Курс школьной геометрии » Треугольник

Косинус b решение треугольников

Обновлено
Теорема косинусов и синусов

Косинус b решение треугольников

О чем эта статья:

Содержание
  1. Формулировка и доказательство теоремы косинусов
  2. Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
  3. Косинусы углов треугольника
  4. Определение угла с помощью косинуса
  5. Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
  6. Примеры решения задач
  7. Косинус b решение треугольников
  8. Решение прямоугольных треугольников
  9. Решение произвольных треугольников
  10. Решение треугольников
  11. Корзина
  12. Решение треугольников через синус и косинус угла
  13. 💥 Видео

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Косинус b решение треугольников

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Косинус b решение треугольников

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

Косинус b решение треугольников

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Косинус b решение треугольников

  • Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Косинус b решение треугольников

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Косинус b решение треугольников

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Косинус b решение треугольников

Косинус b решение треугольников

Косинус b решение треугольников

Косинус b решение треугольников

Косинус b решение треугольников

Видео:9 класс. Геометрия. Решение треугольниковСкачать

9 класс. Геометрия. Решение треугольников

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Косинус b решение треугольников

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№17 - Решение треугольников. Измерительные работы.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№17 - Решение треугольников. Измерительные работы.)

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Видео:Теорема синусов и теорема косинусов а также РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВСкачать

Теорема синусов и теорема косинусов а также РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Косинус b решение треугольников

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Косинус b решение треугольников

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Косинус b решение треугольников

Косинус b решение треугольников

Косинус b решение треугольников

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Косинус b решение треугольников

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Косинус b решение треугольников

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Косинус b решение треугольников

Ключевые слова: треугольник, угол, косинус, прямоугольный треугольник, теорема косинусов, теорема синусов, решение треугольников

Решение прямоугольных треугольников

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем

Решение произвольных треугольников

Для решения произвольных треугольников существует теорема косинусов и теорема синусов.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.

Косинус b решение треугольников
См. также:
Площадь треугольника, Прямоугольный треугольник, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник

Видео:№1025. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если:Скачать

№1025. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если:

Решение треугольников

Корзина

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников

Треугольник ΔABC,
a = BC, b = AC, c = AB — стороны треугольника,

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковCAB, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковABC, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковBCA − углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников

Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите три значения: одну сторону и 2 дополнительных параметра (например, угол и сторону, два угла или две стороны). Заполните поле «Текст с картинки». Нажмите «Решить».

Теоретический урок для решения задач по теме «Решение треугольников». Бесплатное обучение.

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника по предмету математики для школьников:

  • – задачи 76 — 77 представлены с примерами решений и ответами;
  • – онлайн задания, как найти решение треугольника через синус и косинус угла, рассматриваются в тестах 78 — 81;
  • – решения, как найти угол, сторону треугольника, объясняются на данном уроке в контрольных работах 82 — 85.

Задача 76.

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковДано:

стороны треугольника a=10, b=7

Угол Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 60°

Решить треугольник: Угол по сторонам треугольника Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC, сторону c

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, получаем выражение

Sin B = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 0,6062

Используя Sin B ≈ 0,6062, находим из тригонометрической таблицы («Четырехзначные математические таблицы» Владимира Модестовича Брадиса)

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 37°19’

Тогда Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 180° — (60° + 37°19’) = 82°41’

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, получаем равенство

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковс= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 11

Ответ: Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 37°19’; Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 82°41’; c ≈ 11

Задача 77.

Треугольник ΔABC, стороны треугольника

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 54°

Найти: Угол по сторонам треугольника Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB, сторону c

Т.к. a=b=6,3, то треугольник ΔABC — равнобедренный.

Тогда Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = (180° — 54°): 2 = 63°

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, получаем равенство

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковс = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 5,7

Ответ: Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 63°; с ≈ 5,7

Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать

Теорема синусов и теорема косинусов

Решение треугольников через синус и косинус угла

Задача 78.

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 60°

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 40°

Найти: угол треугольника Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC, стороны a,b

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 180° — (40° + 60°) = 80°

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, получаем выражение

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковa = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 12

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковb = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 9

Ответ: Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 80°; a ≈ 12; b ≈ 9

Задача 79.

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковДано:

Найти: углы треугольника Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC по сторонам

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим косинус угла B

Cos B = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 0,0998263

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла B

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 84°16’

Используя формулу теоремы косинусов, находим косинус угла C

Cos C = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников=

= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 0,7562785

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла C

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 40°52’

Тогда угол A равен Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA =180° — (40°52’ + 84°16’) = 54°52’

Ответ: Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 54°52’ ; Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 40°52’ ; Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 84°16’

Задача 80.

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 30°

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 75°

Найти: угол Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB, стороны треугольника a,c

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 180° — (30° + 75°) = 75°

Т.к. два угла в треугольнике равны Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 75°, тогда треугольник ΔABC — равнобедренный.

Значит, две стороны равны AC=AB=b=c=4,5

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников,

находим сторону BC=a

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковa = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 2,3

Ответ: Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 75°; a ≈ 2,3 ; c = 4,5

Задача 81.

Треугольник ΔABC, длины трех его сторон

Косинус b решение треугольников
1) a=5 , b=c=4

Найти: является ли треугольник тупоугольным, прямоугольным, остроугольным

1) Т.к. b=c=4, то треугольник ΔABC — равнобедренный, и, значит, остроугольный.

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников2) Используя формулу теоремы косинусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим косинус угла A

Cos A = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников=0

Тогда угол A равен Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 90°. Следовательно, треугольник ΔABC — прямоугольный.

3) Используя формулу теоремы косинусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим косинус угла B

Cos B = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= — Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковДано:

Треугольник ΔABC, два угла и сторона

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 45°

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC = 30°

Найти: длину всех сторон треугольника ΔABC = ?

Зная размер двух углов в треугольнике ΔABC, находим третий угол Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 180° — (30° + 45°) = 105°

Найдем угол Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковDAB и рассмотрим ΔADC

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковDAB = 180° — (90° + 45 + 30°) = 15°

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковDAC = 15° + 45° = 60°

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим сторону AC

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников

AC = (3 • 1) • 2 = 6 (м)

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим сторону AB

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников

AB = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 3 (м)

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим сторону BC

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковBC = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 4 (м)

Ответ: AB ≈ 3 м, AC = 6 м, BC ≈ 4 м.

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковЗадача 83.

Три стороны a = 14, b = 18,

все углы треугольника ΔABC = ?

Т.к. против большего угла лежит большая сторона, то используя формулу теоремы косинусов

Cos C = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим косинус угла C

Cos C = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 0,24

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC ≈ 76°07’

Используя формулу теоремы косинусов

Cos B = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим косинус угла B

Cos B = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 0,4857

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла B

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB ≈ 60,941 ≈ 60°57’

Следовательно, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 180° — (76°13’ + 60°57’) ≈ 42°56’

Ответ: Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA ≈ 42°56’ ; Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB ≈ 60°57’ ; Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC ≈ 76°07’

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников

Задача 84.

Треугольник ΔEKP, сторона и два угла

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковP = 40°

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковK = 25°

Найти: сторону треугольника PK = ?

Используя теорему синусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим сторону PK

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковE = 180° — (40° + 25°) =115°

Sin 115° = Sin (180° — 65°) = Sin 65°

Тогда Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковPK = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 1,61

Задача 85.

Треугольник ΔABC, две стороны и угол

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковA = 50°

Найти: решить треугольник — определить значение стороны и двух углов

(a, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC ) = ?

Используя формулу теоремы косинусов

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, получаем

a = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 13,8

Используя формулу теоремы косинусов

Cos C = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников, находим косинус угла C

Cos C = Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников= Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольников≈ 0,7457

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC ≈ 41°47’

Следовательно, Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB = 180° — (50° + 41°47’) ≈ 88°13’

Ответ: a ≈ 13,8 ; Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковB ≈ 88°13’ ; Косинус b решение треугольников Косинус b решение треугольниковC ≈ 41°47’

💥 Видео

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Контрольная № 1 Геометрия 9 класс.Скачать

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Контрольная № 1 Геометрия 9 класс.

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

Решение задачи с применением теоремы синусов

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Решение треугольниковСкачать

Решение треугольников

9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Теорема косинусов. Теорема синусов. Урок #2Скачать

9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Теорема косинусов. Теорема синусов. Урок #2

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольникиСкачать

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольники

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

9 класс, 14 урок, Теорема косинусовСкачать

9 класс, 14 урок, Теорема косинусов
Поделиться или сохранить к себе:
О сайте | | © 2024 Курс школьной геометрии.