопересекающийся тор);
  • общая плоскость симметрии геометрических тел Линия пересечения окружности и конусаявляется фронтальной плоскостью уровня;
  • оси поверхностей пересекаются в точке Линия пересечения окружности и конуса— центр всех вспомогательных сфер.

Линия пересечения окружности и конуса

Б. Решение задачи, то есть введение вспомогательных сфер-посредников начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

В. Определяем границы введения сфер — это точки Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I.

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции вспомогательную сферу-посредник минимального радиуса Линия пересечения окружности и конуса, с центром в точке Линия пересечения окружности и конуса, вписанную в тороид (минимальная сфера-посредник должна вписываться в одну из поверхностей, а с другой поверхностью — пересекаться).

2-е действие. Построить проекции вспомогательных окружностей пересечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посред-ником с каждой заданной поверхностью:

  • первая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и тороид -имеют горизонтальную общую ось Линия пересечения окружности и конусаи пересекаются по окружности касания Линия пересечения окружности и конуса, которая проецируется в прямую линию (совпадает с осью конуса);
  • вторая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и конус имеют вертикальную общую ось вращения Линия пересечения окружности и конусаи пересекаются по двум вспомогательным окружностям Линия пересечения окружности и конуса, которые проецируются в прямые линии;

3-е действие. Определить точки Линия пересечения окружности и конусапересечения построенных проекций вспомогательных окружностей Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конуса, которые принадлежат искомым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек).

. Здесь имеет место случай полного проницания (II случай), и линия пересечения распадается на две замкнутые кривые.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные сферы большего радиуса Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусас тем же центром в точке Линия пересечения окружности и конуса, и построить следующие пары точек Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конуса.

4.1. Достроить горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения по принадлежности параллелям конуса.

4.2. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях (только линия пересечения Линия пересечения окружности и конусабудет невидимой на горизонтальной проекции предмета).

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер

Наименование способа говорит о том, что вспомогательные сферы имеют разные центры, которые и нужно определять в процессе построения проекций линии пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно применять при наличии трех следующих графических условий:

  1. Пресекаются:
  • поверхности вращения 4-го порядка, т. е. торовые поверхности — открытый или закрытый тор;
  • поверхности эллиптических цилиндра и конуса, имеющие круговые сечения.
  1. Общая плоскость симметрии поверхностей является плоскостью уровня.
  2. Оси поверхностей пересекаются или скрещиваются.

Поскольку в этом способе центр каждой вспомогательной сферы нужно определять графическими построениями, первое действие графического алгоритма для построения проекций точек линии пересечения дополняется построением центра каждой вспомогательной сферы.

Порядок графических действий для построения линий пересечения способом вспомогательных эксцентрических сфер показан на двух примерах.

На рис. 8.14 показан пример построения проекции линии пересечения профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части открытого тора. Задача решается способом вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три необходимых условия для применения этого способа:

  • одна из пересекающихся поверхностей — открытый тор, имеющий круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

  • общая плоскость симметрии поверхностей — фронтальная плоскость уровня (подразумевается), поэтому точка Линия пересечения окружности и конусапересечения фронтальных очерков принадлежит искомой линии пересечения;
  • оси поверхностей Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусаскрещиваются.

Построение проекций точек линии пересечения поверхностей выполняется на заданной фронтальной проекции предмета по предлагаемому графическому алгоритму II.

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительно следующие графические действия.

1.1. Задать произвольное круговое сечение поверхности тора фронтально-проецирующей плоскостью Линия пересечения окружности и конуса, проходящей через его ось Линия пересечения окружности и конуса; окружность Линия пересечения окружности и конуса(ее проекция — прямая линия Линия пересечения окружности и конуса) — это заданная линия пересечения тора с искомой вспомогательной сферой, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности — прямой Линия пересечения окружности и конуса(хорда окружности, в которую проецируется вспомогательная сфера).

1.2. Провести к прямой Линия пересечения окружности и конусачерез ее середину перпендикуляр Линия пересечения окружности и конусаи на его пересечении с осью цилиндра Линия пересечения окружности и конусаопределить центр первой вспомогательной сферы — точку Линия пересечения окружности и конуса.

1.3. Провести окружность — проекцию вспомогательной сферы-посредника — с центром в точке Линия пересечения окружности и конуса, радиус которой Линия пересечения окружности и конусаопределяется расстоянием от точки Линия пересечения окружности и конусадо одной из крайних точек Линия пересечения окружности и конусаили Линия пересечения окружности и конусапрямой Линия пересечения окружности и конуса.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения построенной сферы-посредника с поверхностью соосного ей цилиндра — это прямая Линия пересечения окружности и конуса, проходящая через точки Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапересечения очерков цилиндра и сферы-посредника.

3-е действие. Определить на пересечении построенных проекций заданной окружности Линия пересечения окружности и конусаи построенной окружности Линия пересечения окружности и конусасовпадающие точки Линия пересечения окружности и конуса, принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и построить достаточное количество точек линии пересечения. В данном примере дополнительными сечениями вспомогательных плоскостей Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусаи вспомогательными сферами Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусас центрами Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапостроены точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости Линия пересечения окружности и конусаокружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят существование этих окружностей на две половины — верхняя часть принадлежит цилиндру, а нижняя — тору.

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки Линия пересечения окружности и конусалинии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

На рис. 8.15 показан пример построения линии пересечения наклонного кругового цилиндра Линия пересечения окружности и конусас Линия пересечения окружности и конусаосью и наклонного эллиптического цилиндра с осью Линия пересечения окружности и конуса, у которого есть круговые сечения в горизонтальных плоскостях уровня.

Линия пересечения окружности и конуса

Выполнить графический анализ условия и исключить нерациональный способ решения задачи.

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданной фронтальной проекции ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям или образующим (одно из условий применения).

Рассмотренный способ вспомогательных концентрических сфер применять нельзя, так как проведенные сферы с центром в точке пересечения осей образуют соосные пары только с одной заданной поверхностью Линия пересечения окружности и конуса(одно из условий применения).

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения:

  • пересекаются наклонный круговой цилиндр Линия пересечения окружности и конусаи эллиптический цилиндр Линия пересечения окружности и конуса(поверхность не вращения);
  • общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной плоскостью уровня (подразумевается);
  • оси поверхностей Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конуса— пересекаются.

Решение задачи, то есть введение сечений цилиндра Линия пересечения окружности и конуса(параллельных заданному) горизонтальными плоскостями уровня Линия пересечения окружности и конуса, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

Определяем границы введения сечений цилиндра Линия пересечения окружности и конуса— это точки Линия пересечения окружности и конусаи Линия пересечения окружности и конусапересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения поверхностей, выполнив действия предложенного графического алгоритма II.

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительные графические действия.

1.1. Задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра Линия пересечения окружности и конусагоризонтальной плоскостью Линия пересечения окружности и конуса— прямую Линия пересечения окружности и конуса. Эта заданная линия Линия пересечения окружности и конуса-окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомогательной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из середины этой прямой.

1.2. Провести к прямой Линия пересечения окружности и конусачерез ее середину перпендикуляр Линия пересечения окружности и конусаи на пересечении с осью Линия пересечения окружности и конусакругового цилиндра Линия пересечения окружности и конусаопределить точку Линия пересечения окружности и конуса— центр первой вспомогательной сферы-посредника.

1.3. Провести окружность сферы-посредника радиусом Линия пересечения окружности и конуса, который определяется расстоянием от точки Линия пересечения окружности и конусадо одной из точек Линия пересечения окружности и конусаили Линия пересечения окружности и конусапрямой Линия пересечения окружности и конуса.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения сферы-посредника с соосной ей поверхностью кругового цилиндра Линия пересечения окружности и конуса— это прямая Линия пересечения окружности и конуса, проходящая через точки пересечения очерков сферы и цилиндра.

3-е действие. Определить на пересечении заданной окружности Линия пересечения окружности и конусаи построенной окружности Линия пересечения окружности и конусасовпадающие точки Линия пересечения окружности и конуса, принадлежащие искомой линии пересечения.

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма II и построить проекции точек Линия пересечения окружности и конуса;

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки Линия пересечения окружности и конусалинии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Структуризация материала восьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 8.16 (лист 1). На последующих листах 2-5 приведены иллюстрации к этой схеме для быстрого визуального закрепления изученного материала при повторении (рис. 8.17-8.20).

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Линия пересечения окружности и конуса

Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса Линия пересечения окружности и конуса

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📹 Видео

линия пересечения конуса и усеченной сферыСкачать

линия пересечения конуса и усеченной сферы

Линия пересечения конуса и цилиндра (метод концентричных секущих сфер)Скачать

Линия пересечения конуса и цилиндра (метод концентричных секущих сфер)

Метод концентрических сферСкачать

Метод концентрических сфер

Лекция 12. Пересечение поверхностей метод плоскостейСкачать

Лекция 12. Пересечение поверхностей метод плоскостей

Пересечение конуса и сферыСкачать

Пересечение конуса и сферы

Пересечение поверхностей конуса и четырехгранной призмы. Пошаговое видео. Инженерная графикаСкачать

Пересечение поверхностей конуса и четырехгранной призмы. Пошаговое видео. Инженерная графика
Поделиться или сохранить к себе: