Косинус больше или равен 0 на окружности

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Шаг 1. Введите неравенство

Укажите решение неравенства: cos(x)>0 (множество решений неравенства)

Решение

Дано неравенство:
$$cos > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние

Получим:
$$cos = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + operatorname$$
$$x = pi n — pi + operatorname$$
Или
$$x = pi n + frac$$
$$x = pi n — frac$$
, где n — любое целое число
$$x_ = pi n + frac$$
$$x_ = pi n — frac$$
$$x_ = pi n + frac$$
$$x_ = pi n — frac$$
Данные корни
$$x_ = pi n + frac$$
$$x_ = pi n — frac$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ 0$$
$$cos<left (pi n + frac + — frac right )> > 0$$

Тогда
$$x pi n + frac wedge x

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Когда косинус равен 0 на окружности

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Решение уравнений cosx

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение уравнений cos(x)

— это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу .

cosx = 1

cosx = 1

На единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1.

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, , , , . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов . Все эти углы могут быть записаны одной формулой:

где, — множество целых чисел.

cosx = -1

cosx = -1

Снова, на единичной окружности есть всего лишь одна точка с абсциссой -1.

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны.

cosx = 0

cosx = 0

Точки с абсциссой образуют на единичной окружности вертикальную диаметральную пару.

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа (полуоборотов):

cosx = 1/2

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 1/2.

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:

Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе формулы можно записать одной формулой:

Другие уравнения с косинусом

Остальные уравнения с косинусом решаются аналогично:

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Синус, косинус, тангенс и котангенс углов от 0 до 180 градусов.Скачать

cosx=0

Эта ассоциация помогает легко запомнить формулу для решения тригонометрического уравнения cosx=0.

Используем ассоциацию косинус-колобок.

Начинаются они одинаково, на ко-. Колобок движется влево-вправо, в силу особенностей своей фигуры. А влево-вправо на координатной плоскости происходит движение вдоль оси ox. Значит косинус — это x.

Для решения уравнения cosx=0 нам нужно найти точки, в которых косинус обращается в нуль. Как и в других частных случаях косинуса, решение ищем на единичной окружности, то есть на окружности с радиусом R=1.

Итак, cosx=0, косинус — это x, значит, двигаться ни влево, ни вправо не надо (колобок подпрыгнул на месте:)).

На единичной окружности x=0 соответствуют две точки: одна вверху, это п/2, другая — внизу, -п/2. Чтобы из одной точки попасть в другую, надо пройти половину окружности, то есть п.

Но через каждый интервал длиной п мы будет получать все новые и новые точки, в которых косинус равен нулю.

Чтобы учесть все такие точки, к первой точке прибавляем пn, где n — целое число (то есть принадлежит Z).

Таким образом, решение уравнения cosx=0 есть множество точек x=п/2+пn, где n — целое число. И соответствующий чертеж для иллюстрации ассоциации:

Видео:Тригонометрия. Значения синуса и косинуса углов 0°,90°,180°, 270 °, 360° . 10-11 классСкачать

Косинус

Коcинус – одна из тригонометрических функций. Значение косинуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).

Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

Аргумент и значение

Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Косинус острого угла больше (0) и меньше (1)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Косинус числа

Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи : (frac ) , (frac ) , (-2π).

Например, для числа (frac ) — косинус будет равен (frac > ) . А для числа (-) (frac ) он будет равен (-) (frac > ) (приблизительно (-0,71)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице .

Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от (0) до (1), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от (0) до (-1), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).

Пример. Определите знак (cos 1).
Решение: Найдем (1) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что (π=3,14). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что (cos⁡1) – положителен.
Ответ: плюс.

Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1)
— тангенсом того же угла (или числа): формулой (1+tg^2⁡x=) (frac )
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой (ctgx=) (frac > )
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Видео:Вариант #20 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 БалловСкачать

Функция (y=cos )

Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: (D(cos )=R)
— область значений – от (-1) до (1) включительно: (E(cos )=[-1;1])
— четная: (cos⁡(-x)=cos )
— периодическая с периодом (2π): (cos⁡(x+2π)=cos )
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: (() (frac ) (+πn),(;0)), где (n ϵ Z)
ось ординат: ((0;1))
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: ((-) (frac ) (+2πn;) (frac ) (+2πn)), где (n ϵ Z)
функция отрицательна на интервалах: (() (frac ) (+2πn;) (frac ) (+2πn)), где (n ϵ Z)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
функция убывает на интервалах: ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=2πn), где (n ϵ Z)
функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=π+2πn), где (n ϵ Z).

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Косинус

Коcинус – одна из тригонометрических функций. Значение косинуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Аргумент и значение

Видео:9 класс. Геометрия. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°. Единичная окружность. Урок #1Скачать

Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Косинус острого угла больше (0) и меньше (1)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Видео:Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Косинус числа

Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи : (frac) , (frac) , (-2π).

Например, для числа (frac) — косинус будет равен (frac<sqrt>) . А для числа (-) (frac) он будет равен (-) (frac<sqrt>) (приблизительно (-0,71)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице .

Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Видео:Как найти значения синуса и косинуса, НЕ запоминая!Скачать

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от (0) до (1), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от (0) до (-1), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).

Пример. Определите знак (cos 1).
Решение: Найдем (1) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что (π=3,14). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что (cos⁡1) – положителен.
Ответ: плюс.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1)
— тангенсом того же угла (или числа): формулой (1+tg^2⁡x=) (frac)
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой (ctgx=) (frac<cos>)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция (y=cos)

Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: (D(cos )=R)
— область значений – от (-1) до (1) включительно: (E(cos )=[-1;1])
— четная: (cos⁡(-x)=cos)
— периодическая с периодом (2π): (cos⁡(x+2π)=cos)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: (() (frac) (+πn),(;0)), где (n ϵ Z)
ось ординат: ((0;1))
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: ((-) (frac) (+2πn;) (frac) (+2πn)), где (n ϵ Z)
функция отрицательна на интервалах: (() (frac) (+2πn;) (frac) (+2πn)), где (n ϵ Z)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
функция убывает на интервалах: ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=2πn), где (n ϵ Z)
функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=π+2πn), где (n ϵ Z).