Координаты вектора параллельного плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Уравнения прямых и плоскостей

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

Поверхности и линии первого порядка.

Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть (A^+B^+C^ neq 0). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,label
$$
при условии (A^+B^ neq 0).

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения eqref и eqref определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.

В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.

В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.

Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.

Видео:Координаты вектора. Векторы на координатной плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Рис. 6.1

Вектор (overrightarrow<M_M> = boldsymbol-boldsymbol_), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда (M) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки (M) найдется такое число (t), что
$$
boldsymbol-boldsymbol_ = tboldsymbol.label
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу eqref в качестве (t), вектор (boldsymbol) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение eqref называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина (t), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через (boldsymbol

) и (boldsymbol) ее направляющие векторы, а через (boldsymbol_) — радиус-вектор ее начальной точки (M_). Пусть точка (M) с радиус-вектором (boldsymbol) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Вектор (overrightarrow<M_M> = boldsymbol-boldsymbol_), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец (M) также лежит на плоскости. Так как (boldsymbol

) и (boldsymbol) не коллинеарны, в этом и только этом случае (boldsymbol-boldsymbol_) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка (M) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа (t_) и (t_), что
$$
boldsymbol-boldsymbol_ = t_boldsymbol

+t_boldsymbol.label
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров (t_) и (t_). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения (t_) и (t_), уравнение eqref определит некоторую точку плоскости.

Пусть ((x, y, z)) и ((x_, y_, z_)) — координаты точек (M) и (M_) соответственно, а векторы (boldsymbol

) и (boldsymbol) имеют компоненты ((p_, p_, p_)) и ((q_, q_, q_)). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения eqref, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_ = t_p_+t_q_, y-y_ = t_p_+t_q_, z-z_ = t_p_+t_q_.label
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра (t), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

Видео:КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать

Прямая линия на плоскости.

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой (M_(x_, y_)) и направляющим вектором (boldsymbol(a_, a_)) может быть записано в виде eqref.

Уравнение eqref линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид (a_x-a_y+(a_y_-a_x_) = 0), то есть (Ax+By+C = 0), где (A = a_), (B = -a_) и (C = a_y_-a_x_).

Вектор с координатами ((-B, A)) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением eqref в общей декартовой системе координат, а точку eqref за начальную точку.

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор (boldsymbol(A, B)) перпендикулярен прямой с уравнением eqref.

Действительно, в этом случае ((boldsymbol, boldsymbol) = -BA+AB = 0).

Пусть в уравнении прямой (Ax+By+C = 0) коэффициент (B) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,label
$$
где (k = -A/B), а (b = -C/B). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: (k = a_/a_) (рис. 6.3).

Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2

Отношение компонент направляющего вектора (a_/a_) называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от (boldsymbol_) к (boldsymbol_) (рис. 6.4).

Рис. 6.4. (k=operatornamevarphi = -1). Прямая (y=-x+1/2)

Положив (x = 0) в уравнении eqref, получаем (y = b). Это означает, что свободный член уравнения (b) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой (B = 0) и ее уравнение нельзя представить в виде eqref, то обязательно (A neq 0). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид (x = x_), где (x_ = -C/A) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

Видео:Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка (M) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки (M_) компланарна направляющим векторам (boldsymbol

) и (boldsymbol). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol

, boldsymbol) = 0.label
$$
Вектор (boldsymbol = [boldsymbol

, boldsymbol]) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение eqref в виде
$$
(boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol) = 0.label
$$

Уравнения eqref и eqref называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в eqref (D = -(boldsymbol_, boldsymbol)), получим
$$
(boldsymbol, boldsymbol)+D = 0.label
$$

Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные eqref и eqref,
$$
(boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol) = 0 mbox (boldsymbol, boldsymbol)+C = 0.nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор (boldsymbol-boldsymbol_) перпендикулярен ненулевому вектору (boldsymbol), перпендикулярному направляющему вектору (boldsymbol), и потому коллинеарен (boldsymbol).

Пусть (x, y, z) — компоненты вектора (boldsymbol) в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение ((boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol)) при (boldsymbol neq 0) записывается линейным многочленом (Ax+By+Cz+D), где ((A^+B^+C^ neq 0)).

Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы (boldsymbol_) и (boldsymbol neq 0), что в заданной общей декартовой системе координат (Ax+By+Cz+D = (boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol)).

Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора (boldsymbol) по базису в данное скалярное произведение:
$$
(xboldsymbol_+yboldsymbol_+zboldsymbol_-boldsymbol_, boldsymbol),nonumber
$$
раскроем скобки и получим многочлен (Ax+By+Cz+D), в котором (D = -(boldsymbol_, boldsymbol)) и
$$
A = (boldsymbol_, boldsymbol), B = (boldsymbol_, boldsymbol), C = (boldsymbol_, boldsymbol)label
$$
(A), (B) и (C) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор (boldsymbol) не может быть ортогонален всем векторам базиса.

Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор (boldsymbol) из равенств eqref, считая (A), (B) и (C) заданными. Из ранее доказанного утверждения 10 следует, что
$$
boldsymbol = frac<A[boldsymbol_, boldsymbol_]><(boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_)>+frac<B[boldsymbol_, boldsymbol_]><(boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_)>+frac<C[boldsymbol_, boldsymbol_]><(boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_)>.label
$$

Вектор (boldsymbol_) должен удовлетворять условию (D = -(boldsymbol_, boldsymbol)). Один из таких векторов можно найти в виде (boldsymbol_ = lambda boldsymbol). Подставляя, видим, что (-lambda(boldsymbol, boldsymbol) = D), откуда (boldsymbol_ = -Dboldsymbol/|boldsymbol|^).

Итак, мы нашли векторы (boldsymbol) и (boldsymbol_) такие, что линейный многочлен записывается в виде
$$
x(boldsymbol_, boldsymbol)+y(boldsymbol_, boldsymbol)+z(boldsymbol_, boldsymbol)-(boldsymbol_, boldsymbol),nonumber
$$
который совпадает с требуемым ((boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol)).

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами (A), (B), (C) является нормальным вектором для плоскости с уравнением (Ax+By+Cz+D = 0).

Это сразу вытекает из формул eqref и доказанного ранее утверждения о нахождении компонент в ортогональном базисе.

Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению eqref, можно принять за направляющие векторы плоскости.

Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.

Действительно, (alpha_, alpha_), должны быть пропорциональны компонентам — (B), (A) направляющего вектора прямой.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0, A_x+B_y+C_ = 0,nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число (lambda), что
$$
A_ = lambda A, B_ = lambda B.label
$$

Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения eqref выполнено (с тем же (lambda)) равенство
$$
C_ = lambda C.label
$$

Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами ((-B, A)) и ((-B_, A_)) — направляющие векторы прямых.

Докажем вторую часть. В равенствах eqref и eqref (lambda neq 0), так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.

Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид (Ax+By+C = 0) и (lambda(Ax+By)+C_ = 0) при некотором (lambda). Если, кроме того, существует общая точка (M_(x_, y_)) обеих прямых, то (Ax_+By_+C = 0) и (lambda(Ax_+By_)+C_ = 0). Вычитая одно равенство из другого, получаем (C_ = lambda C), как и требовалось.

Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0, A_x+B_y+C_z+D_ = 0nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число (lambda), что
$$
A_ = lambda A, B_ = lambda B, C_ = lambda C.label
$$

Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений eqref выполнено (с тем же (lambda)) равенство
$$
D_ = lambda D.label
$$

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы (boldsymbol) и (boldsymbol_) коллинеарны, и существует такое число (lambda), что (boldsymbol_ = lambdaboldsymbol). В силу уравнений eqref (A_ = (boldsymbol_, boldsymbol_) = lambda(boldsymbol_, boldsymbol) = lambda A). Аналогично доказываются и остальные равенства eqref. Обратно, если равенства eqref выполнены, то из формулы eqref следует, что (boldsymbol_ = lambdaboldsymbol). Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложения 7.

Условия eqref выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами ((A, B)) и ((A_, B_)). Точно так же условия eqref означают коллинеарность векторов с компонентами ((A, B, C)) и ((A_, B_, C_)). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
begin
A& B\
A_& B_
end
= 0,label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
begin
B& C\
B_& C_
end =
begin
C& A\
C_& A_
end =
begin
A& B\
A_& B_
end
= 0.label
$$

Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

При условии eqref система линейных уравнений
$$
Ax+By+C = 0, A_x+B_y+C_ = 0,nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от (C) и (C_). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
begin
A& B\
A_& B_
end
neq 0.nonumber
$$
то при любых (C) и (C_) система имеет единственное решение ((x, y)).

Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
left<begin
Ax+By+Cz+D = 0,\
A_x+B_y+C_z+D_ = 0.
endright.label
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно eqref означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
begin
B& C\
B_& C_
end^ +
begin
C& A\
C_& A_
end^ +
begin
A& B\
A_& B_
end^
neq 0.label
$$

Разумеется, систему eqref можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой eqref. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = frac<x-x_><alpha_>, t = frac<y-y_><alpha_>, t = frac<z-z_><alpha_>,nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
frac<y-y_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>, frac<x-x_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>,label
$$
или, в более симметричном виде,
$$
frac<x-x_><alpha_> = frac<y-y_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>,label
$$
Уравнения eqref представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная (x)), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, (alpha_), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_, frac<y-y_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>,label
$$
Эта прямая лежит в плоскости (x = x_) и, следовательно, параллельна плоскости (x = 0). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не (alpha_), а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, (alpha_) и (alpha_), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_, y = y_.label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений eqref. По условию eqref один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что (AB_-A_B neq 0). В силу утверждения 9 при любом фиксированном (z) система уравнений будет иметь единственное решение ((x, y)), в котором (x) и (y), разумеется, зависят от (z). Они — линейные многочлены от (z): (x = alpha_z+beta_), (y = alpha_z+beta_).

Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя (z) на (t), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = alpha_t+beta_, y = alpha_t+beta_, z = t.nonumber
$$

Первые две координаты начальной точки прямой (M_(beta_, beta_, 0)) можно получить, решая систему eqref при значении (z = 0).

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты ((alpha_, alpha_, 1)). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами ((A, B, C)) и (A_, B_, C_) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой eqref, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
begin
B& C\
B_& C_
end,
begin
C& A\
C_& A_
end,
begin
A& B\
A_& B_
end.label
$$

Вектор с компонентами eqref есть направляющий вектор прямой с уравнениями eqref, какова бы ни была декартова система координат.

Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого ((alpha_, alpha_, alpha_)) удовлетворяют уравнению (Aalpha_+Balpha_+Calpha_ = 0), параллелен плоскости с уравнением (Ax+By+Cz+D = 0). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению (A_alpha_+B_alpha_+C_alpha_ = 0), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами eqref ненулевой в силу неравенства eqref. Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается.

🎬 Видео

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

Координаты в новом базисеСкачать

90. Координаты вектораСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Векторы. Координатная плоскость. Задача 2Скачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать