Лемма 2 две параллельные прямые

Параллельность прямых

Лемма 2 две параллельные прямые

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Определение параллельности прямых
  2. Свойства и признаки параллельных прямых
  3. Задача 1
  4. Задача 2
  5. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых
  6. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  7. Определения параллельных прямых
  8. Признаки параллельности двух прямых
  9. Аксиома параллельных прямых
  10. Обратные теоремы
  11. Пример №1
  12. Параллельность прямых на плоскости
  13. Две прямые, перпендикулярные третьей
  14. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  15. Признаки параллельности прямых
  16. Пример №2
  17. Пример №3
  18. Пример №4
  19. Аксиома параллельных прямых
  20. Пример №5
  21. Пример №6
  22. Свойства параллельных прямых
  23. Пример №7
  24. Пример №8
  25. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  26. Расстояние между параллельными прямыми
  27. Пример №9
  28. Пример №10
  29. Справочный материал по параллельным прямым
  30. Перпендикулярные и параллельные прямые
  31. 📽️ Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Лемма 2 две параллельные прямые
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Лемма 2 две параллельные прямые
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Лемма 2 две параллельные прямые

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Лемма 2 две параллельные прямые

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Лемма 2 две параллельные прямые

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Лемма 2 две параллельные прямые

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Лемма 2 две параллельные прямые). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Лемма 2 две параллельные прямые

Лемма 2 две параллельные прямые

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Лемма 2 две параллельные прямыеимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Лемма 2 две параллельные прямые, но не принадлежит прямой Лемма 2 две параллельные прямые. Говорят, что прямые Лемма 2 две параллельные прямыепересекаются в точке М.
Лемма 2 две параллельные прямые

Это можно записать так: Лемма 2 две параллельные прямые— знак принадлежности точки прямой, «Лемма 2 две параллельные прямые» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Лемма 2 две параллельные прямыепараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Лемма 2 две параллельные прямые

Лемма 2 две параллельные прямые

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Лемма 2 две параллельные прямыеперпендикулярны (рис. 12), то пишут Лемма 2 две параллельные прямые

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Лемма 2 две параллельные прямые

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аЛемма 2 две параллельные прямыеb.
  2. Если Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2 = 90°, то а Лемма 2 две параллельные прямыеАВ и b Лемма 2 две параллельные прямыеАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аЛемма 2 две параллельные прямыеb.
  3. Если Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2Лемма 2 две параллельные прямые90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Лемма 2 две параллельные прямыеa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Лемма 2 две параллельные прямыеОFА = Лемма 2 две параллельные прямыеОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2). Из равенства этих треугольников следует, что Лемма 2 две параллельные прямыеЗ = Лемма 2 две параллельные прямые4 и Лемма 2 две параллельные прямые5 = Лемма 2 две параллельные прямые6.
  6. Так как Лемма 2 две параллельные прямые3 = Лемма 2 две параллельные прямые4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Лемма 2 две параллельные прямые5 = Лемма 2 две параллельные прямые6 следует, что Лемма 2 две параллельные прямые6 = 90°. Получаем, что а Лемма 2 две параллельные прямыеFF1 и b Лемма 2 две параллельные прямыеFF1, а аЛемма 2 две параллельные прямыеb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Лемма 2 две параллельные прямые1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Лемма 2 две параллельные прямые
2) Заметим, что Лемма 2 две параллельные прямые2 = Лемма 2 две параллельные прямые3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2 и Лемма 2 две параллельные прямые2 = Лемма 2 две параллельные прямые3 следует, что Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аЛемма 2 две параллельные прямыеb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Лемма 2 две параллельные прямыеAOF = Лемма 2 две параллельные прямыеABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Лемма 2 две параллельные прямые1 + Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Лемма 2 две параллельные прямые3 + Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Лемма 2 две параллельные прямыеl + Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180° и Лемма 2 две параллельные прямые3 + Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180° следует, что Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Лемма 2 две параллельные прямыеa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Лемма 2 две параллельные прямые

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аЛемма 2 две параллельные прямыеb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Лемма 2 две параллельные прямые

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямыеF и Лемма 2 две параллельные прямые2 = Лемма 2 две параллельные прямыеF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аЛемма 2 две параллельные прямыеb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Лемма 2 две параллельные прямые

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Лемма 2 две параллельные прямые

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Лемма 2 две параллельные прямые2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Лемма 2 две параллельные прямые2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Лемма 2 две параллельные прямыеb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Лемма 2 две параллельные прямые3 = Лемма 2 две параллельные прямыеB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые3. Кроме того, Лемма 2 две параллельные прямые2 = Лемма 2 две параллельные прямые3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые3 и Лемма 2 две параллельные прямые2 = Лемма 2 две параллельные прямые3 следует, что Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2.

Лемма 2 две параллельные прямые

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Лемма 2 две параллельные прямые4 = Лемма 2 две параллельные прямыеBAF. Действительно, Лемма 2 две параллельные прямые4 и Лемма 2 две параллельные прямыеFAC равны как соответственные углы, a Лемма 2 две параллельные прямыеFAC = Лемма 2 две параллельные прямыеBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Лемма 2 две параллельные прямые1 + Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180° (рис. 97, а).

Лемма 2 две параллельные прямые

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Лемма 2 две параллельные прямые2 + Лемма 2 две параллельные прямые3= 180°.

4) Из равенств Лемма 2 две параллельные прямые= Лемма 2 две параллельные прямые3 и Лемма 2 две параллельные прямые2 + Лемма 2 две параллельные прямые3 = 180° следует, что Лемма 2 две параллельные прямые1 + Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Лемма 2 две параллельные прямыеBAF + Лемма 2 две параллельные прямыеTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сЛемма 2 две параллельные прямыеа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Лемма 2 две параллельные прямые

Так как Лемма 2 две параллельные прямые1 = 90°, то и Лемма 2 две параллельные прямые2 = Лемма 2 две параллельные прямые1 = 90°, а, значит, сЛемма 2 две параллельные прямыеb.

Что и требовалось доказать.

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыепараллельны, то есть Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые Лемма 2 две параллельные прямые(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Лемма 2 две параллельные прямые, лучи АВ и КМ.

Лемма 2 две параллельные прямые

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, то Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые Лемма 2 две параллельные прямые(рис. 161).

Лемма 2 две параллельные прямые

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Лемма 2 две параллельные прямые(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Лемма 2 две параллельные прямые, перпендикулярную прямой Лемма 2 две параллельные прямые. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Лемма 2 две параллельные прямыеи строят другую перпендикулярную прямую Лемма 2 две параллельные прямые, затем — третью прямую Лемма 2 две параллельные прямыеи т. д. Поскольку прямые Лемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямыеперпендикулярны одной прямой Лемма 2 две параллельные прямые, то из указанной теоремы следует, что Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые.

Лемма 2 две параллельные прямые

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Лемма 2 две параллельные прямые

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Лемма 2 две параллельные прямые, параллельной прямой Лемма 2 две параллельные прямыеи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, то Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыетретьей прямой Лемма 2 две параллельные прямые, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Лемма 2 две параллельные прямые

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Лемма 2 две параллельные прямые3 иЛемма 2 две параллельные прямые5,Лемма 2 две параллельные прямые4 иЛемма 2 две параллельные прямые6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Лемма 2 две параллельные прямые2 иЛемма 2 две параллельные прямые8,Лемма 2 две параллельные прямые1 иЛемма 2 две параллельные прямые7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Лемма 2 две параллельные прямые2 иЛемма 2 две параллельные прямые6,Лемма 2 две параллельные прямые3 иЛемма 2 две параллельные прямые7,Лемма 2 две параллельные прямые1 иЛемма 2 две параллельные прямые5,Лемма 2 две параллельные прямые4 иЛемма 2 две параллельные прямые8 — соответственные углы;
  • Лемма 2 две параллельные прямые3 иЛемма 2 две параллельные прямые6,Лемма 2 две параллельные прямые4 иЛемма 2 две параллельные прямые5 — внутренние односторонние углы;
  • Лемма 2 две параллельные прямые2 иЛемма 2 две параллельные прямые7,Лемма 2 две параллельные прямые1 иЛемма 2 две параллельные прямые8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Лемма 2 две параллельные прямые

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые— данные прямые, АВ — секущая, Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2 (рис. 166).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказать: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Лемма 2 две параллельные прямыеи продлим его до пересечения с прямой Лемма 2 две параллельные прямыев точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Лемма 2 две параллельные прямые1 = Лемма 2 две параллельные прямые2 по условию, Лемма 2 две параллельные прямыеBMK =Лемма 2 две параллельные прямыеAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Лемма 2 две параллельные прямыеANM =Лемма 2 две параллельные прямыеBKM = 90°. Тогда прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2 (рис. 167).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказать: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеи секущей Лемма 2 две параллельные прямые. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямыеl +Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180° (рис. 168).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказать: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеи секущей Лемма 2 две параллельные прямые. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Лемма 2 две параллельные прямые

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Лемма 2 две параллельные прямыеAOB = Лемма 2 две параллельные прямыеDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Лемма 2 две параллельные прямыеBAO=Лемма 2 две параллельные прямыеCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Лемма 2 две параллельные прямыеBAK = 26°, Лемма 2 две параллельные прямыеADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Лемма 2 две параллельные прямыеBAC = 2 •Лемма 2 две параллельные прямыеBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Лемма 2 две параллельные прямыеADK +Лемма 2 две параллельные прямыеBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Лемма 2 две параллельные прямые1=Лемма 2 две параллельные прямые2. Так как Лемма 2 две параллельные прямыеBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Лемма 2 две параллельные прямые2 =Лемма 2 две параллельные прямые3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Лемма 2 две параллельные прямые||Лемма 2 две параллельные прямые.

Реальная геометрия

Лемма 2 две параллельные прямые

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Лемма 2 две параллельные прямые

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Лемма 2 две параллельные прямыепроходит через точку М и параллельна прямой Лемма 2 две параллельные прямые(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Лемма 2 две параллельные прямыев некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Лемма 2 две параллельные прямые

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямые||Лемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые(рис. 187).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказать: Лемма 2 две параллельные прямые||Лемма 2 две параллельные прямые.

Доказательство:

Предположим, что прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыене параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые, параллельные третьей прямой Лемма 2 две параллельные прямые. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Лемма 2 две параллельные прямые||Лемма 2 две параллельные прямые. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2,Лемма 2 две параллельные прямые3 =Лемма 2 две параллельные прямые4. Доказать, что Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые.

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямыепо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые. Так как Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые, то Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямыепо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Лемма 2 две параллельные прямые

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Лемма 2 две параллельные прямые, которая параллельна прямой Лемма 2 две параллельные прямыепо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыене пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые, которые параллельны прямой Лемма 2 две параллельные прямые. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыепересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые, АВ — секущая,Лемма 2 две параллельные прямые1 иЛемма 2 две параллельные прямые2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказать: Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2.

Доказательство:

Предположим, чтоЛемма 2 две параллельные прямые1 Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямыепо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые, параллельные прямой Лемма 2 две параллельные прямые. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иЛемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямые— секущая,Лемма 2 две параллельные прямые1 иЛемма 2 две параллельные прямые2 — соответственные (рис. 196).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказать:Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые, Лемма 2 две параллельные прямые— секущая,Лемма 2 две параллельные прямые1 иЛемма 2 две параллельные прямые2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказать:Лемма 2 две параллельные прямыеl +Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Лемма 2 две параллельные прямые2 +Лемма 2 две параллельные прямые3 = 180°. По свойству параллельных прямыхЛемма 2 две параллельные прямыеl =Лемма 2 две параллельные прямые3 как накрест лежащие. Следовательно,Лемма 2 две параллельные прямыеl +Лемма 2 две параллельные прямые2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, т. е.Лемма 2 две параллельные прямые1 = 90°. Согласно следствию Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, т. е.Лемма 2 две параллельные прямые2 = 90°.

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Лемма 2 две параллельные прямые

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Лемма 2 две параллельные прямыеАОВ =Лемма 2 две параллельные прямыеDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Лемма 2 две параллельные прямые

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Лемма 2 две параллельные прямыеABD =Лемма 2 две параллельные прямыеCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Лемма 2 две параллельные прямыеADB =Лемма 2 две параллельные прямыеCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыепараллельны, то пишут: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые(рис. 211).

Лемма 2 две параллельные прямые

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Лемма 2 две параллельные прямые

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Лемма 2 две параллельные прямые

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеЛемма 2 две параллельные прямые2 =Лемма 2 две параллельные прямые3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоЛемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые3. Значит,Лемма 2 две параллельные прямые1 =Лемма 2 две параллельные прямые2.

Лемма 2 две параллельные прямые

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямыеи АВЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, то расстояние между прямыми Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Лемма 2 две параллельные прямые. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Лемма 2 две параллельные прямые

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые, А Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, С Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, АВЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые, CDЛемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Лемма 2 две параллельные прямые

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Лемма 2 две параллельные прямыеCAD =Лемма 2 две параллельные прямыеBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Лемма 2 две параллельные прямыеравны (см. рис. 285). Прямая Лемма 2 две параллельные прямые, проходящая через точку А параллельно прямой Лемма 2 две параллельные прямые, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Лемма 2 две параллельные прямые, которая параллельна прямой Лемма 2 две параллельные прямые. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Лемма 2 две параллельные прямыебудет перпендикуляром и к прямой Лемма 2 две параллельные прямые(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Лемма 2 две параллельные прямыеADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Лемма 2 две параллельные прямыеBAD +Лемма 2 две параллельные прямыеADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Лемма 2 две параллельные прямые

Тогда Лемма 2 две параллельные прямыеBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Лемма 2 две параллельные прямыеАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Лемма 2 две параллельные прямые, параллельную прямой Лемма 2 две параллельные прямые.

Лемма 2 две параллельные прямые

Тогда Лемма 2 две параллельные прямые|| Лемма 2 две параллельные прямые. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Лемма 2 две параллельные прямыеравноудалены от прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыена расстояние Лемма 2 две параллельные прямыеАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые, то есть расстояние от точки М до прямой Лемма 2 две параллельные прямыеравно Лемма 2 две параллельные прямыеАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Лемма 2 две параллельные прямые. Но через точку К проходит единственная прямая Лемма 2 две параллельные прямые, параллельная Лемма 2 две параллельные прямые. Значит, точка М принадлежит прямой Лемма 2 две параллельные прямые.

Таким образом, все точки прямой Лемма 2 две параллельные прямыеравноудалены от прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Лемма 2 две параллельные прямые. Прямая Лемма 2 две параллельные прямые, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Лемма 2 две параллельные прямые

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Лемма 2 две параллельные прямыеЛемма 2 две параллельные прямые

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Лемма 2 две параллельные прямые

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямые— параллельны.

Лемма 2 две параллельные прямые

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Лемма 2 две параллельные прямыеи Лемма 2 две параллельные прямыеесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Лемма 2 две параллельные прямые

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Ералаш №8 "Аксиома"Скачать

Ералаш №8 "Аксиома"

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: