Выпуклый многоугольник с n сторонами можно разбить на треугольники диагоналями,
которые пересекаются лишь в его вершинах. Вывести формулу для числа таких разбиений.
Определение: назовем правильным разбиением выпуклого n-угольника на треугольники
диагоналями, пересекающимися только в вершинах n-угольника.
П.2.1. Найдем количество во всех диагоналей правильных разбиениях, которые пересекают внутри только одну диагональ.
Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество диагоналей в выпуклых n-угольниках
равно произведению количества разбиений на (n-3)
Докажем предположение, что P 1 n= Аn(n-3)
Каждый n-угольник можно разбить на (n-2) треугольника, из которых можно сложить (n-3) четырехугольника, причем каждый четырехугольник будет иметь диагональ. Но в четырехугольнике можно провести 2 диагонали, значит в (n-3) четырехугольниках можно провести (n-3) дополнительные диагонали. Значит, в
каждом правильном разбиении можно провести (n-3) диагонали удовлетворяющих условию задачи.
П.2.2. Найдем количество во всех диагоналей правильных всех разбиениях, которые пересекают внутри только две диагонали.
Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество диагоналей в выпуклых n-угольниках
равно произведению количества разбиений на (n-4), где n ≥ 5
Докажем предположение, что P 2 n=(n-4)Аn , где n ≥ 5.
n-угольник можно разбить на (n-2) треугольников из которых можно сложить
(n-4) пятиугольника, в котором будут содержаться две непересекающиеся диагонали. Значит, найдется третья диагональ, которая пересекает две другие. Так как имеется (n-4) пятиугольника, значит, существует (n-4) дополнительные диагонали удовлетворяющих условию задачи.
П.2.3. Разбиение n-угольника, в котором дополнительные диагонали пересекают главные k
раз.
Определение 1:Главными диагоналями выпуклого n-угольника называются диагонали, которые
разбивают его на треугольники, пересекаясь при этом только в вершинах n-угольника.
Замечание: их существует (n-3).
Определение 2:Дополнительными диагоналями выпуклого n-угольника называются диагонали,
которые в данном разбиении пересекают главные диагонали.
Замечание: их существует менее (n-3).
Будем выделять из выпуклого n-угольника
следующим образом: соединяем диагоналями через одну вершину данного n-угольника, причем
выделением считается получение последующего a-угольника из предыдущего, используя не менее двух диагоналей. Выделение ведется до тех пор, пока не получится четырехугольник или треугольник (r
= 4 или r = 3 (r – остаточный коэффициент)). Назовем каждое такое выделение циклом и введем величину, которая будет «считать” их (d). Для каждого d существует 2 d+1 многоугольников, первый
многоугольник для данного d ,будет (2 d+1 +1)-угольником. Для первой половины (для данного d) многоугольников r = 3, для второй — r = 4. Последним многоугольником, для которого r = 3 будет (3×2 d )-угольником. Окончательно получаем: r = 3, если nÎ[2 d+1 +1; 3×2 d ],
в противном случае r = 4. За каждый цикл, если проводить дополнительные диагонали, будет добавляться по 2 пересечения и через d циклов число пересечений достигнет максимума в полученном данным способом разбиении. Обозначим это число буквой k.
Итак, за 1 цикл 2 пересечения, за 2 цикла – 4, за 3 – 6, очевидна арифметическая прогрессия с разностью 2, a1=2 и количество членов равным d; значит k=2+2(d-1)=2d – только в том случае, если конечной фигурой окажется треугольник. В противном случае k=2d+1, так как четырехугольник имеет собственную диагональ.
Рассчитаем d: т.к.: d=1, n Є [2 2 +1; 2 3 ]
d=2, nЄ [2 3 +1; 2 4 ]
d=3, nЄ [2 4 +1; 2 5 ]
Зависимость d от n- логарифмическая по основанию 2; становится очевидным
равенство: d=[log2(n-1)]-1. Выразим k через n:
Так как k – максимум пересечений, то уместны неравенства:
II. Найдем число дополнительных диагоналей (m), которые
пересекают главные не более k раз.
Выделим в данном выпуклом n-угольнике (k+3)-угольник (k+3)-угольник
(если это возможно), зн. уже ‘использовано’ ( n+3)-2=k+1 всех
отбросили существующих треугольников 1 треугольник n -угольника
(всего их (n-2)),потом добавили другой ‘отбросим’ крайний треугольник и реугольник и ‘добавим’ к получившейся фигуре еще опять получили один, имеющий общую с ней сторону, (k+3)-угольник
‘не использованный’ треугольник, тогда останется (k+2) не использованных треугольника, и так далее до тех пор, пока не ‘используем’ все (n-2)треугольника. Очевидна арифметическая
прогрессия с разностью 1, am=n-2 и c количеством членов равным m. Получим:n-2=k+1+(m-1) n-2=k+m m=n-k-2óm=n-(k+2)Значит, в n-угольник можно вписать (k+3)угольник
(n-(k+2))раз, то есть существуют такие (n-(k+2)) дополнительные диагонали, которые пересекут k главных
диагоналей.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Конспект урока по математике на тему»Разбиение многоугольника на треугольники»4класс
Разбиение многоугольника
на треугольники
Цели: учить выполнять чертеж; формировать умение делить отрезками многоугольник на данное количество треугольников; закреплять умение определять количество сторон и количество диагоналей в многоугольнике.
1. Математический диктант.
а) Как называется результат сложения двух чисел?
б) Как называются числа, которые складывают?
в) Чему равна сумма 3456 + 0?
г) Запишите равенство 245 – 181 = 63. С помощью сложения проверьте, правильно ли выполнено вычитание.
д) Найдите значение выражения 981 – х, если х = 0.
2. Какое число нужно вписать в последнюю клетку цепочки?
3. Как-то раз Пятачок зашёл в гости к Винни-Пуху. Тот в глубокой задумчивости смотрел на лист бумаги, где были нарисованы квадрат и уголок.
Винни-Пух объяснил, что хочет разрезать квадрат на уголки.
Пятачок внимательно посмотрел на эти фигуры и сказал, что такой квадрат разрезать на такие уголки нельзя. Почему? А вот такой квадрат можно разрезать на уголки. Покажите, как это сделать.
II. Работа по учебнику.
Задание 376. Начертите шестиугольник и проведите все возможные диагонали из одной его вершины.
– На какие фигуры эти диагонали разбивают шестиугольник? (На треугольники.) Сколько треугольников получилось? (4 треугольника.)
Задание 377. Начертите прямоугольник и разбейте его на 4 треугольника.
Задание 378. Как называется данный многоугольник? (Восьмиугольник.) Разбейте этот восьмиугольник на 6 треугольников.
– Разбейте этот же восьмиугольник на 8 треугольников.
Задание 379. Начертите остроугольный треугольник и разбейте его на 3 треугольника.
Задание 380. Начертите остроугольный треугольник и разбейте его на 2 треугольника так, чтобы один из них был остроугольным, а другой – тупоугольным.
1-й треугольник – остроугольный;
2-й треугольник – тупоугольный.
Задание 381. Разбейте прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Используя модель прямоугольника, сделанную из бумаги, убедитесь, что полученные прямоугольные треугольники равны.
Задание 382. Начертите остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Разбейте каждый из них на два прямоугольных треугольника.
– Как называется отрезок, с помощью которого такое разбиение можно выполнить? (Высота треугольника.)
Задание 383. Как называются данные многоугольники? (Семиугольник, шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник, треугольник.)
– Каждый многоугольник разбейте на 5 треугольников.
– Как можно разбить многоугольник на треугольники?
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Урок по математике на тему «Разбиение многоугольника на треугольники», программа «Перспективная начальная школа»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Конспект урока по математике в 4 классе II четверть
Тема: «Разбиение многоугольника на треугольники» (1 урок)
Прозвенел уже звонок.
Куда мы с вами попадём –
Узнаете вы скоро.
В известном мультике найдём
— Ребята, кто пришёл к нам в гости? (Серый волк и лиса). А почему именно эти герои? (Потому что скоро Новый год). В Новый год бывают разные приключения. И вот однажды одни мальчик и девочка написали письмо Деду Морозу и попросили Снеговика Почтовика доставить это письмо Деду Морозу. Но как вы уже знаете, снеговику по пути встретились лиса и волк, которые хотели отобрать письмо. Как вы думаете, что произошло со Снеговиком? (Когда Снеговик убегал от них, он рассыпался на части). Ребята, Снеговик просит вас помочь ему в его беде. Волк и лиса отдадут вам части Снеговика только тогда, когда вы выполните их задания.
(На доске фрагменты Снеговика)
Итак, ребята, за правильно выполненное задание волк будет отдавать вам фрагменты снеговика.
Актуализация знаний. Повторение пройденного материала. (2 -3 мин.)
— Ребята, посмотрите на слайд, какую геометрическую фигуру вы видите? (Многоугольник)
— Как называются отрезки красного цвета? (Сторона многоугольника)
— Как называются отрезки зелёного цвета? (Диагональ)
— Чем сторона многоугольника отличается от его диагонали?
(Сторона соединяет две соседние вершины, а диагональ соединяет две вершины, не принадлежащие одной его стороне)
Постановка цели и задач урока. (2 мин.)
— Что делает диагональ с многоугольником? (Делит многоугольник на другие геометрические фигуры)
— В нашем случае, на какие геометрические фигуры разбит многоугольник? (На треугольники)
— Ребята, чему мы будем с вами сегодня учиться?
(Разбивать многоугольники на треугольники)
Первичное усвоение новых знаний . Работа с учебником .
( У учеников карточки с многоугольниками )
— Откройте учебник на стр. 108. Прочитайте задание №376
— В данном шестиугольнике проведи все возможные диагонали из одной его вершины. (Дети работают самостоятельно)
(Слайд 1). Один ученик разбивает шестиугольник на треугольник на слайде.
— Сколько треугольников получилось? (4 треугольника).
— Давайте построим шестиугольники и проведём в них всевозможные диагонали только из других вершин. (Дети выполняют построение шестиугольников и выполняют задание – у детей карточки с вершинами шестиугольников ).
На доске проецируются различные чертежи, зависящие от выбора вершин. Дети сверяют со своими чертежами. (Проверка в группах)
— Ребята, волк просит вас сделать вывод о проделанной вами работы.
Дети делают вывод о том, что диагонали, выходящие из одной вершины шестиугольника, какую бы из вершин мы не выбрали, разбивают его на четыре треугольника.
Учитель даёт ребятам первый фрагмент туловища Снеговика, дети прикладывают его к голове Снеговика.
— Ребята, послушайте следующее задание волка — начертите в тетради прямоугольник и разбейте его на 4 треугольника (После самостоятельного выполнения, один ученик делит прямоугольник на слайде).
— Ребята, может быть у кого-нибудь из вас есть другие варианты?
— В каком случае прямоугольник разбит диагоналями, а в каких отрезками?
(1 вариант – диагоналями) – получают следующий фрагмент, прикрепляют к туловищу.
Следующее задание волка.
Разбей восьмиугольник на 8 треугольников.
— Ребята, кто знает, как это можно сделать?
Дети объясняют, как можно выполнить это задание.
Например, выбираем некоторую точку внутри восьмиугольника, а затем от этой точки проводим отрезки в каждую вершину восьмиугольника.
Дети выполняют чертёж в тетради, затем учитель проецирует чертёж на слайде. Дети сверяют свой чертёж с чертежом на слайде.
За выполненное задание дети получают следующий фрагмент снеговика.
Работа в тетради
— Ребята, давайте вспомним, какие треугольники вы знаете? (Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный).
— Выберите из данных треугольников остроугольный. (Шаблоны на столах у ребят)
— начертите остроугольный треугольник и разбейте его на 3 треугольника. Один ученик выполняет задание на доске (шаблоны остр. треугольников на слайде)
Проверка чертежей. Дети сравнивают свои чертежи с чертежами на доске. (Получают фрагмент снеговика)
Выполнение задания №381. Работа с учебником
— Ребята, прочитайте задание в учебнике № 381, что нужно сделать? Возьмите прямоугольник и при помощи линейки и карандаша разбейте его на 2 прямоугольных треугольников.
— Ребята, что общего у получившихся треугольников?
У каждого есть прямой угол.
— Как называется линия в прямоугольнике, которую вы провели?
— Согните прямоугольник по диагонали. Какой вывод вы можете сделать?
Диагональ делит прямоугольник на 2 равных прямоугольных треугольников.
(Получают фрагмент Снеговика)
Выполнение задания № 382. (Карточка с различными многоугольниками)
Учитель просит самостоятельно прочитать задание.
Учащиеся самостоятельно читают задание и приступают к его выполнению.
На доске проверяют решение. (Работа в парах)
— Ребята, найдите площадь квадрата.
Дети выполняют решение на карточке. Проверяют вместе ответ. (Один ученик выполняет решение на доске)
Дети получают последний фрагмент снеговика.
— Молодцы ребята, у вас получилось собрать снеговика. И теперь он сможет передать письмо деду Морозу.
— Ребята, что вам понравилось на уроке? (ответ детей) А какие трудности у вас возникли? (ответ детей)
— Помогли ли задания волка вам научиться чертить многоугольники и разбивать их на треугольники? Если у вас всё получилось, то поднимите зелёный смайлик. Если у вас возникали затруднения, то жёлтый смайлик. (ответ детей)
— Что бы вы хотели пожелать волку в новом году?
Учитель задаёт домашнее задание (Т стр. 88 №157 – 158). Слайд 6
Вместе разбирают выполнение домашнего задания
🔥 Видео
Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать
Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать
Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать
Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать
Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать
Треугольник ПаскаляСкачать
Подсчёт количества определенных треугольников в многоугольнике (Олимпиада Физтех)Скачать
Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
🔥 ФОКУС с треугольником #shortsСкачать
Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
