Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (рис. 5). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат.
Начало координат разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Первая координата точки М называется абсциссой и обозначается обычно буквой х, вторая — ординатой и обозначается буквой у, третья координата — аппликатой, буквой z. Если М(x; y; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.
Координаты вектора
Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через iединичный вектор оси абсцисс, через j— единичный вектор оси ординат и через k — единичный вектор оси аппликат. Векторы i, j, k назовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектора можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде
причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. аксиома пространство стереометрия векторный
Коэффициенты x, y и z в разложении вектора a по координатным векторам называются координатами вектора a в данной системе координат. Координаты вектора a будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: a.
Так как нулевой вектор можно представить в виде 0=0i+0j+0k, то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов соответственно равны.
Правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число:
- 1) Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
- 2) Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
- 3) Каждая координата произведения вектора на число равно произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Презентация по математике на тему «Метод координат в пространстве»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Презентация к уроку Учитель математики МБОУ Голицынской СОШ №2 Бабурина Е.В.
Прямоугольная система координат в пространстве. Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждом из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Ось абсцисс Ось ординат Ось аппликат В прямоугольной системе координат каждой точке M пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
Координаты вектора Векторы i, j, k – координатные векторы. Любой вектор a можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде а = xi + yj + zk Причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом и являются координатами вектора a. Правила нахождения суммы, разности и произведения данного вектора на данное число: Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Связь между координатами векторов и координатами точек Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат, называется радиус-вектором данной точки. Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Простейшие задачи в координатах: 1.КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. 2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВЕКТОРА ПО ЕГО КООРДИНАТАМ. Длина вектора a вычисляется по формуле: |a| = √x² + y² + z² 3. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ. Расстояние между точками M (x ; y ; z ) и M (x ; y ; z ) вычисляется по формуле: d = √(x – x )² + (y – y )² + (z – z )² 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2
Угол между векторами Возьмем два произвольных вектора а и b. Отложим от какой-нибудь точки O векторы OA = а и OB = b. они образуют угол AOB, который равен α. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. Скалярное произведение двух векторов – произведение их длин на косинус угла между ними: Скалярное произведение векторов с помощью координат: Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, когда эти векторы перпендикулярны. Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины. Скалярное произведение векторов
Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов a, b, c и любого числа K справедливы соотношения:
Коэффициенты x y z в разложении a xi yj zk называются вектора
Ключевые слова: вектор, координаты, длина вектора
Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения – началом координат,
а плоскости , и – координатными плоскостями.
Точка разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.
Координатой точки по оси будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка : положительное, если точка лежит на положительной полуоси , и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.
Аналогично можно определить координаты и точки . Координаты точки записываются в скобках рядом с названием этой точки: .
 |
Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.
- Единичный вектор, направленный вдоль оси , обозначается $$vec i$$.
- Единичный вектор, направленный вдоль оси обозначается $$vec j$$.
- Единичный вектор, направленный вдоль оси , обозначается $$vec k$$.
Вектора $$vec i$$, $$vec j$$, $$vec k$$ называются координатными векторами.
- Любой вектор $$vec a$$ можно разложить по координатным векторам: $$vec a = x cdot vec i+y cdot vec j+z cdot k$$.
- Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора $$vec a$$ в данной системе координат.
Свойства векторов, заданных координатами
- Координаты нулевого вектора равны нулю.
- Координаты равных векторов соответственно равны.
- Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
- Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.
- Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.