Косинус икс равен 1 на окружности

Решение уравнений cosx

Косинус икс равен 1 на окружности

Косинус икс равен 1 на окружности

Косинус икс равен 1 на окружности

Косинус икс равен 1 на окружности

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Решение уравнений cos(x)

— это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу .

Косинус икс равен 1 на окружности

cosx = 1

cosx = 1

На единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1.

Косинус икс равен 1 на окружности

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, , , , . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов . Все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Косинус икс равен 1 на окружности

где, — множество целых чисел.

cosx = -1

cosx = -1

Снова, на единичной окружности есть всего лишь одна точка с абсциссой -1.

Косинус икс равен 1 на окружности

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны.

Косинус икс равен 1 на окружности

cosx = 0

cosx = 0

Точки с абсциссой образуют на единичной окружности вертикальную диаметральную пару.

Косинус икс равен 1 на окружности

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа (полуоборотов):

Косинус икс равен 1 на окружности

cosx = 1/2

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 1/2.

Косинус икс равен 1 на окружности

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:

Косинус икс равен 1 на окружности

Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Косинус икс равен 1 на окружности

Обе формулы можно записать одной формулой:

Косинус икс равен 1 на окружности

Другие уравнения с косинусом

Остальные уравнения с косинусом решаются аналогично:

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=A

cosx=1

Эта ассоциация позволяет легко запомнить формулу для решения частного случая тригонометрического уравнения cosx=1.

Как и другие частные случаи косинуса, решение уравнения cosx=1 удобнее всего рассматривать на единичной окружности.

Ассоциация прежняя: косинус-колобок . И начинаются они одинаково, на ко-, и округлые буквы в его названии: c, o, s.

А колобку с его фигурой удобно двигаться вправо-влево, но никак не вверх-вниз. Влево-вправо у нас движение по оси ox, а значит, косинус — это x.

Нам нужны точки, в которых x равен 1, поэтому идем вправо. Попадаем в 0. Это только одна из точек, в которой cosx=1.

Через полный оборот окружности мы снова попадем в точку, в которой косинус равен единице.

Если идти против часовой стрелки, этой следующей точкой будет 2π, по часовой стрелке — -2π. Через 2,3,4 и т.д. оборота мы снова попадаем в точки, в которых cosx=1.

Чтобы учесть все такие точки, 2π умножаем на n, где n — целое число. Таким образом, окончательно имеем: если cosx=1, то x=0+2πn, или просто x=2πn.

Видео:Единичная окружность и уравнение косинус икс равен а.Скачать

Единичная окружность и уравнение косинус икс равен а.

Решение уравнения sin x — cos x = 1. Урок-семинар

Разделы: Математика

Цели урока:

Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.

Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.

Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.

Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.

  1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
  2. Разложение левой части уравнения на множители.
  3. Введение вспомогательного угла.
  4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
  5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
  6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
  7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
  8. Графическое решения уравнения.

Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-4 человека) в зависимости от общего количества учащихся и их индивидуальных способностей и желания. Самостоятельно определяют для себя тему для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.

Организационный момент.

Тема урока:

“Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x — cos x = 1

Форма проведения: урок – семинар.

Эпиграф к уроку:

“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы”

Задачи урока:

а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).

План семинара

  1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
  2. Разложение левой части уравнения на множители.
  3. Введение вспомогательного угла.
  4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
  5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
  6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
  7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
  8. Графическое решения уравнения.

Содержание.

1. Слово предоставляется первому участнику.

Приведение уравнения sin x — cos x = 1 к однородному относительно синуса и косинуса.
Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей, используя основное тригонометрическое тождество:

2 sin Косинус икс равен 1 на окружностиcos Косинус икс равен 1 на окружности— cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности+ sin Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности= sin Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности+ cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности;

2 sin Косинус икс равен 1 на окружностиcos Косинус икс равен 1 на окружности— cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности=0 ;
cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности= 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует
Косинус икс равен 1 на окружности

cos Косинус икс равен 1 на окружности=0 ; Косинус икс равен 1 на окружности=Косинус икс равен 1 на окружности

Косинус икс равен 1 на окружности= 0 — однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos Косинус икс равен 1 на окружности. (cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности0, так как если cos Косинус икс равен 1 на окружности= 0 , то sin Косинус икс равен 1 на окружности— 0 = 0 Косинус икс равен 1 на окружностиsin Косинус икс равен 1 на окружности= 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности+ cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности= 1).

Получим tg Косинус икс равен 1 на окружности-1 = 0 ; tg Косинус икс равен 1 на окружности= 1 ; Косинус икс равен 1 на окружности= Косинус икс равен 1 на окружности
Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности
2. Слово предоставляется второму участнику.

Разложение левой части уравнения sin x — cos x = 1 на множители.

sin x – (1+ cos x ) = 1; используем формулы 1+ cos x = 2 Косинус икс равен 1 на окружности, Косинус икс равен 1 на окружностиполучим Косинус икс равен 1 на окружности;
Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружностидалее аналогично:

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует
Косинус икс равен 1 на окружности

cos Косинус икс равен 1 на окружности=0 ; Косинус икс равен 1 на окружности=Косинус икс равен 1 на окружности
Косинус икс равен 1 на окружности= 0 — однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos Косинус икс равен 1 на окружности. (cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности0, так как если cos Косинус икс равен 1 на окружности= 0 , то sin Косинус икс равен 1 на окружности— 0 = 0 Косинус икс равен 1 на окружностиsin Косинус икс равен 1 на окружности= 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности+ cos Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности= 1)

Получим tg Косинус икс равен 1 на окружности-1 = 0 ; tg Косинус икс равен 1 на окружности= 1 ; Косинус икс равен 1 на окружности= Косинус икс равен 1 на окружности
Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности

3. Слово предоставляется третьему участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 введением вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Умножим и разделим каждое слагаемое левой части
уравнения на Косинус икс равен 1 на окружности. Получим Косинус икс равен 1 на окружностии вынесем в левой части уравнения Косинус икс равен 1 на окружностиза скобку. Получим Косинус икс равен 1 на окружности; Разделим обе части уравнения на Косинус икс равен 1 на окружностии используем табличные значения тригонометрических функций. Получим Косинус икс равен 1 на окружности; Применим формулу синус разности.
Косинус икс равен 1 на окружности;
Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности
Легко установить(с помощью тригонометрического круга), что полученное решение распадается на два случая: Косинус икс равен 1 на окружности

Косинус икс равен 1 на окружности; Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности

Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности

4. Слово предоставляется четвертому участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение в виде Косинус икс равен 1 на окружности, используя формулу приведения Косинус икс равен 1 на окружности. Применяя формулу разности двух синусов, получим

Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности;

и так далее, аналогично предыдущему способу.Косинус икс равен 1 на окружности

Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности

5. Слово предоставляется пятому участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество Косинус икс равен 1 на окружности, откуда следует
Косинус икс равен 1 на окружностиподставим полученное выражение в данное уравнение.
sin x — cos x = 1 Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности,

Косинус икс равен 1 на окружности

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

Косинус икс равен 1 на окружности

Косинус икс равен 1 на окружности

Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружности Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.

Полученные решения эквивалентны объединению трех решений: Косинус икс равен 1 на окружности

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Остается проверить третье решение Косинус икс равен 1 на окружностиПодставим.
Левая часть: Косинус икс равен 1 на окружности

Получили: Косинус икс равен 1 на окружности, следовательно, Косинус икс равен 1 на окружности– постороннее решение.

Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности

6. Слово предоставляется шестому участнику.

Возведение обеих частей уравнения sin x — cos x = 1 в квадрат.

Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

Косинус икс равен 1 на окружности;

Косинус икс равен 1 на окружности;

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности; sin 2x = 0 ; Косинус икс равен 1 на окружности.

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

Косинус икс равен 1 на окружности

(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения — посторонние.

Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности

7. Слово предоставляется седьмому участнику.

Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x — cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:

Косинус икс равен 1 на окружности
Запишем данное уравнение с учетом приведенных формул в виде Косинус икс равен 1 на окружности.
Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности,

получим Косинус икс равен 1 на окружностиКосинус икс равен 1 на окружности

ОДЗ данного уравнения – все множество R. При переходе к Косинус икс равен 1 на окружностииз рассмотрения выпали значения, при которых Косинус икс равен 1 на окружностине имеет смысла, т. е. Косинус икс равен 1 на окружностиили Косинус икс равен 1 на окружности.

Следует проверить, не являются ли Косинус икс равен 1 на окружностирешениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.

Левая часть: Косинус икс равен 1 на окружности.

Получили 1=1. Значит, Косинус икс равен 1 на окружности— решение данного уравнения.

Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности

8. Слово предоставляется восьмому участнику.

Рассмотрим графическое решение уравнения sin x — cos x = 1.

Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.

Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Ответ: Косинус икс равен 1 на окружности

Итог урока.

  • Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида Косинус икс равен 1 на окружности, освоили новый материал.
  • На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.
  • Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.
  • Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литратурой.

Список использованной литературы:

  1. Татарченкова С.С. Урок как педагогический феномен – Санкт-Петербург: Каро, 2005
  2. Выгодский Н.В. Справочник по элементарной математике.-М.: Наука, 1975.
  3. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Книга для учащихся 10-11 класса – М.: Просвещение, 1996.
  4. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России – М.: ОГИЗ, 1946.
  5. Депман И.Я. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1999.
  6. Дорофеев Г.В. и др. Математика: для поступающих в вузы – М.: Дрофа, 2000.
  7. Математика: Большой энциклопедический словарь. – М.: БСЭ, 1998.
  8. Мордкович А.Г. и др. Справочник школьника по математике. 10-11кл. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум, 1997.
  9. 300 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
  10. 3600 задач по алгебре и началам анализа. – М.: Дрофа, 1999.
  11. Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – М.: Дрофа, 1999.
  12. Торосян В.Г. История образования и педагогической мысли: учеб. для студентов вузов. — М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2006.- 351 с.
  13. Крылова Н.Б. Педагогическая, психологическая и нравственная поддержка как пространство личностных изменений ребёнка и взрослого.// Классный руководитель.- 2000.- №3. –С.92-103.

💡 Видео

Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Как решать тригонометрические неравенства?

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решенияСкачать

Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решения

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: