Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой апх, + + aj2х2 = bn i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х <= 0, х2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.

Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство <+ Зх2 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c[xl + с2х2 = f(x0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Рис. 2.2.2. Вектор-градиент и линии уровня

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону — только убывает.

Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:

  • 1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
  • 2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х0 (0; 0): V = (с,, с2).
  • 3. Линия уровня CjXj + с2х2 = а (а — постоянная величина) — прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, — передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(xv х2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*,, х2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(xpjc2).

Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(xр х2) не существует.

Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x<, х2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.

Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.

Видео:Графический метод решения задач линейного программирования | Высшая математика TutorOnlineСкачать

Графический метод решения задач линейного программирования | Высшая математика TutorOnline

Лекции по исследованию операций, учебное пособие (стр. 2 )

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная,

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

То есть решение Х* также является оптимальным.

Теорема 1 указывает принцип решения задач ЛП: вместо исследования бесконечного множества допустимых решений необходимо исследовать конечное число угловых точек.

1.3. Графический метод решения задачи ЛП с двумя переменными

Дана задача ЛП с двумя переменными

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Графический метод решения основан на возможности графического изображения ОДР задачи и нахождения в ней оптимального решения.

1. Строят ОДР задачи как пересечение областей решений каждого из заданных ограничений. ОДР может быть выпуклый многоугольник; выпуклая многоугольная неограниченная область; пустая область; луч; отрезок; единственная точка. Если ОДР является пустым множеством, задача не имеет решения виду несовместности системы ограничений.

2. Если ОДР непусто, определяют направление возрастания целевой функции Z(X).

При произвольном фиксированном значении Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяуравнение Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяопределяет на плоскости Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяпрямую, являющуюся линией уровня целевой функции − прямой, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Общий вид уравнения линии уровня: с1×1+с2×2=l, l=const. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная. Направление Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяявляется направлением возрастания Z(X).

Таким образом, на 2-ом шаге строят нормаль линий уровня Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяи одну из линий уровня (имеющую общие точки с ОДР).

3. Линию уровня перемещают параллельно в направлении нормали в задаче на максимум, в противоположном направлении в задаче на минимум. В какой-то момент она займет предельное положение: 1) будет иметь хотя бы одну общую точку с ОДР, 2) ОДР будет находиться в одной полуплоскости по отношению к линии уровня. Такая линия уровня называется опорной прямой. ОДР любой задачи ЛП имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение.

4. Если при перемещении линии уровня по ОДР в соответствующем направлении линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет оптимального решения ввиду неограниченности целевой функции. Пишут Z(X)→Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

5. Если задача имеет оптимальное решение, для его нахождения необходимо решить совместно уравнения прямых, ограничивающих ОДР и имеющих общие точки с опорной прямой.

6. Вычисляют значение целевой функции на оптимальном решении.

В зависимости от вида ОДР и целевой функции Z(X) задача ЛП может иметь единственное решение, бесконечное множество решений, не иметь оптимального решения (см. рис. 1, 2 ,3).

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная
Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

На рис.1 линия уровня дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений. Минимальное значение Z(X) достигается в т. А, максимальное – в т. С.

На рис.2 опорная прямая совпадает с одной из сторон многоугольника решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация точек отрезка АЕ.

На рис.3 ОДР не ограничена в сторону увеличения значений Z(X).

Пример 1. Решим графически задачу ЛП:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Построим многоугольник решений (рис.4). Для этого в системе координат X10X2 на плоскости изобразим граничные прямые:

3х1 + 2х2 = 13 (L2);

Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости, определяемые неравенствами, на рис.4 показаны стрелками. Областью решений является многоугольник OABCD.

Строим линию уровня Z = 3х1 + 4х2 = 0 и вектор-градиент Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная. Прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная. Из рис.4 следует, что по отношению к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке C, где функция принимает максимальное значение.

Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L3. Для определения ее координат решим систему уравнений:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Оптимальный план задачи х1=2,4; х2=1,4. Подставляя значения х1 и х2 в линейную функцию, получим:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

1.4. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Приведение задач ЛП к канонической форме

Если математическая модель задачи ЛП имеет вид:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная(1)

то говорят, что задача представлена в канонической форме на минимум (максимум).

Более компактная запись:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная(2)

(1) и (2) – координатные записи канонической задачи ЛП.

Векторная запись канонической задачи:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

где Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная(3)

Матричная запись канонической задачи:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная(4)

где Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Любую задачу ЛП можно свести к канонической по следующим правилам.

1. Переход от задачи на max к задаче на min (и обратно) осуществляется изменением знака целевой функции

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

Исходная и полученная задачи имеют одно и то же оптимальное решение Х*, а значения целевых функций Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяна этом решении отличаются лишь знаком.

2. Если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяЛинией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяЛинией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с нулевыми коэффициентами, в этом случае они не влияют на значение Z(X)

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

3. Если некоторая переменная xk не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными: Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная, где Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

Пример 1. Приведем к канонической форме (на минимум) задачу ЛП:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

1. Перейдем к задаче на минимум

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

2. Введем в каждое ограничение системы ограничений выравнивающие переменные x4, x5, x6. Система запишется в виде равенств.

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

3. В канонической форме записи задач ЛП все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть отрицательными. Допустим, что Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная, где Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу ЛП, представленную в канонической форме:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Принцип работы симплекс-метода

Решение задач ЛП на основе симплекс-метода состоит в целенаправленном переборе угловых точек ОДР в направлении улучшения значения целевой функции.

Сначала находится какое-либо допустимое решение, соответствующее одной из угловых точек ОДР. Проверяются смежные с ней угловые точки, то есть расположенные на той же границе ОДР, что и текущая угловая точка (для двухмерной ОДР – на той же стороне многоугольника, для трехмерной – на том же ребре многогранника и т. д.).

Можно доказать, что переход из одной угловой точки ОДР в другую (смежную) соответствует замене одной переменной в базисе. Такая замена означает, что одна из небазисных переменных (имевшая нулевое значение) включается в базис, т. е. увеличивается, а одна из базисных переменных уменьшается до нуля, т. е. исключается из базиса. Выбор таких переменных выполняется по определенным правилам, обеспечивающим максимально быстрое улучшение целевой функции.

Если ни в одной из смежных угловых точек значение целевой функции не улучшается, то решение задачи завершается; текущая угловая точка ОДР соответствует оптимальному решению задачи. Если имеются смежные угловые точки ОДР, для которых значение целевой функции улучшается, то выполняется переход в ту из них, для которой достигается наиболее быстрое улучшение значения целевой функции. Для новой угловой точки ОДР процесс повторяется. Перебор угловых точек происходит до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение, т. е. пока не будет достигнута угловая точка ОДР, для которой ни в одной из смежных точек значение целевой функции не улучшается.

Метод называется симплексным, т. к. области допустимых решений задач, которые рассматривались на начальном этапе развития метода, имели простейший (simple) вид (рис.1):

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

1.Задача приводится к канонической форме.

2.Строится исходная симплекс-таблица и определяется начальное допустимое решение (начальная угловая точка).

3.Выполняются преобразования симплекс-таблиц, соответствующие перебору угловых точек ОДР, до получения оптимального решения.

Рассмотрим реализацию данного алгоритма при решении задачи линейного программирования:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

где Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

1. Перепишем задачу в каноническом виде, добавив дополнительные неизвестные Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

где Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

2. Запишем первую симплекс-таблицу:

Если в последней строке (среди чисел —c1,…., —c2) нет отрицательных коэффициентов, то базисное решение (когда свободные неизвестные х1 =…= хn =0) будет оптимальным. Действительно, если увеличить от 0 хотя бы одно из свободных неизвестных, то функция будет убывать.

Пусть, например, —c1 0, то при равенстве 0 всех остальных свободных неизвестных х1 можно увеличивать не более чем до числа b1/a11. Если a11Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная0, то неравенство не накладывает ограничений на рост числа х1 (тогда х1 можно увеличивать сколько угодно). Поэтому, если все коэффициенты a11,…, ak1 неположительны, то х1 может расти неограниченно и, при этом, функция Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаябудет нарастать также неограниченно. В этом случае оптимального решения нет.

3. Ограничимся случаями, когда в первом столбце среди чисел a11,…, ak1 есть положительные коэффициенты:Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная, тогда число х1 можно увеличивать до величины x0=minЛинией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная. Пусть min достигается в строке Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяи пусть i1=1. Перейдем к базису, переводя х1 в базис вместо хn+1. Получим новую симплекс-таблицу, для которой значение функции Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаявозрастет на число с1 Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаях0>0.

Для новой симплекс-таблицы, если в последней строке нет отрицательных коэффициентов, соответствующее базисное решение будет оптимальным (функция Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяимеет вид Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная, где числа Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная,…, Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяЛинией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная0 и поэтому увеличивать числа х1,…, хn+1 невыгодно). Если в последней строке будет отрицательный коэффициент, то выполняем предыдущую процедуру (по переходу к новой симплекс таблице) еще раз. За конечное число шагов мы получим оптимальное базисное решение или докажем, что оптимального решения нет.

Пример 2. Для выполнения работ по изготовлению изделий 1-го и 2-го типа имеется 10 единиц 1-го сырья и 8 единиц 2-го сырья. На каждое изделие 1-го типа расходуется по 2 единицы каждого сырья, а для каждого изделия 2-го типа расходуется 4 и 1 единицы сырья каждого типа. Спланировать производство так, чтобы суммарное число изделий было наибольшим.

Пусть изделий 1-го и 2-го типа производится x1 и x2 единиц, тогда сырья 1-го типа будет израсходовано Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная, а сырья 2-го типа Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная. Требуется найти максимум функции Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяпри неотрицательных целых значениях аргумента.

Введем вспомогательные неизвестные x3 и x4 (остатки сырья 1-го и 2-го типа) и получим каноническую задачу:

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

где Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная

Видео:Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)

Целевая функция в задаче ЛП с двумя переменными

В задаче с двумя переменными целевая функция имеет вид

Предположим, что Z = 3x1 + x2. Выясним, как графически можно представить целевую функцию в координатной плоскости Х12. Для этого придадим Z какое-либо постоянное значение, например, Z= 3. Тогда получаем

Это уравнение задает в координатной плоскости Х12 прямую с угловым коэффициентом, равным (-3). Напомним, что угловой коэффициент прямой — это коэффициент, стоящий при аргументе х1, который равен тангенсу угла наклона прямой к оси 0Х1 и, следовательно, задает ее наклон. Нанесем эту прямую на график, представленный на рис. 3.5. Заметим, что для всех точек, принадлежащих данной прямой, значение целевой функции одинаково (постоянно) и равно 3, поскольку все точки прямой удовлетворяют уравнению 3х1 + x2=3.

Положим теперь Z = 5. Тогда в Х12 получаем новую прямую (рис, 3.5), уравнение которой

X1
Z=5
Z=3

Заметим, что угловой коэффициент новой прямой, также как и первой (Z = 3), равен (-3). Следовательно, прямые Z=3и Z=5 параллельны друг другу.

Пусть теперь Z = 6. Рассуждая аналогично, можно построить на графике прямую, задаваемую и этим уравнением. Она также будет параллельна первым двум прямым линиям Z = 3 и Z = 5, поскольку угловой коэффициент и в этом случае остался равным (-3).

Причем по мере удаления от начала координат величина Z возрастает, а при перемещении к началу координат — уменьшается. Легко прийти к выводу: разным значениям целевой функции Z соответствует семейство параллельных прямых.

Для нахождения наибольших и наименьших значений целевой функции необходимо в первую очередь научиться определять, в каком направлении следует перемещать какую-либо линию Z = const, чтобы значение Z возрастало (убывало). Это можно сделать двумя способами. Первый рассмотрен выше: построив пару прямых для разных значений Z и сопоставив их взаимное расположение, определяют направление возрастания или убывания целевой функции. Однако сделать это удобнее на основе использования некоторых сведений из математического анализа, а именно:

• Если задана функция двух переменных Z = f(x1 х2), то линии в Х12 для которых Z = f(x1 х2) = const, называют линиями уровня. Иначе говоря, это те линии, во всех точках которых величина Z постоянна.

• В задачах линейного программирования линиями уровня являются прямые Z = const. Во всех точках, принадлежащих какой-либо линии уровня, значение целевой функции одинаково.

• Важным свойством линий уровня для линейных целевых функций является то, что при их параллельном смещении в одну сторону величина Z только возрастает, а при перемещении в другую сторону — только убывает.

• Определить направление возрастания целевой функции можно с помощью специального вектора, называемого градиентом функции Z = f(x1 х2). Для его обозначения используют символ Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная.

• Вектор-градиент обладает следующим свойством: в каждой точке он перпендикулярен соответствующей линии уровня и указывает направление ее возрастания.

• В задачах линейного программирования с целевой функцией Z = с1х1 + c2x2 координатами вектора Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельнаяявляются его коэффициенты: Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная= (с1, c2) (рис. 3.6).

Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная=(с12)
C2

x2

X1
Z=const
C1

Эти утверждения позволяют строить только одну прямую Z = const и далее определять с помощью вектора с координатами Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная= (c1,c2), в каком направлении целевая функция Z будет возрастать, а в каком убывать.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы.

• Эффективным инструментом для анализа поведения целевой функции являются линии уровня.

• Линии уровня в задачах линейного программирования с двумя переменными — это прямые, во всех точках которых величина Z постоянна.

• Вектор Линией уровня целевой функции задачи лп является прямая параллельная= (с1 ,c2), где с1, с2 — коэффициенты целевой функции, позволяет определить, в какую область значений параметров оптимизации x1 и х2 следует перемещаться, чтобы величина Z возрастала (при ее максимизации) либо убывала (при ее минимизации).

• При изменении коэффициентов (c1, c2) целевой функции Z = с1х1+ c2x2 линии уровня меняют наклон и направление возрастания.

🎦 Видео

Прямая и двойственная задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Прямая и двойственная задачи линейного программирования (ЗЛП)

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Линейное программирование Часть 1. Постановка задачиСкачать

Линейное программирование Часть 1. Постановка задачи

Решение задачи линейного программирования при помощи надстройки Поиск решенияСкачать

Решение задачи линейного программирования при помощи надстройки Поиск решения

Cимплексный метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Cимплексный метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)

СИМПЛЕКС МЕТОД: ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯСкачать

СИМПЛЕКС МЕТОД: ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Геометрический метод решения задачи линейного программированияСкачать

Геометрический метод решения задачи линейного программирования

Математика без Ху!ни. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.Скачать

Математика без Ху!ни. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.

Урок 2. Экономический смысл двойственной задачиСкачать

Урок 2. Экономический смысл двойственной  задачи

Графический метод решения задачи линейного программирования.Скачать

Графический метод решения задачи линейного программирования.

Лекция 1. Комментарии к дистанционной лекции по линейному программированию.Скачать

Лекция 1. Комментарии к дистанционной лекции по линейному программированию.

Практическая работа "Решение задач линейного программирования графическим методом".Скачать

Практическая работа "Решение задач линейного программирования графическим методом".

Линейное программированиеСкачать

Линейное программирование

Практика 2 Способы переходов между формами задач линейного программированияСкачать

Практика 2  Способы переходов между формами задач линейного программирования

Лекция 4 Анализ чувствительности решения задачи линейного программированияСкачать

Лекция 4  Анализ чувствительности решения задачи линейного программирования

Симплексный метод (табличный оформление №1) решения задачи линейного программирования.Скачать

Симплексный метод (табличный оформление №1)  решения задачи линейного программирования.

Поверхности и линии уровняСкачать

Поверхности и линии уровня

Решение задачи линейного программирования графическим методомСкачать

Решение задачи линейного программирования графическим методом
Поделиться или сохранить к себе: