Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Доказательство

Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру

Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:

  1. Каждая сторона этого квадрата имеет длину a + b, значит его общая площадь: A = (a + b) (a + b);
  2. Площадь наименьшего квадрата (который находится внутри, под наклоном): c²;
  3. Площадь каждого из треугольников: ab/2. Значит площадь всех четырёх вместе: 4ab/2 = 2ab;
  4. Сумма наименьшего квадрата и треугольников: A = c² + 2ab;
  5. Площадь большого квадрата (A = (a + b) (a + b)) равна сумме наименьшего квадрата со всеми треугольниками. Значит:

(a + b) (a + b) = c² + 2ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Что и требовалось доказать.

«Пифагоровы штаны на все стороны равны»

Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора

Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.

Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):

Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).

  1. Общая площадь исходного треугольника (С) равна сумме двух новых, маленьких (A и B): С = А + B;
  2. Делим «Пифагоровы штаны» на 3 похожие фигуры:

Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

  • Все 3 треугольника подобны друг другу (A, B, C) и из-за этого «фигуры-домики» также являются подобными.
  • Значит соотношение площади A и a² будет одинаковым с площадью B и b², но и с площадью C и c². Т. е.: A/a² = B/b² = C/c² = β (назовём это соотношение греческой буквой бета);
  • Площадь каждого треугольника, через площадь каждого из квадратов, равна: A = βa², B = βb², C = βc²;
  • Вспомним, что С = А + B, т. е. βc² = βa² + βb², это равно c² = a² + b².
  • Что и требовалось доказать.

    Видео:Определение длины гипотенузыСкачать

    Определение длины гипотенузы

    Примеры

    Задача 1

    Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

    На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.

    Подставить известные значения

    Ответ: длина гипотенузы равна 5.

    Задача 2

    Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

    Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.

    Подставить известные значения

    Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.

    Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

    Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

    Следствия из теоремы Пифагора

    Это основные следствия теоремы:

    1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из двух катетов.
    2. Если применить формулу теоремы Пифагора (c² = a² + b²) и равенство будет верным, (т.е. если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон), то треугольник прямоугольный.
    3. Из формулы теоремы Пифагора также можно посчитать любой из катетов: a² = c² − b² либо b² = c² − a².
    4. Любой косинус (cos) острого угла будет меньше 1.

    Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

    Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

    Кто придумал теорему Пифагора

    Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

    Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.

    Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

    КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

    Теорема Пифагора

    Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике

    О чем эта статья:

    Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
    Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
    (в правом нижнем углу экрана).

    Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

    8. Медиана треугольника и её свойства.

    Основные понятия

    Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

    Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

    Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

    Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

    где a, b — катеты, с — гипотенуза.

    Из этой формулы можно вывести следующее:

    • a = √c 2 − b 2
    • b = √c 2 − a 2
    • c = √a 2 + b 2

    Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

    • если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
    • если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
    • если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.
    Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

    Видео:Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

    Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

    Теорема Пифагора: доказательство

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

    Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

    Пошаговое доказательство:

    • Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
    • Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
    • Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
    • Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
    • Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
    • Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
    • Сложим полученные равенства:

    a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

    a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

    a 2 + b 2 = c * AB

    Видео:Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnlineСкачать

    Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnline

    Обратная теорема Пифагора: доказательство

    Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

    Дано: ∆ABC

    Доказать: ∠C = 90º

    Пошаговое доказательство:

    • Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
    • Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
    • Проведём отрезок A₁B₁.
    • Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
    • В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
    • Таким образом получится:
    • Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
    1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
    2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.
    • Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
    • Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

    Обратная теорема доказана.

    Видео:Геометрия В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетовСкачать

    Геометрия В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетов

    Решение задач

    Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

    Как решаем:

    Пусть катеты a = 6 и b = 8.

    По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

    Подставим значения a и b в формулу:
    c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
    c = √100 = 10.

    Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

    • Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

    Ответ: треугольник не является прямоугольным.

    Видео:8 класс, 16 урок, Теорема ПифагораСкачать

    8 класс, 16 урок, Теорема Пифагора

    Теорема Пифагора: квадрату гипотенузы равна сумма катетов, возведенных в квадрат

    Каждый школьник знает, что всегда квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат. Эта утверждение носит название теоремы Пифагора. Она является одной из самых известных теорем тригонометрии и математики в целом. Рассмотрим ее подробнее.

    Видео:Теорема ПИФАГОРА ❤️Скачать

    Теорема ПИФАГОРА ❤️

    Понятие о прямоугольном треугольнике

    Перед тем, как переходить к рассмотрению теоремы Пифагора, в которой квадрат гипотенузы равен сумме катетов, которые возведены в квадрат, следует рассмотреть понятие и свойства прямоугольного треугольника, для которого справедлива теорема.

    Квадрат гипотенузы прямоугольном треугольнике Вам будет интересно: Какую траекторию оставляет в небе реактивный самолет при движении?

    Треугольник — плоская фигура, имеющая три угла и три стороны. Прямоугольный же треугольник, как следует из его названия, имеет один прямой угол, то есть этот угол равен 90o.

    Из общих свойств для всех треугольников известно, что сумма всех трех углов этой фигуры равна 180o, а это означает, что для прямоугольного треугольника сумма двух углов, которые не являются прямыми, составляет 180o — 90o = 90o. Последний факт означает, что любой угол в прямоугольном треугольнике, который не является прямым, будет всегда меньше 90o.

    Сторону, которая лежит против прямого угла, принято называть гипотенузой. Две же другие стороны являются катетами треугольника, они могут быть равны между собой, а могут и отличаться. Из тригонометрии известно, что чем больше угол, против которого лежит сторона в треугольнике, тем больше длина этой стороны. Это означает, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (лежит против угла 90o) будет всегда больше любого из катетов (лежат против углов Понравилась статья? Поделись с друзьями:

    🎥 Видео

    Катеты равны квадрату и кубу гипотенузы ➜ Найдите гипотенузуСкачать

    Катеты равны квадрату и кубу гипотенузы ➜ Найдите гипотенузу

    Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

    Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

    Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, если его периметр и площадьСкачать

    Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, если его периметр и площадь

    Найдите гипотенузуСкачать

    Найдите гипотенузу

    Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

    Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике

    7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

    7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

    Катеты и гипотенузаСкачать

    Катеты и гипотенуза

    Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

    Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13

    Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

    Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: