Количество точек пересечения двух окружностей

Даны две окружности, каждая определена координатами своего центра и радиусом. Требуется найти все их точки пересечения (либо одна, либо две, либо ни одной точки, либо окружности совпадают).

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

Решение

Предположим, не теряя общности, что центр первой окружности — в начале координат (если это не так, то перенесём центр в начало координат, а при выводе ответа будем обратно прибавлять координаты центра). Тогда мы имеем систему двух уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от квадратов переменных:

Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух окружностей к задаче о пересечении первой окружности и следующей прямой:

А решение последней задачи описано в соответствующей статье.

Единственный вырожденный случай, который надо рассмотреть отдельно — когда центры окружностей совпадают. Действительно, в этом случае вместо уравнения прямой мы получим уравнение вида 0 = С, где C — некоторое число, и этот случай будет обрабатываться некорректно. Поэтому этот случай нужно рассмотреть отдельно: если радиусы окружностей совпадают, то ответ — бесконечность, иначе — точек пересечения нет.

Видео:Пересечение двух окружностейСкачать

Сколько точек может оказаться в пересечении : двух окружностей?

Математика | 5 — 9 классы

Сколько точек может оказаться в пересечении : двух окружностей?

Две окружности пересекаются только в двух точках.

2 точки пересечения.

При «входе» в окружность и при» выходе»

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Чему равно максимальное количество точек пересечения двух прямыми двух окружностей ?

Чему равно максимальное количество точек пересечения двух прямыми двух окружностей ?

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Какие окружности пересекаются?

Какие окружности пересекаются?

Запиши под каждым рисунком число точек пересечения.

Видео:Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Сколько точек может оказаться в пересечении1)прямой и окружности2)двух окружностей?

Сколько точек может оказаться в пересечении

1)прямой и окружности

Видео:Точка пересечения двух окружностей равноудалена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сколько точек в пересечении : а)прямой и окружности , б)двух окружностей?

Сколько точек в пересечении : а)прямой и окружности , б)двух окружностей.

Видео:Задачи региона ВсОШ на степень точкиСкачать

Сколько точек может оказаться в пересечении 1)прямой и окружности 2)двух окружностей?

Сколько точек может оказаться в пересечении 1)прямой и окружности 2)двух окружностей.

Видео:Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Может ли отрезок иметь более двух общих точек с окружностью?

Может ли отрезок иметь более двух общих точек с окружностью.

Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Сколько точек пересечения имеют окружность и прямая?

Сколько точек пересечения имеют окружность и прямая.

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?

Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?

Видео:Котика ударило током, 10 т. ВольтСкачать

Какое наибольшое количество общих точек может быть при пересечении окружности с прямоугольником?

Какое наибольшое количество общих точек может быть при пересечении окружности с прямоугольником?

Видео:Геометрия Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополамСкачать

Сколько точек пересечения могут иметь прямая окружностью?

Сколько точек пересечения могут иметь прямая окружностью?

Объясни с помощью черчежа.

Вы перешли к вопросу Сколько точек может оказаться в пересечении : двух окружностей?. Он относится к категории Математика, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

56•60 = 3360 секунд 56 я умножаю на 60 секунд вот тебе ответ 3360.

(1 00 + 80 : 5) : 2 = 58 ((100 — 80) * 5) : 2 = 50.

Делители числа 12 это числа : 12, 6, 4, 3, 2, 1. Эти точки и нужно изобразить на координатном луче.

Видео:Функция. Область определения функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

🎥 Видео

Пересечение двух окружностейСкачать

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Геометрия В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимноСкачать

10 класс, 22 урок, Двугранный уголСкачать

1 Внешние и внутренние касательные. Число точек пересечения двух кривыхСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать