Корень из 2 деленное на два на окружности

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Корень 2 деленное на 2 на окружности

Видео:Корень из двух – первая математическая трагедия // Vital MathСкачать

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Тригонометрический круг со всеми значениями, круг синусов и косинусов, линия, ось тангенса на окружности, как пользоваться и находить точки

В каждой профессии существуют свои инструменты, обеспечивающие решение и качественное выполнение определенных задач. Математики применяют тригонометрический круг, позволяющий легко и быстро вычислить значение какой-либо функции. Однако не все могут им правильно пользоваться, поскольку не понимают основных понятий.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Общие сведения

Для правильного решения тригонометрических задач следует изучить основные понятия, формулы, а также методы нахождения основных величин. Раздел математики, изучающий функции косинуса, синуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, называется тригонометрией. Окружность, которая используется для решения геометрических задач на плоскости, имеет единичный радиус.

Значения функций, которые можно по ней находить, называются тригонометрическими. Однако существует множество способов нахождения их значений, но в некоторых ситуациях при использовании формул приведения решение затянется на продолжительное время, а вычисления будут громоздкими. Чтобы этого избежать, нужно использовать тригонометрический круг со всеми значениями. С его помощью также можно определить, является ли функция четной или нечетной.

Углы и их классификация

Перед тем как понять основное назначение тригонометрических функций, следует обратить внимание на классификацию углов. Она является важной для вычисления тригонометрических выражений. Углы в математических дисциплинах делятся на следующие типы:

К первому типу относятся углы любой размерности градусной единицы измерения, которая не превышает 90 (а Информация о функциях

Тригонометрических функций всего четыре вида: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg). Существует столько же типов обратных функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg). Они получили широкое применение не только в математических задачах, но также используются в физике, электронике, электротехнике и других дисциплинах. Основной их особенностью считается возможность представления какого-либо закона.

Например, зависимость амплитуды напряжения переменного тока от времени описывается следующим законом: u = Um * cos (w*t) (графиком является косинусоида). Гармонические звуковые колебания также подчиняются определенному закону, в котором присутствует тригонометрическая функция. Кроме того, можно находить значения корня тригонометрического уравнения.

Синусом угла называется величина, равная отношению противолежащего катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе. Следовательно, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс — отношение величины противолежащего катета к прилежащему. Котангенс является обратной функцией тангенсу, т. е. отношение прилежащего к противолежащему.

Функции arcsin, arccos, arctg, arcctg применяются в том случае, когда нужно найти значение угла в градусах или радианах. Вычисления выполняются по специальным таблицам Брадиса или с помощью программ. Также можно использовать тригонометрическую окружность.

Видео:Квадратный корень из 2 - NumberphileСкачать

Тригонометрический круг

Чтобы воспользоваться тригонометрической окружностью для решения задач, нужны такие базовые знания: понятие о синусе, косинусе, тангенсе, котангенсе, системе координат и теореме Пифагора. Для построения единичной окружности используется декартовая система координат с двумя осями. Точка «О» — центр пересечения координатных осей, ОХ — ось абсцисс, ОУ — ординат.

Для решения задач различного типа применяется и теорема Пифагора. Она справедлива только для прямоугольного треугольника (один из углов — прямой). Ее формулировка следующая: квадрат гипотенузы в произвольном прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов. Следует также знать основные соотношения между функциями острых углов в заданном прямоугольном треугольнике:

Существуют и другие тригонометрические тождества, но для работы с кругом этого перечня будет достаточно.

Построение «инструмента»

Построить окружность, которая ускорит процесс решения задач, довольно просто. Для этого потребуются бумага, карандаш, резинка и циркуль. Далее необходимо нарисовать любую немаленькую окружность. После этого отметить ее центр карандашом, поставив точку. Пусть она будет называться «О». Через эту точку следует провести две перпендикулярные прямые (угол пересечения равен 90 градусам). Обозначить их следующим образом: «х» (горизонтальная) и «у» (вертикальная).

Окружность является единичной, но не стоит рисовать ее такой, поскольку работать будет неудобно. Этот прием называется масштабированием. Он широко применяется практически во всех сферах человеческой деятельности. Например, инженеры не чертят двигатель космического корабля в натуральную величину, поскольку с таким «рисунком» будет неудобно и невозможно работать. Они используют его макет.

Окружность пересекается с осями декартовой системы координат в 4 точках со следующими координатами: (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1). Области, которые делят декартовую систему координат на 4 части, называются четвертями. Их четыре:

• Первая состоит из положительных координат по х и у.
• Вторая имеет по х отрицательные и положительные по у.
• Третья — только отрицательные значения.
• Четвертая — положительные значения по х и отрицательные по у.

Исходя из этих особенностей, определяется числовой знак функции, позволяющий определить ее четность и нечетность. Кроме того, на ней следует отметить углы следующим образом: 0 и 2ПИ соответствует точке с координатами (1;0), ПИ/2 — (0;1), ПИ — (-1;0) и 3ПИ/2 — (0;-1).

Готовый макет

Для решения задач специалисты рекомендуют иметь рабочий и готовый макеты тригонометрических окружностей. Первый применяется для нахождения значений нестандартных углов (например, синуса 185 градусов). Тригонометрическим кругом (рис. 1) удобно пользоваться в том случае, когда значение угла является стандартным (90, 60 и т. д.).

Рисунок 1. Готовый макет тригонометрического круга синусов и косинусов.

Для нахождения необходимых значений объединяют две фигуры — единичную окружность и прямоугольный треугольник. Гипотенуза последнего равна 1 и соответствует радиусу окружности. Ось ОХ — косинусы, ОУ — синусы. С помощью этого «инструмента» определение синусов и косинусов становится намного проще. Для нахождения значения sin(30) необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

• Отметить угол на окружности и достроить его до прямоугольного треугольника.
• Если катет лежит напротив угла в 30 градусов, то он равен 0,5 от длины гипотенузы.
• sin(30) = 1 * 0,5 = 0,5.

Для нахождения косинуса необходимо использовать основное тригонометрическое тождество, которое связывает sin и cos: (sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1. Из равенства величина cos(30) = sqrt[1 — (sin(30))^2]= sqrt[1 — 0,5^2] = sqrt(3) / 2.

Однако после всех вычислений следует выбрать знак функции. В данном случае угол находится в первой четверти. Следовательно, функция имеет положительный знак. Для нахождения тангенса и котангенса можно воспользоваться следующими формулами: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a). Подставив значения синуса и косинуса, можно определить значение tg: tg(30) = 0,5 / (sqrt(3) / 2) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3. Тогда котангенс можно найти двумя способами:

• Через известный тангенс: ctg(30) = 1 / (1 / sqrt(3)) = sqrt(3).
• Использовать основное отношение: ctg(30) = (sqrt(3) / 2) / (1/2) = sqrt(3).

Вычислить значения синуса и косинуса для угла 60 градусов очень просто. Для этого нужно воспользоваться основными тождествами: sin(60) = сos(30) = sqrt(3) / 2, cos(60) = sin(30) = 1/2, tg(30) = ctg(60) = sqrt(3) / 3, tg(60) = ctg(30) = sqrt(3). Значения для 45 градусов определяются следующим образом:

• Прямоугольный треугольник с углом 45 градусов является равносторонним (катеты равны).
• (sin(45))^2 + (cos(45))^2 = 1.
• 2 * (sin(45))^2 = 1.
• sin(45) + cos(45) = sqrt(2) / 2.

Тангенс и котангенс равен 1. Если угол равен 90, то необходимо внимательно посмотреть на рисунок 1. Следовательно, sin(90) = 1, cos(90) = 0, tg(90) = 1 и ctg(90) не существует. Линия тангенса на окружности не отображается. В этом случае нужно пользоваться основными тригонометрическими тождествами.

Правила использования

Инструмент позволяет легко и быстро находить значения тригонометрических функций любых углов. Если при решении задачи требуется найти sin(270), то нужно выполнить простые действия:

• Пройти против часовой стрелки (положительное направление) 180 градусов, а затем еще 90.
• На оси синусов значение составляет -1 (точка лежит на оси).

Существуют задачи, в которых угол представлен отрицательным значением. Например, нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла (-7ПИ/6). В некоторых случаях заданное значение следует перевести в градусы: -7ПИ/6 = -210 (градусам). Если в условии отрицательный угол, то движение следует осуществлять по часовой стрелке от нулевого значения (пройти полкруга, а затем еще 30). Можно сделать вывод о том, что значение -210 соответствует 30. Следовательно, синус вычисляется следующим образом: sin(-210) = -(sin(ПИ + 30)) = — 1/2, cos(-210) = sqrt(3)/2, tg(-210) = sqrt(3)/3 и ctg(-210) = sqrt(3).

Пример случая, когда нет необходимости переводить радианы в градусы, является следующим: нужно вычислить значения тригонометрических функций угла 5ПИ/4. Необходимо расписать значение угла таким образом: 5ПИ/4 = ПИ + ПИ/4. Против часовой стрелки следует пройти половину круга (ПИ), а затем его четвертую часть (ПИ/4). Далее нужно спроецировать координаты точки на ось синусов и косинусов. Это соответствует значению sqrt(2)/2. Тангенс и котангенс заданного угла будут равны 1.

Встречаются задачи, в которых значение угла превышает 360 градусов. Например, требуется найти значения тригонометрических функций угла (-25ПИ/6). Для решения необходимо разложить угол следующим образом: (-25ПИ/6) = — (4ПИ + ПИ/6). Можно не делать обороты, поскольку 4ПИ соответствует двойному обороту и возврату в точку (-ПИ/6). Это объясняется периодом функций синуса и косинуса, который равен 2ПИ. Значения функций sin, сos, tg и ctg равны следующим значениям: — 1/2, sqrt(3)/2, sqrt(3)/3 и sqrt(3) соответственно.

Таким образом, тригонометрический круг позволяет оптимизировать вычисления в дисциплинах с физико-математическим уклоном, в которых используются тригонометрические функции. Не имеет смысла устанавливать дополнительное программное обеспечение, пользоваться таблицами, поскольку это занимает некоторое время. При помощи этого «универсального инструмента» можно найти значение любого угла.

Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

(() (frac ) (;2π)) — четвертая четверть

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от (0) до (frac ) , но и углы от (2π) до (frac ) , и от (4π) до (frac ) , и от (6π) до (frac ) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

((0;-) (frac ) ()) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Деление круга на равные части

Статья содержит два калькулятора, рассчитывающие параметры деления круга на равные по площади части радиусами и параллельными хордами

Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.

Деление круга на равные по площади части радиусами

Деление круга на равные по площади части параллельными хордами

Деление круга на равные части радиусами

Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:

1. Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.

1. Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах

1. Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.

Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов

Деление круга на равные части параллельными хордами

Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.

Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.

Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.

По теореме Пифагора получаем следующую функцию

Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:

Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем

Итак, полное выражение

Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)

Таким образом мы можем приравнять

Что дает нам такое финальное уравнение

Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.

Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.

Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Урок «Числовая окружность на координатной плоскости»

Краткое описание документа:

Числовой окружности в 10 классе уделяется достаточно много времени. Это связано со значимостью этого математического объекта для всего курса математики.

Огромное значение для хорошего усвоения материала имеет правильная подборка средств обучения. К наиболее эффективным таким средствам относятся видеоуроки. В последнее время они достигают пика популярности. Поэтому автор не стал отставать от современности и разработал в помощь учителям математики столь замечательное пособие – видеоурок по теме «Числовая окружность на координатной плоскости».

Данный урок по длительности занимает 15:22 минут. Это практически максимальное время, которое может затратить учитель на самостоятельное объяснение материала по теме. Так как на объяснение нового материала уходит столько много времени, то на закрепление необходимо подобрать самые эффективные задания и упражнения, а также выделить еще один урок, где обучающиеся будут решать задания по данной теме.

Урок начинается с изображения числовой окружности в системе координат. Автор строит эту окружность и поясняет свои действия. Затем автор называет точки пересечения числовой окружности с осями координат. Далее поясняется, какие координаты будут иметь точки окружности в разных четвертях.

После этого автор напоминает, как выглядит уравнение окружности. И вниманию слушателей представляется два макета с изображением некоторых точек на окружности. Благодаря этому, на следующем шаге автор показывает, как находятся координаты точек окружности, соответствующие определенным числам, отмеченным на шаблонах. Так получается таблица значений переменных xи y в уравнении окружности.

Далее предлагается рассмотреть пример, где необходимо определить координаты точек окружности. Перед тем, как начинать решать пример, вводится некоторое замечание, которое помогает при решении. А затем на экране появляется полное, четко структурированное и наполненное иллюстрациями решение. Здесь также присутствуют таблицы, которые облегчают понимание сущность примера.

Затем рассматриваются еще шесть примеров, которые менее трудоемкие, чем первый, но не менее важные и отражающие главную идею урока. Здесь решения представлены в полном объеме, с подробным рассказом и с элементами наглядности. А именно, в решении присутствуют рисунки, иллюстрирующие ход решения, и математическая запись, формирующая математическую грамотность обучающихся.

Учитель может ограничиться и теми примерами ,которые рассмотрены в уроке, но этого может быть недостаточно для качественного усвоения материала. Поэтому подобрать задания для закрепления просто крайне важно.

Урок может быть полезен не только учителям, время которых постоянно ограничено, но и обучающимся. Особенно тем, кто получает семейное образование или занимается самообразованием. Материалами могут пользоваться те обучающиеся, которые пропустили урок по данной теме.

Тема нашего урока «ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ»

Мы уже знакомы с декартовой прямоугольной системой координат xOy ( икс о игрек). В этой системе координат расположим числовую окружность так, чтобы центр окружности был совмещен с началом координат, а ее радиус примем за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой с координатами (1;0) , В – с точкой (0;1), С – с ( -1;0)( минус один, нуль), а D – с (0; -1)( нуль, минус один).

Так как каждая точка числовой окружности имеет в системе xOy (икс о игрек) свои координаты, то для точек первой четверти икх больше нуля и игрек больше нуля;

Во-второй четверти икх меньше нуля и игрек больше нуля,

для точек третьей четверти икх меньше нуля и игрек меньше нуля,

а для четвертой четверти икх больше нуля и игрек меньше нуля

Для любой точки E (x;y)(с координатами икс, игрек) числовой окружности выполняются неравенства -1≤ х≤ 1, -1≤у≤1 ( икс больше либо равно минус один, но меньше либо равно один ; игрек больше либо равно минус один, но меньше либо равно один).

Вспомним, что уравнение окружности радиусом R c центром в начале координат имеет вид х 2 + у 2 =R 2 ( икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат). А для единичной окружности R =1, поэтому получаем х 2 + у 2 = 1

( икс квадрат плюс игрек квадрат равно один).

Найдем координаты точек числовой окружности, которые представлены на двух макетах (см. рис 2, 3)

Пусть точка E, которая соответствует

( пи на четыре) — середина первой четверти изображенная на рисунке. Из точки E опустим перпендикуляр EK на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОEK. Угол АОЕ =45 0 , так как дуга АЕ составляет половину дуги АВ. Следовательно, треугольник ОЕК – равнобедренный прямоугольный, у которого ОК = ЕК. Значит, абсцисса и ордината точки Е равны, т.е. икс равно игрек. Чтобы найти координаты точки Е , решим систему уравнений: (икс равно игрек- первое уравнение системы и икс квадрат плюс игрек квадрат равно один – второе уравнение системы).Во второе уравнение системы вместо х подставим у, получим 2у 2 =1( два игрек квадрат равно единице), откуда у= = ( игрек равно один деленное на корень из двух равно корень из двух деленное на два) ( ордината положительна).Это значит, что точка Е в прямоугольной системе координат имеет координаты( , )( корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два).

Рассуждая аналогично, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам первого макета и получим: соответствует точка с координатами (– , ) ( минус корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два); для — (– ,– ) ( минус корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два); для (семь пи на четыре) ( , )( корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два).

Пусть точка D соответствует (рис.5). Опустим перпендикуляр из DР(дэ пэ) на ОА и рассмотрим треугольник ОDР. Гипотенуза этого треугольника OD равна радиусу единичной окружности, то есть единице, а угол DОР равен тридцати градусам, так как дуга АD = диги АВ( а дэ равно одной трети а бэ), а дуга АВ равна девяносто градусов. Следовательно, DР = (дэ пэ равно одной второй О дэ равно одной второй) Так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов равен половине гипотенузы, то есть у = ( игрек равно одной второй). Применяя теорему Пифагора, получим ОР 2 = ОD 2 – DР 2 ( о пэ квадрат равно о дэ квадрат минус дэ пэ квадрат), но ОР = х ( о пэ равно икс) . Значит, х 2 = ОD 2 – DР 2 =

значит, х 2 = (икс квадрат равно трем четвертым) и х = ( икс равно корень из трех на два).

Икс положительное, т.к. находится в первой четверти. Получили, что точка D в прямоугольной системе координат имеет координаты ( , ) корень из трех деленное на два, одна вторая.

Рассуждая аналогичным образом, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам второго макета и все полученные данные запишем в таблицы:

ПРИМЕР1. Найдите координаты точек числовой окружности: а) С₁( );

б) С₂( ); в) С₃(41π); г) С₄( — 26π). (цэ один соответствующая тридцать пять пи на четыре, цэ два соответствующая минус сорока девяти пи на три, цэ три соответствующая сорок одному пи, цэ четыре соответствующая минус двадцати шести пи).

Решение. Воспользуемся утверждение, полученным ранее: если точка D числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2πk( тэ плюс два пи ка), где ка –любое целое число, т.е. kϵZ (ка принадлежит зэт).

а) Получим = ∙ π = ( 8 + ) ∙π = + 2π ∙ 4.( тридцать пять пи на четыре равно тридцать пять на четыре, умноженное на пи равно сумме восьми и трех четвертых, умноженной на пи равно три пи на четыре плюс произведение двух пи на четыре).Это значит, что числу тридцать пять пи на четыре соответствует та же точка числовой окружности, что и числу три пи на четыре. Используя таблицу 1, получим С₁( ) = С₁(- 😉 .

б) Аналогично координаты С₂: = ∙ π = — (16 + ∙π = + 2π ∙ ( — 8 ). Значит, числу

соответствует та же точка числовой окружности, что и числу . А числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу

( показать второй макет и таблицу 2). Для точки имеем х = , у =.

в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20.Значит, числу 41π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу π – это точка с координатами ( -1 ; 0).

г) — 26π = 0 + 2π ∙ ( — 13), то есть числу — 26π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу ноль, — это точка с координатами ( 1;0).

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой у = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу , вторая точка соответствует числу ,

Следовательно все точки получаем прибавляя полный оборот 2πk где k показывает сколько полных оборотов делает точка , т.е. получаем ,

а любому числу все числа вида + 2πk. Часто в таких случаях говорят, что получили две серии значений : + 2πk, + 2πk.

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу ( смотри второй макет),

а значит и любому числу вида + 2πk. А вторая точка соответствует числу , а значит, и любому числу вида + 2πk. Эти две серии значений можно охватить одной записью : ± + 2πk( плюс минус два пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой у > и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках M и P. А неравенству у > соответствуют точки открытой дуги МР, это значит дуги без концов (то есть без и ) , при движении по окружности против часовой стрелки , начиная с точки М, а заканчивая в точке Р. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство и записать, каким числам t они соответствуют.

🔍 Видео

СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать

Чему равен корень из 2Скачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Корень из 2. Чему равен и как искать? Как работает калькулятор.Скачать

Цепные дроби, приближение корня, корень из 2 sqrt(2) // МатематикаСкачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусовСкачать