Косинус 45 в прямоугольном треугольнике (6 видео)

Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)

Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны ниже. Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.

45 градусов — это π/4 радиан. Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны).
То есть, например, tg π/4 = tg 45 градусов

Содержание

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°
Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов
Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан
Косинус 45 градусов
Калькулятор и таблица для вычисления синуса и косинуса.
Калькулятор для вычисления синуса и косинуса
Синус острого угла прямоугольного треугольника.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника.
🔍 Видео

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?

Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол ∠В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.

Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С — прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

∠А + ∠В + ∠С = 180°
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
∠А = 180° —∠С — ∠В = 180° — 90° — 45° = 45°

Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

По теореме Пифагора: АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим:

АВ 2 = а 2 + а 2 = 2а 2 ,

В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла α = 45 градусов:

sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC — катет, AB — гипотенуза)

cos α = AC / AB (согласно определению косинуса — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC — катет, AB — гипотенуза)

tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)

Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.

Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45) получаем:

Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45 (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.

Видео:8 класс, 30 урок, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30◦, 45◦ и 60◦Скачать

Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

Таким образом:

тангенс 45 градусов равен единице
синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)

Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА 30, 45 И 60 ГРАДУСОВСкачать

Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

тангенс π/4 ( пи на четыре) равен единице
синус π/4 ( пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам

Примечание. В поисковых запросах часто встречается нечто типа «тангенс р/4 или p/4». Это неграмотно. Используйте запрос, например «тангенс пи/4».

Видео:Тригонометрия: значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусовСкачать

Косинус 45 градусов

Поскольку угол 45º в геометрических задачах встречается регулярно, важно помнить, чему равен косинус 45 градусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45º:

Таким образом, в треугольнике два угла равны: ∠ A= ∠ B=45º . Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку равнобедренного треугольника).

Значит, его боковые стороны равны: AC=BC.

Примем длину каждой из них за a.

По теореме Пифагора:

Так как косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

Поскольку от иррациональности в знаменателе принято избавляться, умножим и числитель, и знаменатель дроби на квадратный корень из двух:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать

Калькулятор и таблица для вычисления синуса и косинуса.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить синус и косинус с точностью от одного до шестнадцати знаков после запятой. Чтобы вычислить синус и косинус, просто введите ваши данные.
Так же можно воспользоватся таблицей Брадиса синуса(sin) и косинуса(cos) от 0° до 360°.

Калькулятор для вычисления синуса и косинуса

Цифр после запятой

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Синус острого угла прямоугольного треугольника.

Sin (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета(BC) к гипотенузе(AВ).
Пимер:
α = 40°; BC = 4,5см; AB = 7см.
sin (40°) = 4,5 7 = 0,6428

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Cos (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета(AC) к гипотенузе(AB).
Пимер:
α = 40°; AC = 6,98см; AB = 9см.
cos (40°) = 6,98 9 = 0,776