Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.
Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через А1, А2 и А3.
Точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки А (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОА1, если А1 точка положительной полуоси: х = — ОА1, если А1 точка отрицательной полуоси: х = 0, если А1 совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки А2 определяется вторая координата (ордината) y точки А, а с помощью точки А3 третья координата (аппликата) z точки А. Координаты точки А записываются в скобках после обозначения точки: А (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей — аппликату.

Если точка А (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.

Содержание
  1. Система координат в пространстве — определение с примерами решения
  2. Система координат в пространстве
  3. Декартова система координат в пространстве
  4. Расстояние между двумя точками
  5. Уравнение сферы и шара
  6. Координаты середины отрезка
  7. Векторы в пространстве и действия над ними
  8. Векторы в пространстве
  9. Действия над векторами в пространстве
  10. Свойства суммы векторов
  11. Правило треугольника сложения векторов
  12. Правило параллелограмма сложения векторов
  13. Правило многоугольника сложения векторов
  14. Коллинеарные и компланарные векторы
  15. Скалярное произведение векторов
  16. Свойства скалярного произведения векторов
  17. Преобразование и подобие в пространстве
  18. Геометрические преобразования в пространстве
  19. Движение и параллельный перенос
  20. Центральная симметрия в пространстве
  21. Симметрия относительно плоскости
  22. Поворот и симметрия относительно оси
  23. Симметрия в природе и технике
  24. Подобие пространственных фигур
  25. Координаты вектора в математике
  26. Координаты вектора
  27. Свойства координат вектора
  28. 💡 Видео

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оzосями координат, Охось абсцисс, Оуось ординат и Оzось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охzкоординатными плоскостями.

Координаты вектора оси оу

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). Координаты вектора оси оу

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. Координаты вектора оси оу

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Координаты вектора оси оу

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако Координаты вектора оси оу

Поэтому Координаты вектора оси оу

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда Координаты вектора оси оуи, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

Координаты вектора оси оу(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны Координаты вектора оси оу

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству Координаты вектора оси оу

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой Координаты вектора оси оурасстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Координаты вектора оси оу

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр Координаты вектора оси оу.

Ответ: Координаты вектора оси оу

Координаты середины отрезка

Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). Координаты вектора оси оу

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу. Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости Координаты вектора оси оу

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Координаты вектора оси оу

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам Координаты вектора оси оу

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Координаты вектора оси оу

Координаты середины отрезка NL:

Координаты вектора оси оу

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.Координаты вектора оси оу

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Координаты вектора оси оу

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа Координаты вектора оси оу, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как Координаты вектора оси оуили Координаты вектора оси оуили кратко Координаты вектора оси оу(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат Координаты вектора оси оу(или Координаты вектора оси оу). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают Координаты вектора оси оуили Координаты вектора оси оу, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора Координаты вектора оси оу: Координаты вектора оси оу(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве Координаты вектора оси оус началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке Координаты вектора оси оубудет иметь те же координаты: Координаты вектора оси оу.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора Координаты вектора оси оузаписывают

такКоординаты вектора оси оу. Длина вектора Координаты вектора оси оу, заданного координатами,

вычисляется по формуле Координаты вектора оси оу.

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуравны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Координаты вектора оси оу

Следовательно, Координаты вектора оси оу.

Докажите самостоятельно, что Координаты вектора оси оу

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу(b1; b2; b3); называют вектор Координаты вектора оси оу(рис. 20).

Координаты вектора оси оу

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора Координаты вектора оси оу, а груз относительно крана вдоль вектора Координаты вектора оси оу. В результате груз движется вдоль вектора Координаты вектора оси оу. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов Координаты вектора оси оу, Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуимеют место следующие свойства:

a) Координаты вектора оси оу— переместительный закон сложения векторов;

b) Координаты вектора оси оу— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): Координаты вектора оси оу

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то Координаты вектора оси оу

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), тоКоординаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

Координаты вектора оси оу.

Вектор Координаты вектора оси оуКоординаты вектора оси оу​​​​​​= (Координаты вектора оси оуa1; Координаты вектора оси оуa2; Координаты вектора оси оуa3) — называют умножением вектора

Координаты вектора оси оу(a1; a2; a3) на число Координаты вектора оси оу(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуи чисел Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу

а)Координаты вектора оси оу;

b)Координаты вектора оси оу;

c) Координаты вектора оси оуи направление вектора Координаты вектора оси оуКоординаты вектора оси оу

совпадает с направлением вектора Координаты вектора оси оу, если Координаты вектора оси оу,

противоположно направлению вектора Координаты вектора оси оу, если Координаты вектора оси оу. Координаты вектора оси оу

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу. Если векторы

Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оусонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуимеет место равенство Координаты вектора оси оу, то они коллинеарны и наоборот.

Если Координаты вектора оси оу, то векторы Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оусонаправлены Координаты вектора оси оу, еслиКоординаты вектора оси оу, то

противоположно направлены Координаты вектора оси оу.

Свойство 2. Если векторы Координаты вектора оси оу(a1; a2; a3) и Координаты вектора оси оу(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

Координаты вектора оси оуи наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору Координаты вектора оси оу( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда Координаты вектора оси оу(х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы Координаты вектора оси оу(х — 1 ;у — 1; — 1) и Координаты вектора оси оу(1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции Координаты вектора оси оу.

Откуда находим Координаты вектора оси оу, Координаты вектора оси оу.

Итак,Координаты вектора оси оу

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). Координаты вектора оси оу

Векторы Координаты вектора оси оу(1; 0; 0), Координаты вектора оси оу(0; 1; 0) и Координаты вектора оси оу(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор Координаты вектора оси оуможно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде Координаты вектора оси оу(рис. 29).

Координаты вектора оси оу

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу, то любой вектор Координаты вектора оси оуможно единственным образом представить в виде:

Координаты вектора оси оу.

Здесь Координаты вектора оси оунекоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуназывают угол между направленными отрезками векторов Координаты вектора оси оу= Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу=Координаты вектора оси оу, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуобозначают так Координаты вектора оси оу.

Координаты вектора оси оу

Скалярным произведением векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуназывают произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают Координаты вектора оси оуили Координаты вектора оси оу. По определению Координаты вектора оси оу(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуравно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии Координаты вектора оси оу, под воздействием силы Координаты вектора оси оу(рис. 31), равна скалярному произведению силы Координаты вектора оси оуна расстояниеКоординаты вектора оси оу: Координаты вектора оси оу

Свойство. Если Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу(b1; b2; b3), то (Координаты вектора оси оуКоординаты вектора оси оу) = Координаты вектора оси оу

Доказательство. Приложим векторы Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оук началу

координат О (рис.32). Тогда Координаты вектора оси оу= Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу= (b1; b2; b3).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Координаты вектора оси оу

Тогда Координаты вектора оси оу.

Однако, Координаты вектора оси оу,Координаты вектора оси оу

и Координаты вектора оси оу.

Следовательно,Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны Координаты вектора оси оу, также выполняется

это равенство. Координаты вектора оси оу

Свойства скалярного произведения векторов

1. Координаты вектора оси оу— переместительное свойство.

2. Координаты вектора оси оу— распределительное свойство.

3. Координаты вектора оси оу— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то Координаты вектора оси оу, так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то Координаты вектора оси оу, так как cos l80° = -1.

6. Координаты вектора оси оу.

7. Если вектор Координаты вектора оси оуперпендикулярен вектору Координаты вектора оси оу, то Координаты вектора оси оу. Следствия: а) Длина вектора Координаты вектора оси оу; (1) b) косинус угла между векторами

Координаты вектора оси оу: Координаты вектора оси оу; (2)

с) условие перпендикулярности векторов Координаты вектора оси оуи

Координаты вектора оси оу.

Координаты вектора оси оу(3)

Пример:

Координаты вектора оси оу— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами Координаты вектора оси оу.

Решение:

Найдём длины векторов Координаты вектора оси оу:

Координаты вектора оси оу,

Координаты вектора оси оу.

Координаты вектора оси оу,

Координаты вектора оси оу.

Координаты вектора оси оу

Пример:

Найдите угол между векторами Координаты вектора оси оу.

Решение:

Координаты вектора оси оуИтак, Координаты вектора оси оу

Пример:

Найдите Координаты вектора оси оу, если Координаты вектора оси оу, Координаты вектора оси оуи угол между векторамиКоординаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуравен Координаты вектора оси оу.

Решение:

Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)Координаты вектора оси оу; 2)Координаты вектора оси оу, если Координаты вектора оси оу.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оупо координатам:

1)Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу. Следовательно,Координаты вектора оси оу.

ТогдаКоординаты вектора оси оу.

2)Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оуКоординаты вектора оси оу.

Следовательно, Координаты вектора оси оу.

Тогда Координаты вектора оси оу

Пример:

Найдите произведениеКоординаты вектора оси оу, если угол между векторами Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оуравен 30° и Координаты вектора оси оу, Координаты вектора оси оу.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов Координаты вектора оси оуи Координаты вектора оси оу:

Координаты вектора оси оу.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу.

Учитывая, что Координаты вектора оси оу,

Координаты вектора оси оунайдём искомое произведение

Координаты вектора оси оу

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Координаты вектора оси оу

Пусть в пространстве даны вектор Координаты вектора оси оуи произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор Координаты вектора оси оу, если выполняется условие Координаты вектора оси оу. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор Координаты вектора оси оупри помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка Координаты вектора оси оуфигуры F перешла в точку Координаты вектора оси оу

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор Координаты вектора оси оу.

Тогда по определению получим:

Координаты вектора оси оуили

Координаты вектора оси оу.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор Координаты вектора оси оу= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: Координаты вектора оси оу.

Ответ: Координаты вектора оси оу.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве Координаты вектора оси оу, то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Координаты вектора оси оу

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Координаты вектора оси оу

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА1. Следовательно,

Координаты вектора оси оу

Из этих уравнений получаем:

Координаты вектора оси оу.

Ответ: Координаты вектора оси оу

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. Координаты вектора оси оу

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол Координаты вектора оси оу, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол Координаты вектора оси оуотносительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол Координаты вектора оси оуотносительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол Координаты вектора оси оуотносительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Координаты вектора оси оу

Симметрия в природе и технике

Координаты вектора оси оу

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть Координаты вектора оси оуи преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры Координаты вектора оси оу, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Координаты вектора оси оу

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к Координаты вектора оси оу. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию Координаты вектора оси оу, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом Координаты вектора оси оу(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число Координаты вектора оси оукоэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Координаты вектора оси оу

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом Координаты вектора оси оуявляется преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом Координаты вектора оси оупри Координаты вектора оси оу= 1 отображает фигуру F в себя, а при Координаты вектора оси оу=-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число Координаты вектора оси оураз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Иррациональные числа
  • Действительные числа
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Координаты вектора в математике

Координаты вектора ― это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Содержание:

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Координаты вектора

Для введения понятия координат вектора следует рассмотреть возможность разложения вектора по осям координат. Мы хотим каждый вектор задать парой чисел — проекциями этого вектора на оси координат. При таком подходе действия над векторами можно свести к действиям с парами чисел.

Определим проекции вектора на координатную ось. Пусть задана координатная ось Ох. Единичный отрезок ОЕ теперь будем считать единичным вектором Координаты вектора оси оу, т. е. вектором, длина которого равна 1 (рис. 2.506).

Координаты вектора оси оуКоординаты вектора оси оу

Возьмем любой вектор Координаты вектора оси оуи отложим его от некоторой точки А: Координаты вектора оси оу

Спроектируем точки А и В на ось Ох. Получим точки Координаты вектора оси оуи составляющую Координаты вектора оси оувектора Координаты вектора оси оупо оси Ох (рис. 2.507). Ее длина со знаком «плюс» или «минус» и называют проекцией вектора Координаты вектора оси оуна ось Ох.

Определение. Проекцией Координаты вектора оси оувектора Координаты вектора оси оуна ось Ох называют длину его составляющей Координаты вектора оси оупо этой оси, взятую со знаком «плюс» или «минус». При этом берется знак «плюс», если направление вектора Координаты вектора оси оусовпадает с направлением оси Ох, и знак «минус», если эти направления противоположны. Если Координаты вектора оси оу= 0, т. е. Координаты вектора оси оу

Проекция точки — точка, проекция отрезка — отрезок (или точка), а проекция вектора — число.

Вектор Координаты вектора оси оуполучается из коллинеарного ему единичного вектора Координаты вектора оси оуумножением на Координаты вектора оси оу. При этом если Координаты вектора оси оусонаправлен с Координаты вектора оси оу, то Координаты вектора оси оуЕсли же Координаты вектора оси оупротивоположно направлен Координаты вектора оси оу, то Координаты вектора оси оу

Следовательно, имеет место равенство Координаты вектора оси оу

Можно доказать следующие свойства проекций векторов на ось.

1. Равные векторы имеют равные проекции на заданную ось.

2. При сложении векторов их проекции на ось складываются.

3. При умножении вектора на число его проекция умножается на это число.

Прежде чем ввести понятие координат вектора, докажем теорему.

Теорема 6. Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат с единичными векторами Координаты вектора оси оукоординатных осей Ох и Оу. Пусть Координаты вектора оси оу— некоторый вектор, а Координаты вектора оси оу— его проекции на оси координат. Тогда вектор Координаты вектора оси оуединственным образом представляется в виде Координаты вектора оси оу(рис. 2.508).

Координаты вектора оси оу

Выше получена формула для разложения вектора а по векторам Координаты вектора оси оу(с учетом обозначения): Координаты вектора оси оу.

Пару чисел Координаты вектора оси оуназывают координатами вектора Координаты вектора оси оу в данной системе координат.

Координаты вектора в пространстве определяются так же, как на плоскости. Справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат с единичными векторами Координаты вектора оси оукоординатных осей Ох, Оу, Oz. Тогда вектор Координаты вектора оси оуединственным образом представляется в виде Координаты вектора оси оу(рис. 2.509).

Числа Координаты вектора оси оуназываются координатами вектора Координаты вектора оси оуотносительно векторовКоординаты вектора оси оу, которые называются базисными векторами или, короче, базисом.

Введенные координаты вектора позволяют получить формулу длины вектора.

Рассмотрим рисунок 2.508.

1. Если точка А не лежит на координатных осях, то треугольник Координаты вектора оси оупрямоугольный.

2. Координаты вектора оси оу(1, теорема Пифагора).

3. Так как Координаты вектора оси оуто получаем, что Координаты вектора оси оу Координаты вектора оси оу(2).

4. Но Координаты вектора оси оупоэтому

Координаты вектора оси оу(3, 4).

Формула справедлива и в тех случаях, когда точка А лежит на какой-то оси координат.

Свойства координат вектора

В курсе геометрии нам практически не приходится работать с векторами в координатах (это приходится делать в курсе физики). Можно доказать различные свойства координат вектора:

1. Координаты равных векторов соответственно равны. Обратно: векторы, имеющие соответственно равные координаты, равны.

2. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. А именно, если Координаты вектора оси оуКоординаты вектора оси оуКоординаты вектора оси оу

3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А именно, если Координаты вектора оси оу

Координаты вектора оси оу

Координаты вектора связаны с координатами точки по следующему правилу: чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора.

В частности, если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам его конца.

Координаты вектора оси оу

Возьмем в пространстве некую прямоугольную систему координат с началом в точке О и координатными осями х, у, z (рис. 2.510). Пусть А, В, С — точки с единичными координатами на этих осях, т. е. А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).

Тогда векторыКоординаты вектора оси оу Координаты вектора оси оу— это направляющие единичные векторы координатных осей х, у, z.

Возьмем любую точку М(х, у, г), и пусть Координаты вектора оси оу— ее радиус-вектор.

Теорема 8. Координаты точки М соответственно равны координатам ее радиус-вектора Координаты вектора оси оуотносительно базиса Координаты вектора оси оу.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

💡 Видео

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

§3 Координаты вектораСкачать

§3 Координаты вектора

11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Координаты вектора.Скачать

Координаты вектора.

Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvyСкачать

Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvy

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физике

ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | ВидеоурокСкачать

ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | Видеоурок

#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам.  Направляющие косинусы
Поделиться или сохранить к себе: